二阶常系数齐次线性微分方程_第1页
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第五节二阶常系数齐次线性微分方程一、定义二、线性微分方程的解的结构三、二阶常系数齐次线性方程的解法四、n阶常系数齐次线性方程解法五、小结1精品PPT|借鉴参考第一页，共十九页。PPT内容概述第五节二阶常系数齐次线性微分方程。第五节二阶常系数齐次线性微分方程。二、线性微分方程的解的结构。精品PPT|借鉴参考。其中p、q为常数。有两个相等的实根。有两个不相等的实根。n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.。（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.。练习题。18第二页，共十九页。一、定义二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程其中p、q为常数3精品PPT|借鉴参考第三页，共十九页。二、线性微分方程的解的结构1.二阶齐次方程解的结构:问题:4精品PPT|借鉴参考第四页，共十九页。例如5精品PPT|借鉴参考第五页，共十九页。三、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入方程,得故有特征方程特征根特征根6精品PPT|借鉴参考第六页，共十九页。有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为7精品PPT|借鉴参考第七页，共十九页。有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为8精品PPT|借鉴参考第八页，共十九页。有一对共轭复根由欧拉公式9精品PPT|借鉴参考第九页，共十九页。重新组合得齐次方程的通解为10精品PPT|借鉴参考第十页，共十九页。定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.解特征方程为解得特征根故所求通解为例111精品PPT|借鉴参考第十一页，共十九页。解特征方程为解得特征根故所求通解为例212精品PPT|借鉴参考第十二页，共十九页。四、n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程的根通解中的对应项13精品PPT|借鉴参考第十三页，共十九页。注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.14精品PPT|借鉴参考第十四页，共十九页。特征根为故所求通解为解特征方程为例315精品PPT|借鉴参考第十五页，共十九页。五、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.

(见下表)16精品PPT|借鉴参考第十六页，共十九页。17精品PPT|借鉴参考第十七页，共十九页。练习

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