易错点2 函数的性质-2022年高考数学考试易错题（新高考专用）（教师版含解析）

易错点02函数的性质

易错题Loi］不理解函数概念

在函数力A-B中AB都是非空数集，且满足两允许，两不允许：允许B中有剩余元素，不允许

A中有剩余元素；允许多对一，不允许一对多.

易错题［02］研究函数单调性忽略定义域

研究函数的单调性切记定义域优先，分式形式的函数要保证分母不为零,对数型函数要保证底

数大于零且不等于1,真数大于零.

易错题［03］研究函数奇偶性与单调性忽略其等价形式的应用

1.注意与函数奇偶性有关的几个结论：

⑴/⑺是偶函数o7(%)=〃r)o〃x)=〃k|)u>/(x)-『(r)=0；

(2)〃力是奇函数0/(-x)=-/(%)<»/(x)+/(-x)=O：

(3)若函数/(X)在x=O处有意义，则/(0)=0；

(4)/(%+«)是偶函数，则f(x+a)=/(-x+a)J(x)是偶函数，则〃x+a)=f(-x+a).

2.增函数与减函数的等价形式

⑴若\/xvx2e［a,b］，且%尸々，(七一工2)［/(%)-/(*2)］〉°。秋

=/(x)在［a,b］上是增函数；(%-%)［/(%)-/(%2)］<0o~"々)<o

王一马

。./'(力在可上是减函数.

(2)若x产x2，且"6")>3则y=_乙是增函数.

X］—x2

易错题［04］不会利用对称性与奇偶性推导函数的周期性

(1)函数y=/(x)满足/(a+x)=/(a-x)(a>0),若/(x)为奇函数，则其周期为T=4a,

若/(x)为偶函数，则其周期为T=2a.

⑵函数y=/(x)(xeR)的图象关于直线x=a和尤=人(a<。)都对称，则函数/(x)是以

2(匕一。)为周期的周期函数；函数y=/(x)(xeR)的图象关于两点A(a,%)、B(b,y0)

(a<h)都对称，则函数/(x)是以2传—a)为周期的周期函数；函数y=/(x)(xeR)的图象

关于A(a,%)和直线x=外“<。)都对称，则函数/(x)是以4e-a)为周期的周期函数.

易错题四

下列四个图像中，是函数图像的是（）

【警示】本题出错的主要原因不明白函数不允许一对多.

【答案】c

【问诊】根据函数的定义,一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一

个函数值，显然只有（2）不满足.故选C.

【叮嘱】注意区分函数图象与曲线的区别，曲线可以是一对多，但函数不允许一对多.

变式练可

L函数产/（尤）的图象与直线x=l的交点个数（）

A.至少1个B.至多1个C.仅有1个D.有。个、1个或多个

【答案】B

【解析】若1不在函数/U）的定义域内,尸兀＜）的图象与直线x=l没有交点，若1在函数_/U）的

定义域内的图象与直线X=1有1个交点，故选B.

2.下列四个图像中，不是函数图像的是（）

【答案】A

【解析】对于A,由于一个自变量x对应两个儿不表示函数,不是函数图像，所以A符合题意,

对于BCD,由图像可知一个自变量x对应唯一一个九所以表示的是函数图像，所以BCD不符

合题意，故选A.

易错题凹

（2022湖北省武汉市高三上学期月考）函数，（乃=1。8“（3-2^）在区间［1,2］上单调递增,则实

数。的取值范围为（）.

A.（0.1）B.

C.„D.（l,+oo）

【警示】本题出错注意原因是忽略在［1,2］上3-为x>0.

【答案】C

【问诊】设”（x）=3-2or（a>0）,可得y=log"",则”（x）=3-2ax（a>。）是减函数，

耍使得函数/（司=1嗝（3-2奴）为［1,2］上的增函数,只需》=咋,,“为减函数,且满足

r［0<a<13

〃（力=3-2依>0对于84r,2卜恒成立,所以*（力="（2）=3_4〃>0，解得：0<«<-,

所以实数a的取值范围为（0；）.故选C.

【叮嘱】研究形如丫=108"/"）（。>0,。工1）的单调性一定要注意/（q>0.

变式练习,，

1.函数/（x）=1g（炉-2%-3）的单调递增区间为.

【答案】（3,+8）

【解析】由》2一2%-3>0得》<一1或03,所以〃%）递增区间为（3,母）.

2.（2022届安徽省安庆市重点高中高三上学期月考）函数，（力=卜12-奴-3）在（1,+8）单调

递增，求。的取值范围（）

A.a<2B.a<2C.a<-2D.a<-2

【答案】C

【解析】令"x）=x2-双-3,二次函数抛物线的对称轴方程为x=；a,

由复合函数的单调性可知又/-以-3>0在（1，+°°）上恒成立，所以1-a-320,即

-2-°20,所以《2-，解可得,aM-2.故选C

-2-a>0

易错题时

(2015新课标全国卷1)若函数/(x)=xln(x+Ja+f)为偶函数，则。=

【警示】本题失分注意原因是不知道用/(x)-/(-x)=O求”的值，直接利用定义又不知道

分子有理化.

【答案】1

【解析】因为“X)是偶函数.，所以/(%)-/(-%)=xln[(x+Va+x2)(-x+Va+x2)]=

xlna=0,所以“=1.

【叮嘱】研究函数的奇偶性与单调性要注意等价形式的应用.

变式练习

1.(2022届陕西省西安高三上学期期中汜知函数++x+

awl),且/(万)=5厕/(-万)=()

A.-5B.2C.1D.-1

【答案】C

[解析]令g(x)=/(x)-3=In卜+\Jx2+1j+；+x,

所以g(x)为奇函数，

所以g(—万)+g(%)=0,即/(一乃)-3+/(万)-3=0.

又〃乃)=5,所以)=1,故选C.

2.(2022届北京市通州区高三上学期期中)已知函数/(x)的定义域为RJ(5)=4J(x+3)是

偶函数,Vxpx2G[3,^o)，有,(%)-"%)>0，则()

玉一当

A./(O)<4B./(1)=4C./(2)>4D.〃3)<0

【答案】B

【解析】由3)是偶函数可得“X)关于直线x=3对称因为Vx„x2e[3,+8),有

色匕3>0,所以“X)在[3,内)上单调递增，因为“5)=4,所以〃0)=〃6)>4.

%一％2

〃1)=〃5)=4J⑵=〃4)<4,无法比较了⑶与0的大小，故选B

易错题四

(202全国卷甲卷理数12)设函数/(X)的定义域为AJ(x+1)为奇函数,7(x+2)为偶函数，当

o

xe[l,2]时J(x)=or2+b.若f(0)+/(3)=6,则/0)=()

9375

A.—B.—C.—D.一

4242

【警示】不会利对称性推导周期性是本题失分的主要原因

【答案】D

【问诊】•/(x+1)为奇函数⑴=0,且f(x+l)=-x+1),

f(x+2)偶函数,：.f(x+2)=f(-x+2),

/[(x+D+1]=-f[-(x+1)+l]=，即f(x+2)=,

f(-x+2)=f(x+2)=-/(-x).

令^=-》,则/。+2)=-/。)，

■-f(t+4)=-f(t+2)=f(t),rJ(x+4)=f(x).

当xw[l,2]时,/(幻=0^+力.

/(0)=/(-I+1)=-/(2)=4j,

/(3)=/(l+2)=/(-l+2)=/(l)=a+b.

乂/(0)+/(3)=6.—3(7=6,解得a=-2,

/(I)—a+b—0..'.b——a—2,

.•.当xeri,2]时,/(x)=-2W+2,

aia95

=/(-)=-/弓)=-(-2x-+2)=-.故选”

【叮嘱】掌握由对称性推导周期性的结论

变式练习〉)

1.(2022届江西省赣州市十七校高三上学期期中联考)已如y=/(x-l)的图像关于点(1,0)对

称，且对VxeR，都有/(x-1)=/(3-x)成立，当xe(-2,0)吐f(x)=2/,则

/(2021)+/(2022)=()

A.-2B.2C.0D.-8

【答案】A

[解析】y=ZU-1)的图像关于点d,o)对称，所以/*)关于原点对称，为奇函数.

由于f(x—1)=f(3-x)，所以/(x+4)=/(x+5-1)=/(3-(x+5))

=/(-2-x)=-f(x+2)=-f(x+3-1)=-/(3-(x+3))=-/(-x)=/(x),

所以/(x)是周期为4的周期函数.

所以/(2021)=/(505x4+l)=/(1)=-/(-I)=-2x(-l)2=-2.

/(2022)=/(505x4+2)=/(2)=/(-2),而/(2)=-/(-2),

0/(2)=0即/(2022)=0,/(2021)+/(2022)=-2,

2.(多选题)(2022届山东师范大学附属中学高三上学期月考)定义在R的奇函数/(x)满足

=当xe［0,3］时〃x)=d-3x,则以下结论正确的有()

A.“X)的周期为6B./(X)的图象关于(1,0)对称

C.7(2021)=2D./(X)的图象关于x对称

【答案】ACD

【解析】因为/⑴满足〃x_3)=_〃x),所以〃*_6)=_〃8_3)=〃力,故函数〃》)是周期为

6的周期函数，故A选项正确：、由于函数为R的奇函数f(x)满足〃x-3)=_f(x),所以

/(x_3)=-/(x)=/G),所以根据周期性得〃x+3)=〃_x),所以小+T=/(|-4所以

/(X)的图象关于x对称，故B错误,D正确；对于C选项,结合周期性得

〃2021)=/(336x6+5)=〃5)=/(T)=-〃1)=一(1-3)=2,故正确.故选ACD

易错题通关

1.(2022北京市朝阳区高三上学期期中届)若函数〃,力=。-己2(aeR)为奇函数,则实数

"().

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】D

2

【解析】因为函数〃力="亍、(。€/?)为奇函数,定义域为乩

所以40)=0,即解得4=1,经检验符合题意，故选D

2.(2022届广东省深圳实验学校、湖南省长沙市第一中学高三上学期联考)已知函数

［lg(2x+l),X>0,、/、ri

"力二%-2：1<0'若不等式“侬一1)<小—2)在［2,3］上有解,则实数"的取值范围是

)

【答案】C

【解析】当x<0时,/(X)=lg(l-2x),-x>O./(-x)=lg(-2x+l)=/(x).

当x>0时,f(x)=lg(2*+1),—X<o,f(-x)=lg(l+2x)=/(x).

所以/(X)为偶函数.又因为一(X)在(―,0)为减函数，在(0,+e)为增函数.

所以/3-1)</"-2)0麻-1|小-2|.因为不等式“"-1)</(%一2)在［2,3］上有解,所

31

以2—xvor—1vx—2,即二一1<x<1—在［2,3］上有解，

又因为y=：-l在［2,3］为减函数,、=1-：在［2,3］为增函数，

3

所以0<。<5.故选c

3.已知偶函数/(X)的图象经过点(T-3),且当04a<。时,不等式(fS)-/(«))(^-«)<。恒成

立，则使得/(X-2)+3<0成立的x取值范围为()

A.(3*)B.(1,3)C.(―,1).(3收)D.［1,3］

【答案】C

【解析】由题意,Ax)是偶函数且经过点(-1,-3)所以点(1,-3)也在图象上，即/(1)=-3

当04a<匕时不等式(/(b)-/(a))S-a)<0恒成立，所以函数/(x)在［0,+a>)上为减函数，因

为/(x-2)+3<0,即/(x-2)<-3,所以/(,一2|)</。),即卜一2|>1

解得：x<l或x>3

所以使得/(工-2)+3<0成立的x取值范围为：(y>,l)U(3,y).故选C.

4.(2022届新疆克拉玛依市高三第三次模拟)已知定义在R上的奇函数/(x)满足

〃x)=〃2r),当时J(x)=3x,若函数g(x)=f(x)-耳x-4)的所有零点为

1Q〃

x,(i=l,2,3,,〃),当时,=()

A.20B.24C.28D.36

【答案】c

【解析】•.•定义在R上的奇函数“X)满足〃x)=/(2-x),故图象关于x=l对称，

；•一/(—x)=/(2—x).故〃2+x)=—4X).〃4+x)=—/(2+x)=〃x),即周期为4,又

〃x)定义在H上的奇函数，所以(4,0)是函数〃x)一个对称中心，

又因为当时J(x)=3x,作出函数/(x)的草图，如下：

易知函数y=%(x-4)经过定点(4,0),且关于(4,0)中心对称，

1Q1劣

又;<4<],分别作出函数y=；(x—4)和y=](x-4)的图象厕函数y=&(x—4)的图象在函

则y=/(x)与y=Mx-4)交点关于(4,0)中心对称，由图像可知关于(4,0)对称的点共有3对,

同时还经过点(4,0),所以£升=3x2x4+4=28.故选C.

/=!

5.(2022届重庆市涪陵实验中学校高三上学期期中)已知y=/(x-l)的图象关于点(1,0)对称,

且对VxeR,都有〃x-l)=/(3-X)成立，当xe[7,0)时J(x)=2d,则/(2021)=()

A.-8B.-2C.0D.2

【答案】B

【解析】因为y=〃x—i)的图象关了点(1,0)对称，

所以函数/(X)的图象关于点(0,0)对称，即函数/(X)为奇函数，

所以—f(x),

又对X/xeR,都有/(x-l)=〃3-x)成立，

所以〃x+2)=/(—x)=-/(x),

所以〃x+4)=-〃x+2)=-[-/(X)]=〃x),

所以函数/(©是周期为4的周期函数，

因为xw[—l,0)时,/(x)=2f,

所以f(2021)=/(1)=-/(-1)=一2(-1)2=-2,故选B.

6.(2022届吉林省长春市重点高中高三上学期月考)已知函数负x)=lg(N—2x—3)在(一8,4

单调递减，则a的取值范围是()

A.(-oo,-|]B.(-oo,2]C.[5,+oo)D.[3,+oo)

【答案】A

【解析】y=lg“是增函数,〃=2x-3=(x-l)2-4在(9,1)上递减，在(1,”)递增，

[a<\

因此/(x)在(ro,a)上递减，则有I.0、八,解得a«-l.故选A.

口-2a-320

7.(多选题)(2022届决胜新高考名校交流高三联考卷)/(x)是定义在R上的偶函数，对VxeR,

均有/(x+2)=-〃x),当xe[0,l]时,"x)=log2(2-x),则下列结论正确的是()

A.函数〃x)的一个周期为4B.”2022)=1

C.当xe[2,3]时,/(x)=-1。氏(4—x)D.函数在[0,2021]内有1010个零点

【答案】AC

【解析】是定义在R上的偶函数，对TxeR,均有〃x+2)=-〃x),

.•J(x+4)=—"x+2)="x),故函数的周期为4,故选项A正确；

/(2022)=『(4x505+2)=/(2)=—/(0)=—1,故选项B错误；

当xe[2,3]时,x-2e[0,l],则〃x)=-〃x-2)=-log2[2-(x-2)]=-log2(4-x),故选项C

正确；易知〃l)=/(3)=f(5)i.=/(2019)=/(2021)=0.

于是函数f(x)在[0,2021]内有1011个零点，故选项D错误，故选AC.

8.(2022届广东省普通高中高三上学期11月阶段性检测)已知定义在R上的函数〃x)满足

/(%)=-/(4-x),且/(X+1)=川-x),则()

A.7(x)为奇函数B.7(x)的图象关于x=2对称

C./(x+2)为偶函数D.7(x)是周期为4的函数

【答案】AD

【解析】因为/a+i)=/a-x