广东省深圳市人大附中深圳学校2022-2023学年高一年级上册期末考试数学试题

人大附中深圳学校2022-2023学年第一学期期末考试

高一年级数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合。={0,1,2,3,4,5,6},"="€帅"<3},8={3,4,5,6},则/U&8)=()

A.[2,6)B.{1,2}C.{0,1,2}D.{0,1,2,3}

2.已知命题夕：V。£(0,+oo),a+—>2则rp是()

a

A.3aG(0,+oo),a+—>2B.3a走(0,+oo),a+—>2

C.3aG(0,+oo),a+—<2D.3ae(0,+oo),a+—<2

3.已知函数y=log.(x+3)+l(a>0且awl),则函数恒过定点()

A.(1,0)B.(-2,0)C.(0,1)D.(-2,1)

7T

4.三个数1。8*0.3,3飞由5的大小关系是()

A.log兀0.3<sin木<3"B.log兀0.3<3”<sin卡

■7TTT

sn

C.sin历<log"0.3<3"D.3^<logT0.3<>~

5.“a>l”是“函数/(x)=xa在(0,”)上单调递增”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知二次函数/(x)的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度

后得到函数g(x)的图象，则不等式g(X)>log2X的解集是()

A.(-oo,2)B.(2,+oo)C.(0,2)D.(0,1)

7.函数4y=tanx,y=tan(—x)fy=tan\y\在(一一,一)

3

试卷第1页，共4页

A.①②③④B.②①③④C.①②④③D.②①④③

8.已知函数y=/(x)为奇函数，且对任意的xeR,/(x+2)=/(-x)恒成立，当

时，/(x)=2，，贝!J/(2021)=()

I1

A.-1B.-C.——D.1

22

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设/(x)=2*+3x-7,某学生用二分法求方程/(x)=()的近似解(精确度为0.1),列

出了它的对应值表如下:

X011.251.3751.43751.52

/.(X)-6-2-0.87-0.280.020.333

若依据此表格中的数据，则得到符合要求的方程的近似解可以为()

A.1.31B.1.38C.1.43D.1.44

10.已知函数/⑴是定义在R上的偶函数，当X40时/(x)=-x2-2x,贝IJ()

A."X)的最大值为1B./(x)在区间(1,物)上单调递减

C./(x)20的解集为［-2,2］D.当x>0时，f(x)=x2-2x

11.已知。>6>c>0,下列结论中一定正确的是()

A.ab^>bcB.---->----

a-cb-c

C.tana>tanZ>D.2022"。+a>2022~+b

12.关于函数〃x)=sinx+—!一有如下四个命题，其中正确的是()

sinx

A.〃x)的图象关于y轴对称B.的图象关于原点对称

TT

C./5)的图象关于直线x=］对称D./5)的图象关于点(兀，0)对称

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13.已知扇形的圆心角为30。，其弧长为2万，则此扇形的面积为.

14.写出一个最小正周期为2的偶函数/(x)=.

15.形如22"+1(〃是非负整数)的数称为费马数，记为£.数学家费马根据

F。,耳，F2,8，鸟都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出

后不是质数，那么号的位数是一位.(参考数据：馆2°0.3010)

16.已知函数/(x)=x2-〃|x|+*二+a有且只有一个零点，若方程/(x)=4无解，则

X+1

实数％的取值范围为.

试卷第2页，共4页

四、解答题：共6小题，70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

l0fa5

17.(1)求值：2+(0.125)4+logs9xlog,64；

,、_!,jc13万..17VL.7乃

(2)求值：2cos-----+4sin------5tan-sm——

362

18.如图，角a的终边与单位圆交于点产且x<0.

⑴求tana；

⑵求

19.已知函数/(x)=8cosxsin[x+Vj-2\/5sin2x-3.

⑴求/(x)的周期；

(2)将函数/(x)的图象向右平移程个单位，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2

倍,纵坐标不变，得到函数g(x)的图象,求g(x)在[0,句上的值域.

试卷第3页，共4页

20.已知函数/(x)=logjx2-2ax+g)(a>0且awl).

⑴若a=g,求的值域；

(2)若a>l,/(x)在［3,4］上单调递增，求a的取值范围.

21.建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商

场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于0℃时，才开放中央空调，否则关闭中央

空调.如图是该市冬季某一天的气温(单位：℃)随时间r(04/424,单位：小时)

的大致变化曲线，若该曲线近似满足/(，)=■,T［+”QOM>O)关系.

(1)求y=/(f)的表达式;

(2)请根据(1)的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长.

22.已知函数〃力=2'+八2一",g(x)=log,,(/(x)-2'j(a>0且a*l),且〃0)=4.

(1)求A的值；

(2)求关于％的不等式g(x)>0的解集;

(3)若/(x)±(+4对xeR恒成立，求，的取值范围.

试卷第4页，共4页

人大附中深圳学校2022-2023学年第一学期期末考试

高一年级数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合。={0,1,2,3,4,5,6},"="€冲"<3},8={3,4,5,6},则4U&8)=()

A.[2,6)B.{1,2}C.{0,1,2}D.{0,1,2,3}

【答案】C

【解析】由题意“={1,2},JB={O,1,2},ZUO{0,1,2}.故选：C.

2.已知命题p:Vae(0,+<»),〃+,>2,则>是()

a

A.(0,+oo),ciH—>2B.(0,4-oo),ci4—>2

aa

C.3(2G(0,+oo),<7+—<2D.3(2^(0,+oo),<2+—<2

aa

【答案】c

【解析】由题意得：全称量词命题的否定是存在性量词命题：

故p:Va€(0,+8),a+L>2,则1口：三。e(0,+8),a+」42故选：C

aa

3.已知函数y=log«(x+3)+1(“>0且。*1),则函数恒过定点()

A.(1,0)B.(-2,0)C.(0,1)D.(-2,1)

【答案】D

【解析】令x+3=l,解得x=-2,y=l,所以函数恒过定点(-2,1),故选：D

■7T

4.三个数log.0.3,3",sinR的大小关系是()

TTTT

/r

A.log兀0.3<sin3"B.log;r0.3<3<sin—

TTTT

C.sin—<logT0.3<3^D.3"<log?0.3<sin5

【答案】A

【解析】••,log.0.3<log」=0,3,T>3°=1,0<si哈<1,

.,.log.0.3<sinO<3".故选：A

5.“a>l”是“函数/(幻=/在(0,钟)上单调递增”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由函数的性质可得：a>0,因为由a>l一定能推出a>0,但由a>0不一定

试卷第1页，共8页

能推出a>1,所以“a>1”是“函数/(x)=x［在(0,”)上单调递增”的充分不必要条件，

故选：A.

6.已知二次函数/(x)的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度后得到函数g(x)的

图象，则不等式g(x)>log2X的解集是()

A.(-℃,2)B.(2,+oo)C.(0,2)D.(0,1)

【答案】C

【解析】本题考查基本初等函数的图象和图像变换。由题意g(x)的图象如图所示，故

原不等式的解集为(0,2)

y=tan(~x),y=tan\x\在(一y,日)上的大致图象依次

7.函数y—tanx,

A.①②③④B.D.②①④③

【答案】C

【解析】了=33|对应的图象为①，y=tanx对应的图象为②，y=fa〃(一x)对应的图

象为④，对应的图象为③.故选C.

8.已知函数y=/(x)为奇函数,且对任意的xeR,J\x+2)=〃-x)恒成立，当-14x<0

时，f(x)=T,则/(2021)=()

A.—1B.:C.—D.1

22

【答案】C

【解析】由函数y=/(x)为奇函数,可得/(T)=-/(X).

对任意的xeR,/(x+2)=/(-x)恒成立，

可得f(x+2)=-f(x),即有/(x+4)=-f(x+2)=f(x),

所以/(x)是周期函数，且4为其周期，所以"202l)=/(4x505+1)=/(1).

当—14x<0时，/(%)=2\可得/(一1)=2一|=1,

试卷第2页，共8页

所以〃1)=-/(T)=-；，则〃2021)=-4.故选：C.

z2.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.设/(x)=2'+3x-7,某学生用二分法求方程/(x)=0的近似解(精确度为0.1),列

出了它的对应值表如下：

X011.251.3751.43751.52

/(X)-6-2-0.87-0.280.020.333

若依据此表格中的数据，则得到符合要求的方程的近似解可以为()

A.1.31B.1.38C.1.43D.1.44

【答案】BC

【解析】••・y=2*与y=3x-7都是R上的单调递增函数，

/(x)=2*+3x-7是R上的单调递增函数，，/(X)在R上至多有一个零点，

由表格中的数据可知：

/(1.375)=-0.28(0,/(1.4375)=0.02)0,

・・・/(X)在R上有唯一零点，零点所在的区间为(1.375,1.4375),

即方程/(x)=0有且仅有一个解，且在区间(1.375,1.4375)内，

v1.4375-1.375=0.0625<0.1,

(1.375.1.4375)内的任意一个数都可以作为方程的近似解，

•••1.312(1.375,1.4375),1.38€(1.375,1.4375),1.43e(1.375,1.4375),1.44%(1.375,1.4375),

二符合要求的方程的近似解可以是1.38和1.43.故选：BC.

10.已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，当x40时/(X)=T2-2X,则()

A./(x)的最大值为1B./(x)在区间上单调递减

C./(x)20的解集为[-2,2]D.当x>0时，f(x)=x2-2x

【答案】ABC

【解析】函数是定义在R上的偶函数，所以/(x)=/(-x),又当X40时〃X)=T2-2X

所以当x>0时，/(x)=f(-x)=-(-x)2-2(-x)=-x2+2x,故D错误；

当x40时，f(x)=-x2-2x,所以/⑴在(-8,-1)单调递增，(-1,0)单调单调递减，所以

£以。)=/(-1)=1,由于偶函数关于V轴对称，所以/(x)在(0,1)单调递增，(1,+8)单调

单调递减，所以/w(x)=/(l)=l,"X)的最大值为1,故A正确，B正确；

当xVO时，，/(X)=-X2-2X>0,解得—24x40,当x>0时，f(x)=-x2+2x>0,解

得0<xV2,所以/(x)20的解集为[-2,2],故C正确.

故选：ABC.

试卷第3页，共8页

11.已知Q>b>c>0,下列结论中一定正确的是()

ab

A.ab>bcB.---->----

a-cb-c

C・tantz>tanftD.2022a-c+a>2022h-c+b

【答案】AD

【解析】对于A：由于。>b>c>0,所以故A正确;

ab(b-a)c

对于B：-----------------~•-----------------ZM-----------------------------------------故B错误;

a—cb-c(a-c)(b-c)

jr

对于C：当0<b=—<a=%时,tan4=0<tan6=l,故C错误；

4

对于D：设/(x)=2022…+x,由于函数在(0,+oo)上单调递增，故当”>6>c>0,

不等式2022”+°>2022人。+6成立，故D正确.

故选：AD.

12.关于函数f(x)=sinx+—!—有如下四个命题，其中正确的是()

sinx

A./(x)的图象关于了轴对称B./(x)的图象关于原点对称

C.“X)的图象关于直线x=］对称D./(x)的图象关于点(兀，0)对称

【答案】BCD

【解析】,."(x)=sinx+」一的定义域为{x|x#jr,AWZ},

sinx

/(-x)=sin(-x)+^Hj=-lsinx+^J=-/(x)

.../(x)为奇函数，其图象关于原点对称.故A错误，B正确;

...吗-x)=

COSX

1

/(-+x)=sm2+XJ+=cosx+------

COSX

sin+%

・・・/弓-刈=/弓+幻，・・・/(x)的图象关于直线x=5对称，故C正确；

又/(工+2兀)=sin(x+27i)+.1-------=sinx卜.1

sin(x+2TC)sinx

f(-x)=sin(-x)+~r=-sinx+—―,

sin(-x)-sinx

/(x+2兀)=-/(-x),

.../(x)的图象关于点(兀，0)对称，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

13.已知扇形的圆心角为30。，其弧长为2乃，则此扇形的面积为.

【答案】12万

n/=空=I?11

【解析】：a=30°=-,/=a，一万，.•.扇形面积S=—>=—x2%xl2=12%.

6-22

o

故答案为：12万.

试卷第4页，共8页

14.写出一个最小正周期为2的偶函数〃x)=.

【答案】cos(;rx)(答案不唯一)

【解析】由题意知：7=2,/(-x)=/(x),而当/(x)=cos(/rx)时，有cos(-7rx)=cos(;rx)

/(x)=cos(%x)为一个最小正周期为2的偶函数.

故答案为：cos(乃X)

15.形如2'+1(〃是非负整数)的数称为费马数，记为工.数学家费马根据

然，耳，月，氏，鸟都是质数提出了猜想：费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出

后不是质数，那么号的位数是一位.(参考数据：反2°0.3010)

【答案】10

【解析】1g232=321g2«9.632

16.已知函数〃x)=x2-a|x|+下二+。有且只有一个零点，若方程/(x)=Z无解，则

实数k的取值范围为.

【答案】(-肛0)

【解析】fM=x2-a\x\+^—+a,/(-x)=(-x)2-a|-x|+'+a=f{x}

X+1[-X)4-1

故函数为偶函数，有且只有一个零点，故/(。)=0,即/(0)=。+1=0,a=-l,

“x)=x+1刈+"-l=x+1+777+1x12

"+1x1-2=|x|"，当且仅当・x2+l,即x=0时等号成立.

国=0

方程/(%)=*无解，故壮(Y°,0).

故答案为：(-8,0).

四、解答题：共6小题，70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(1)求值：2晦s+(o.i25)V+log89xlog364；

(2)求值:2cos---+4sin----5tan

【解析】(1)原式=5+26

+log2j3xlog32

+—x6xlog23xlog32

=5+4+4=13.

试卷第5页，共8页

(2)原式=2cos(4/r+])+4sin[;r+^-j+5tan;sin(2〃+

362

18.如图，角a的终边与单位圆交于点产且x<0.

⑴求tana；

cos--a-cos(a+37r)

(2)求一'2，

sini—+a+sin(-a)

12

【解析】⑴

由三角函数定义知sina=，所以cos2a=1-sin2a=1

1010

因为cosa=x<0,所以cosa=-延工所以tana=期里=-3.

10cosa

sina+cosatana+11

(2)原式=----------=—

cosa—sina1一tana2

71

19.已知函数/(x)=8cosxsin；x+—-2^3sin2x-3.

6

⑴求〃x)的周期;

(2)将函数/(x)的图象向右平移自个单位，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2

倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，求g(x)在［0,句上的值域.

【解析】(1)

/(x)=8cosxsinfx+--2>/3sin2x-3=8cosxf—sinx+—cosx|-2^-sin2x-3

=4jJsinxcosx+4cos2x-2^sin2x-3=25/3sin2x+4cos2x-2A/3sin2x-3

DTT

=2cos2x-l,所以/(x)的周期7=§=乃

(2)将函数/(x)的图象向右平移自个单位，可得

试卷第6页，共8页

y=2cos|_2^x--^-jJ-l=2cos^2x-^-j-l,

再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得y=2cos(x-^)-1,

所以g(x)=2cos卜一看卜，

因为0Wx4乃，所以4x4—,所以—4cosjx—乂141,

6662I6J

所以一042cos(x-2,所以-1Wg(x)41,

所以g(x)在［0,句上的值域为［-百-1,1］.

20.已知函数/(x)=logjx2-2ax+；J(a>0且awl).

⑴若a=g,求〃x)的值域；

(2)若a>l,/(x)在［3,4］上单调递增，求a的取值范围.

【解析】⑴根据题意，当a=；时，/(x)=logjx2—x+g),

令——x+g=(x—g)+1>1,/(x)的值域为(F，2］

121

(2)令函数g(x)=-—2ax+5=(x-a)-a2+—,该函数在(-8,a)上单调递减，在

(a,+oo)上单调递增.

当°>1时，要使/(x)在［3,4］上单调递增，则g(x)在［3,4］上单调