初中七年级数学 函数及其性质 函数的图象

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第二篇函数及其性质

专题2.07函数的图象

【考试要求】

1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数;

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.

【知识梳理】

1.利用描点法作函数的图象

步骤：⑴确定函数的定义域；（2）化简函数解析式；（3）讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）;

（4）列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线.

2.利用图象变换法作函数的图象

（1）平移变换

|可+A|

移

I»=/u+«）I*—L移a|I—厶"T|

925小<”个单位I—£2.----T1r西林----1

；MW”平船住

|,吆1）-4|

（2）对称变换

关于X轴对称

y=/(x)的图象——一y=-/U）的图象；

关于y轴对称

），=/U）的图象———>）二八一X）的图象；

关于原点对称

y=/U）的图象——-------->y=-A—x）的图象；

y=av（a>0,且a，1）的图象---差士■泼】~到处——>y=log,产（a>0,且a#1）的图象.

（3）伸缩变换

纵坐标不变

y=fix）------------------------------------------------->y=/3）.

各点横坐标变为原来的（（30）倍

横坐标不变

y=fix）----------------------------------------------------------'—»y=A«x）.

各点纵坐标变为原来的44>0）倍

（4）翻折变换

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X轴下方部分翻折到上方

)，=/(x)的图象X)I的图象;

-X轴及上方部分不变”=!/(

)，轴右侧部分翻折到左侧

y=/5)的图象-----------------------------------9的图象.

原)，轴左侧部分去掉，右侧不变.

【微点提醒】

记住几个重要结论

(1)函数y=/(x)与y=/(2a—x)的图象关于直线x=a对称.

(2)函数y=/(x)与y=2b-/(2a-x)的图象关于点(a,b)中心对称.

(3)若函数y=/(x)对定义域内任意自变量x满足：_/(a+x)=/(a—x),则函数y=/(x)的图象关于直线x=a对称.

【疑误辨析】

1.判断下列结论正误(在括号内打W”或“x”)

(1)函数y=/U-x)的图象，可由)，=火一x)的图象向左平移1个单位得到.()

(2)函数y=/(x)的图象关于y轴对称即函数)>=於)与>=式-x)的图象关于>轴对称.()

(3)当xd(O,+oo)时，函数y=/(kl)的图象与y=|/(x)l的图象相同.()

(4)若函数y=«r)满足x),则函数y(x)的图象关于直线x=1对称.()

【教材衍化】

[X2,X<0,

2.(必修IP24A7改编)下列图象是函数>=八的图象的是()

%—Lx>0

3.(必修IP23T2改编)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加

快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是()

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【真题体验】

4.（2019•青岛二中月考）函数負x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=3关于），轴对称，则;（X）

的解析式为（）

A"x）=ex+iBy（x）=ex-i

C.fix）=e-x+1Dy（x）=e-x-\

5.（一题多解）（2018・全国III卷）下列函数中，其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=l对称的是（）

A.y=ln(l—x)B.y=ln(2—x)

C.y=ln(l+x)D.y=ln(2+x)

6.（2019-上海崇明区检测）已知函数危）的图象如图所示，则函数蛉）=1。4/0的定义域是.

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【考点聚焦】

考点一作函数的图象

【例1】作出下列函数的图象:

(l)y=Q);(2)y=llog2(x+l)l；

(3)y=^2-21x1-1.

【规律方法】作函数图象的一般方法

(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关

键点直接作出.

(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并

应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.

【训练1】分别作岀下列函数的图象：

(l)y=llgxl；(2)j=sinIxl.

考点二函数图象的辨识

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【例2】（1）（一题多解）（2017•全国HI卷）函数y=l+x+詈的部分图象大致为（）

【规律方法】1.抓住函数的性质，定性分析：

（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判

断图象的变化趋势；（3）从周期性，判断图象的循环往复；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性.

2.抓住函数的特征，定量计算：

从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.

【训练2】（2018•浙江卷）函数y=2M-sin2x的图象可能是（）

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考点三函数图象的应用

角度1研究函数的性质

【例3—1】已知函数於）=xld一%，则下列结论正确的是（）

A/V）是偶函数，递增区间是（0,+00）

B./U）是偶函数，递减区间是（一8,1）

C/U）是奇函数，递减区间是（一1,1）

D<x）是奇函数，递增区间是（一8,0）

角度2求不等式的解集

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【例3—2】已知函数了=段)的图象是如图所示的折线AC8,且函数8(尤)=叫2。+1)”,则不等式於日Q)

的解集是()

烂}0

B.{尤I-烂1}

C.{xl—l<r<l}

D.{xl—l<x<2}

角度3求参数的取值范围

Ixl,x<m,

(FiJ3-31(2019•合肥一中质检)己知函数段)=、,其中心0.若存在实数"使得关于

x2—2mjc+4m,x>m,

x的方程y(x)=b有三个不同的根，则m的取值范围是.

【规律方法】1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单

调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.

2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程;(x)=g(x)的根就是函数/U)与g(x)图象交点的

横坐标；不等式兀v)<g(x)的解集是函数兀v)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合

思想.

【训练3】(1)(2019•杭州检测)已知段)=2一1,g(x)=l-x2,规定:当次x)|Ng(x)时，/i(x)=l/(x)l;当人x)l<

g(x)时，厶(X)=—g(x),则力(x)()

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A.有最小值一1,最大值1

B.有最大值1,无最小值

C.有最小值一1,无最大值

D.有最大值一1,无最小值

⑵已知函数/)=Lr—2l+l,g(x)=fct.若方程/)=g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是.

【反思与感悟】

I.识图

对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值

域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.

2.用图

借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的图象，还可以

判断方程7U)=g(x)的解的个数，求不等式的解集等.

【易错防范】

1.图象变换是针对自变量x而言的，如从八一2%)的图象到共-2x+l)的图象是向右平移;个单位，先作如下

变形貝一2x+l)=/(—2(x—J)),可避免出错.

2.明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数,

后者是两个不同函数的对称关系.

3.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.

【核心素养提升】

【直观想象】——函数图象的活用

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直观想象是发现和提出问题，分析和解决问题的重要手段，在数学研究的探索中，通过直观手段的运用以

及借助直观展开想象，从而发现问题、解决问题的例子比比皆是，并贯穿于数学研究过程的始终，而数形

结合思想是典型的直观想象范例.

类型1根据函数图象特征，确定函数解析式

函数解析式与函数图象是函数的两种重要表示法，图象形象直观，解析式易于研究函数性质，可根据需要,

相互转化.

［例1］已知函数/U）的图象如图所示，则式》）的解析式可以是（）

B./(X)=Y

C月x)=^_l

D.7(x)=x—

类型2利用函数的图象研究函数的性质

对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质（单调性、奇偶性、周期性、最值（值域）、零点）常借

助图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.

【例2】（2019•安徽江淮十校联考）已知max{a,/）}表示a,b两数中的最大值.若/（x）=max{eai,eix-21},则

Ax）的最小值为.

［例3］（2016・全国H卷）已知函数,/（x）（xeR）满足大x）=/（2—x）,若函数了=山一2x—31与y=/（x）图象的交点

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ni

为（X],%）,（X2.y2）.........（Xm，%）,则£不=（）

/=1

A.OB.mC.2mDAm

【规律方法】I.由函数图象对称性，函数y=/（x）与y=lx2—2x—31图象分别关于直线x=l对称，则两图象的

交点关于x=l对称.

2.解此类求图象交点横、纵坐标之和的问题，常利用图象的对称性求解，即找出两图象的公共对称轴或对称

中心，从而得出各交点的公共对称轴或对称中心，由此得出定值求解.

类型3利用函数的图象求解方程或不等式

若研究的方程（不等式）不能用代数法求解，但其与基本初等函数有关，常将方程（不等式）问题转化为两函

数图象的交点或图象的上下位置关系，然后由图象的几何直观数形结合求解.

【例4】（1）函数貞x）=2sinxsinQ+p—X2的零点个数为.

[ld+2,x<l,

（2）（2017.天津卷）已知函数/）={,2设“ER,若关于x的不等式於巨专+。在R上恒成立，则。

[x+7，x>l.”

的取值范围是（）

A.[-2,2]B.[—2vl2]

C.[-2,25JD.[-2A/3,2小1

【分层训练】

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【基础巩固题组】（建议用时：35分钟）

一、选择题

1—X2

1.（2019・长郡中学联考涵数段）=r的图象大致为（）

2.若函数兀0=0—8的图象如图所示，则（）

B.tz>l,0<b<1

C.0<〃vl,h>\

D.Ovavl,O<Z?<1

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3.在同一平面直角坐标系中，函数y=g（x）的图象与y=e<的图象关于直线y=x对称.而函数），=兀0的图象与

y=g（x）的图象关于y轴对称，若/（,"）=—1,则朋的值是（）

A.—eB.—C.eD.-

ee

4.（2019・黄山一模）已知图①中的图象对应的函数为y=/（x）,则图②中的图象对应的函数为（）

A.y=/M)

D.y=-ALd)

5.已知函数沢2x+l）是奇函数，则函数y=/（2x）的图象成中心对称的点为（）

A.(l,0)B.(—1,0)

烂e,

6.（2019.北京海淀区模拟）已知函数式x）=则函数y=/（e-x）的大致图象是（）

Inx,x>e,

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7.(2019•烟台二模)已知函数兀0=.亠,(a,b,c,deR)的图象如图所示，则()

A.»0,te>0,c<0,d>0B.〃<0,/?>0,c<0,d>0

C.avO,/?>0,c>0,d>0D.〃>0,b<09c>0,d>Q

(2—tn)x

8.若函数兀0=一口+"7」的图象如图所示,则机的取值范围为()

B.(-l,2)

C.(0,2)D.(l,2)

二、填空题

9.(2019,石家庄模拟)若函数y=/(x)的图象过点(1,1),则函数y=/(4—x)的图象一定经过点.

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10.如图，定义在［—1,+8）上的函数人X）的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则式X）的解析式为

11.使log2（—x）＜x+1成立的X的取值范围是.

12.若关于x的方程1x1=4—x只有一个解，则实数a的取值范围是,

【能力提升题组】（建议用时：15分钟）

13.函数丫=曙+9在1―2,0］U（0,2］上的大致图象为（）

拼搏的你，背影