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文档简介

函数的奇偶性与周期性、对称性及应用

学校:姓名:班级:考号:—

一、单选题(本大题共3小题,共15.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)

1.设函数/(x),g(x)的定义域都为兄且“X)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确

的是()

A.是偶函数B.|/(x)|-g(x)是奇函数

C./(x>|g(x)|是奇函数D.|/(x)-g(x)|是奇函数

2.定义在R上的函数/*)满足/(x+l)=/(元)一2,则下列是周期函数的是.()

A.y=f(x)—xB.y=f(.x)+xC.y=f(x)—2xD.y=f(x)+2x

3.已知函数/(x)=(2'+2f)ln|x|的图象大致为()

二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

4.已知/(x)是定义在7?上的奇函数,其图象关于直线x=l对称,贝!|()

A./(%+4)=/(%)B./(x)在区间(—2,0)上单调递增

rrY

C./(x)有最大值D.f(x)=sin号是满足条件的一个函数

5.下表表示y是x的函数,则()

AO<x<55,,xv1010,,x<1515M20

J2345

1

A.函数的定义域是(0,20]B.函数的值域是[2,5]

C.函数的值域是{2,3,4,5}D.函数是增函数

6.已知定义在"上的函数/(x)=|S+sin2x-\/l-sin2x|,贝U()

A./(-x)=/(x)

TT

B-/(x+-)=/(%)

c.y(x)的最大值为2

rr77r

D.不等式/(x)..2cosx的解集为{x|——卜2k兀,,x<-----卜2k兀,keZ]

44

7.下列说法正确的是()

A.命题“Vx>0,都有x2-x+3>0”的否定是“3x>0,使得x?—x+3,,()”

B.y=4是定义域上的减函数

X

C.若函数/(")的定义域为则:・1)的定义域为,L1)

I).,「'1.r既不是奇函数也不是偶函数

Ijr+-3

三、填空题(本大题共7小题,共35.0分)

8.定义域为"的偶函数/(X)为周期函数,其周期为8,当xe[T,0]时,/(x)=x+l,则

/(25)=_一.

9.设函数f(x)=T空,若函数/Xx)在"上的最大值为M最小值为处则M+m=________.

/+1

10.请写出一个函数/(%)=,使之同时具有如下性质:①以£兄/W=/(4-x),

(g)Vxe7?,/(x+4)=f(x).

2

11.已知函数f,J2,"l?'1,若函数/(x)在R上单调递增,则实数a的取值范

(ar~\z>2

围是.

12.已知/(x)为奇函数,当xvO时,f(x)=x2-sinTUX,则/,(2)=.

13.若函数R/i<[,"为奇函数,则实数。=__________,"

|一•taiiJ2JI\3/

lu(1',,若…且"1),则a的取值范

14.已知函数。<

围为.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】

【分析】

本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键.

根据函数奇偶性的性质即可得到结论.

【解答】

解:/(X)是定义在7?上的奇函数,g(x)是定义在上的偶函数,

/(-X)=-/(X),g(-X)=g(X),

f(-x)-g(-x)--f(x)-g(x),故函数是奇函数,故4错误;

I/(-X)|-g(-x)=|/'(x)|・g(x)为偶函数,故8错误;

/(-X)-1^(-x)|=-/(%)•Ig(x)|是奇函数,故C正确;

I/(-%)•g(—X)H/(%)-g(x)I为偶函数,故〃错误,

故选c

2.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查了周期函数的判断,属于基础题.

直接利用周期函数的定义判断各选项即可.

【解答】

解:设g(x)=/(x)+2x,则g(x+l)=/(x+l)+2(x+1)=/(x)-2+2(x+1)=f(x)+2x=g(x),

是周期为1的函数;对于儿B,C均无法证明其具有周期性.

故选:D.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了函数图象的识别,属于基础题.

首先判断函数奇偶性排除。,又根据当x>l时,/“(I,排除1,当0<x<l时,/:”0,

排除C,即可得出结论.

【解答】

3

解:/(x)=(2v+2-r)ln|x|,:../(»),

/./(-r)=(2-*+尸)加旧=/(x),

.・•/(无)为偶函数,排除。;

又「当x>l时,.0c-排除力,

当0<%<1时,/「0,排除C;

故选B.

4.【答案】AD

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数奇偶性及对称性的应用,属于基础试题.

由己知奇函数且函数图象关于x=1对称可分别检验各选项即可判断.

【解答】

解:由广(X)是定义在《上的奇函数可得/(x)=—/(—x),

由图象关于直线x=1对称可得/(2+x)=/(—x),

所以/(2+x)=-f(x),,/(4+x)=/(x)故4正确;

由己知没法判断函数的单调性与最值,a1错误;

TT

/1(幻=5由万》是奇函数,且y(2-x)=/(x),故〃正确.

故选:AD.

5.【答案】AC

【解析】

【分析】

本题考查函数概念,函数的定义域和值域问题,属于基础题.

直接观察表格可得答案.

【解答】

解:由表格可知,自变量x的范围为(0,2()],函数y的范围为{2,3,4,5},故4c对.

故答案选AC.

6.【答案】AB

【解析】

【分析】

本题考查函数周期性与奇偶性的应用,训练了特殊值的恰当运用,考查分析问题与解决问题的能

力,属于基础题.

Jr

分别取X=-X,x=x+X代入验证判断4与6;由周期性化简函数解析式,求得最大值判断C;

2

77r

验证x=—时不等式成立判断D.

4

【解答】

解:对于A,f{-x)=|Jl+sin(-2x)--sin(-2x)|=|Jl+sin2x-Vl-sin2x|=f{x),故A

正确;

对于8,/(x+§+sin(2x+万)-,1-sin(2x++)|=|Jl+sin2x-Jl-sin2r|=f(x),

故6正确;

T[TT

对于G由选项夕可知,f(x)的周期为5,不妨取工£。万],

f(x)=]71+sin2x-\/l-sin2x|=|^/(sinx+cosx)2-^/(sinx-cosx)2|

fjr

2sill上,04工4—一

、:“「,二L,可得故C错误;

2ouei兀一《了(一

42

对于〃当%=上时,/(—)=V2=2cos—,即%时,不等式成立,故〃错误.

4444

故选:AB.

7.【答案】AC

【解析】

【分析】

本题主要考查了命题的真假,含有量词的命题的否定,函数的单调性,函数的定义域,函数的奇

偶性,属于拔高题.

利用全称量词命题的否定是存在量词命题判断4利用反比例函数的单调性判断8;利用复合函数

的定义域的求法判断a利用函数的奇偶性判断D

【解答】

解:4因为全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题“Vx>0,都有d-x+3>0”的否

定是“去>0,使得x2—x+3,,0",故正确;

氏y的减区间是(y,0),(0,F),不是定义域上的减函数,故错误;

X

5

C因为函数f(x)的定义域为:L?i,所以1<X+1<2,所以0<x<l,所以J•11的定义域为

附.1),故正确;

〃因为•I'",所以一啜W1且XWO,

|::53H)

所以「'1',的定义域为[―i,o)U(°,i],

则/。)=再工=正已,因为f'1「/,一,所以/(X)是奇函数,故错误.

Ix+31-3x,/

故选AC

8.【答案】0

【解析】

【分析】

本题考查函数值的求法,考查函数的周期性、奇偶性等基础知识,属于基础题.

推导出/(25)=/(8x3+l)=/(I)=/(-I),由此能求出结果.

【解答】

解:定义域为〃的偶函数f(x)为周期函数,其周期为8,

当XG[T,0]时,/(x)=x+l,

,-./(25)=/(8x3+l)=/(I)=/(-1)=-1+1=0.

故答案为:0.

9.【答案】0

【解析】

【分析】

本题考查函数的最值,考查函数的奇偶性,属于基础题.

利用函数为奇函数可得函数最大值与最小值的和为0,即可求出结果.

【解答】

解:函数定义域为此且满足。.——/,一

所以函数/(尤)为奇函数,

/(%)的最大值与最小值的和为0.

即M+m=0.

故答案为:0.

jr

10.【答案】cos-x

2

【解析】

【分析】

本题考查了函数的对称性和周期性,属于基础题.

由性质①②可知,要写的函数关于直线x=2对称和以4为周期,即可得解.

【解答】

解:由性质①②可知,要写的函数/(x)关于直线x=2对称和以4为周期,

/(x)=COS—X,满足这两个条件.

故答案为cos工工

2

11.【答案】[-,2)

3

【解析】

【分析】

本题考查分段函数的单调性问题,属于基础题.

'2-a>0

根据题意列出不等式《"」,求解即可得到答案.

(2-a)x2+l

【解答】

解:因为函数在小上是增函数,

2-a>0

{(2-a)x2+l<a2-'

解得—”a<1.

3

故答案为g,2).

12.【答案】-4

【解析】

【分析】

本题考查了函数的奇偶性,属于基础题.

根据奇函数得/(2)=-/(—2),代入计算即可.

7

【解答】

解:,(x)为奇函数,

当x<0时,/(x)-x2-sinOx),

/(2)-〃-2)--[(-2尸-”训2TT)|--(440)

故答案为:—4.

13.【答案】1

36

【解析】

【分析】

本题主要考查的是分段函数函数值的计算,属于基础题.

利用函数是奇函数,/(())=(),可求a,然后求/(?),通过y(q)=-/(_q),即可求出结果.

【解答】

解:因为函数/(x)为奇函数,

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