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文档简介
函数的奇偶性与周期性、对称性及应用
学校:姓名:班级:考号:—
一、单选题(本大题共3小题,共15.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1.设函数/(x),g(x)的定义域都为兄且“X)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确
的是()
A.是偶函数B.|/(x)|-g(x)是奇函数
C./(x>|g(x)|是奇函数D.|/(x)-g(x)|是奇函数
2.定义在R上的函数/*)满足/(x+l)=/(元)一2,则下列是周期函数的是.()
A.y=f(x)—xB.y=f(.x)+xC.y=f(x)—2xD.y=f(x)+2x
3.已知函数/(x)=(2'+2f)ln|x|的图象大致为()
二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)
4.已知/(x)是定义在7?上的奇函数,其图象关于直线x=l对称,贝!|()
A./(%+4)=/(%)B./(x)在区间(—2,0)上单调递增
rrY
C./(x)有最大值D.f(x)=sin号是满足条件的一个函数
5.下表表示y是x的函数,则()
AO<x<55,,xv1010,,x<1515M20
J2345
1
A.函数的定义域是(0,20]B.函数的值域是[2,5]
C.函数的值域是{2,3,4,5}D.函数是增函数
6.已知定义在"上的函数/(x)=|S+sin2x-\/l-sin2x|,贝U()
A./(-x)=/(x)
TT
B-/(x+-)=/(%)
c.y(x)的最大值为2
rr77r
D.不等式/(x)..2cosx的解集为{x|——卜2k兀,,x<-----卜2k兀,keZ]
44
7.下列说法正确的是()
A.命题“Vx>0,都有x2-x+3>0”的否定是“3x>0,使得x?—x+3,,()”
B.y=4是定义域上的减函数
X
C.若函数/(")的定义域为则:・1)的定义域为,L1)
I).,「'1.r既不是奇函数也不是偶函数
Ijr+-3
三、填空题(本大题共7小题,共35.0分)
8.定义域为"的偶函数/(X)为周期函数,其周期为8,当xe[T,0]时,/(x)=x+l,则
/(25)=_一.
9.设函数f(x)=T空,若函数/Xx)在"上的最大值为M最小值为处则M+m=________.
/+1
10.请写出一个函数/(%)=,使之同时具有如下性质:①以£兄/W=/(4-x),
(g)Vxe7?,/(x+4)=f(x).
2
11.已知函数f,J2,"l?'1,若函数/(x)在R上单调递增,则实数a的取值范
(ar~\z>2
围是.
12.已知/(x)为奇函数,当xvO时,f(x)=x2-sinTUX,则/,(2)=.
13.若函数R/i<[,"为奇函数,则实数。=__________,"
|一•taiiJ2JI\3/
lu(1',,若…且"1),则a的取值范
14.已知函数。<
围为.
答案和解析
1.【答案】c
【解析】
【分析】
本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键.
根据函数奇偶性的性质即可得到结论.
【解答】
解:/(X)是定义在7?上的奇函数,g(x)是定义在上的偶函数,
/(-X)=-/(X),g(-X)=g(X),
f(-x)-g(-x)--f(x)-g(x),故函数是奇函数,故4错误;
I/(-X)|-g(-x)=|/'(x)|・g(x)为偶函数,故8错误;
/(-X)-1^(-x)|=-/(%)•Ig(x)|是奇函数,故C正确;
I/(-%)•g(—X)H/(%)-g(x)I为偶函数,故〃错误,
故选c
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了周期函数的判断,属于基础题.
直接利用周期函数的定义判断各选项即可.
【解答】
解:设g(x)=/(x)+2x,则g(x+l)=/(x+l)+2(x+1)=/(x)-2+2(x+1)=f(x)+2x=g(x),
是周期为1的函数;对于儿B,C均无法证明其具有周期性.
故选:D.
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了函数图象的识别,属于基础题.
首先判断函数奇偶性排除。,又根据当x>l时,/“(I,排除1,当0<x<l时,/:”0,
排除C,即可得出结论.
【解答】
3
解:/(x)=(2v+2-r)ln|x|,:../(»),
/./(-r)=(2-*+尸)加旧=/(x),
.・•/(无)为偶函数,排除。;
又「当x>l时,.0c-排除力,
当0<%<1时,/「0,排除C;
故选B.
4.【答案】AD
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数奇偶性及对称性的应用,属于基础试题.
由己知奇函数且函数图象关于x=1对称可分别检验各选项即可判断.
【解答】
解:由广(X)是定义在《上的奇函数可得/(x)=—/(—x),
由图象关于直线x=1对称可得/(2+x)=/(—x),
所以/(2+x)=-f(x),,/(4+x)=/(x)故4正确;
由己知没法判断函数的单调性与最值,a1错误;
TT
/1(幻=5由万》是奇函数,且y(2-x)=/(x),故〃正确.
故选:AD.
5.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题考查函数概念,函数的定义域和值域问题,属于基础题.
直接观察表格可得答案.
【解答】
解:由表格可知,自变量x的范围为(0,2()],函数y的范围为{2,3,4,5},故4c对.
故答案选AC.
6.【答案】AB
【解析】
【分析】
本题考查函数周期性与奇偶性的应用,训练了特殊值的恰当运用,考查分析问题与解决问题的能
力,属于基础题.
Jr
分别取X=-X,x=x+X代入验证判断4与6;由周期性化简函数解析式,求得最大值判断C;
2
77r
验证x=—时不等式成立判断D.
4
【解答】
解:对于A,f{-x)=|Jl+sin(-2x)--sin(-2x)|=|Jl+sin2x-Vl-sin2x|=f{x),故A
正确;
对于8,/(x+§+sin(2x+万)-,1-sin(2x++)|=|Jl+sin2x-Jl-sin2r|=f(x),
故6正确;
T[TT
对于G由选项夕可知,f(x)的周期为5,不妨取工£。万],
f(x)=]71+sin2x-\/l-sin2x|=|^/(sinx+cosx)2-^/(sinx-cosx)2|
fjr
2sill上,04工4—一
、:“「,二L,可得故C错误;
2ouei兀一《了(一
42
对于〃当%=上时,/(—)=V2=2cos—,即%时,不等式成立,故〃错误.
4444
故选:AB.
7.【答案】AC
【解析】
【分析】
本题主要考查了命题的真假,含有量词的命题的否定,函数的单调性,函数的定义域,函数的奇
偶性,属于拔高题.
利用全称量词命题的否定是存在量词命题判断4利用反比例函数的单调性判断8;利用复合函数
的定义域的求法判断a利用函数的奇偶性判断D
【解答】
解:4因为全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题“Vx>0,都有d-x+3>0”的否
定是“去>0,使得x2—x+3,,0",故正确;
氏y的减区间是(y,0),(0,F),不是定义域上的减函数,故错误;
X
5
C因为函数f(x)的定义域为:L?i,所以1<X+1<2,所以0<x<l,所以J•11的定义域为
附.1),故正确;
〃因为•I'",所以一啜W1且XWO,
|::53H)
所以「'1',的定义域为[―i,o)U(°,i],
则/。)=再工=正已,因为f'1「/,一,所以/(X)是奇函数,故错误.
Ix+31-3x,/
故选AC
8.【答案】0
【解析】
【分析】
本题考查函数值的求法,考查函数的周期性、奇偶性等基础知识,属于基础题.
推导出/(25)=/(8x3+l)=/(I)=/(-I),由此能求出结果.
【解答】
解:定义域为〃的偶函数f(x)为周期函数,其周期为8,
当XG[T,0]时,/(x)=x+l,
,-./(25)=/(8x3+l)=/(I)=/(-1)=-1+1=0.
故答案为:0.
9.【答案】0
【解析】
【分析】
本题考查函数的最值,考查函数的奇偶性,属于基础题.
利用函数为奇函数可得函数最大值与最小值的和为0,即可求出结果.
【解答】
解:函数定义域为此且满足。.——/,一
所以函数/(尤)为奇函数,
/(%)的最大值与最小值的和为0.
即M+m=0.
故答案为:0.
jr
10.【答案】cos-x
2
【解析】
【分析】
本题考查了函数的对称性和周期性,属于基础题.
由性质①②可知,要写的函数关于直线x=2对称和以4为周期,即可得解.
【解答】
解:由性质①②可知,要写的函数/(x)关于直线x=2对称和以4为周期,
/(x)=COS—X,满足这两个条件.
故答案为cos工工
2
11.【答案】[-,2)
3
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的单调性问题,属于基础题.
'2-a>0
根据题意列出不等式《"」,求解即可得到答案.
(2-a)x2+l
【解答】
解:因为函数在小上是增函数,
2-a>0
{(2-a)x2+l<a2-'
解得—”a<1.
3
故答案为g,2).
12.【答案】-4
【解析】
【分析】
本题考查了函数的奇偶性,属于基础题.
根据奇函数得/(2)=-/(—2),代入计算即可.
7
【解答】
解:,(x)为奇函数,
当x<0时,/(x)-x2-sinOx),
/(2)-〃-2)--[(-2尸-”训2TT)|--(440)
故答案为:—4.
13.【答案】1
36
【解析】
【分析】
本题主要考查的是分段函数函数值的计算,属于基础题.
利用函数是奇函数,/(())=(),可求a,然后求/(?),通过y(q)=-/(_q),即可求出结果.
【解答】
解:因为函数/(x)为奇函数,
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