湘豫名校2024届高三年级上册12月月考数学试题含答案

姓名____________

准考证号____________

绝密★启用前

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湘豫名校联考

2023年12月高三一轮复习诊断考试（三）

数学

注意事项：

1.本试卷共6页。时间120分钟，满分150分。答题前，考生先将自己的姓名、准考证

号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然

后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案

写在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

L集合M={zGZ|z（z—2）=8},CNM={1,0},则MljN=

A.{1,0}B.{-2,4}C.{-2,0,1,4}D.无法确定

1.4•

2.设复数z的共轲复数为常若—2z+3i,则2=

z

A.14-iB.1—iC.—1+iD.—1—i

3.已知a是两条不同的直线，a,£是两个不同的平面，若a//a,6_Lf,则a〃£

是aJ_6的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

22-1

4.已知椭圆C帚十%=l（a>6>0）的离心率为方，若经过椭圆C的上顶点和

右顶点的直线/经过点（4,一点），则椭圆C的短轴长为

A.V3B,2C.2向D.4

数学试题第1页（共6页）

5.已知向量a,b满足|Q|=Ib|=3,且2a+b=（3,4）,则cos<a,fe>=

A.gB.§C.——D.——

6.已知菱形ABCD的边长为2,NBCD=60°,若该菱形以AB为轴旋转一周，

则所形成的几何体的体积为

A.4/江B.67tC.77rD.87r

七一X******二二同―

7,已知函数/（z）为定义在R上的奇函数，当0<z《l时当l>1

X

时"殳）="z—2）,则/（?）=

A.-24B.-12C.一白D.

±0O

8.已知数列｛a“｝满足：曲：念：&3=4：3：2,且。4=J.若Vn^-2,pan-qan-x=

乙

2（P，qGR）恒成立，则〃6+«8+卬0=

9

A.-24B.-6C.-yD.-4

乙

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得

0分.

9.已知角Q终边上一点P（盘■，点），则下列结论正确的是

A.yio^口（兀），r^一3点

A.sina=——n.cosQ十，7=----1二----

o\6）10

C.若tan2a+几a=0,则a=2D.2a属于第二象限角

10.双曲线C：<一1=1（40,6>0）的一条渐近线方程为产-21,半焦距为

c,则下列论述错误的是

A.双曲线C的离心率为3

B.顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为西

C.直线y=x+l与双曲线C有两个不同的交点

D.过点（c,乃6）有两条直线与双曲线C相切

数学试题第2页（共6页）

11.黎曼函数(Riemannfunction)是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并

用Ie"一^、，曰1=2,"qGN*,2为既约真分数，,

提出，其基本定义是：R(I)=qqq(注:

.0,z=0,1或(0,1)上的无理数

分子与分母是互质数的分数，称为既约分数)，则下列结论正确的是

A.R

B.黎曼函数的定义域为[0，口

c.黎曼函数的最大值为9

D.若/(6是奇函数，且/U-x)=>(z),当工£[0,□时,f(H)=>(z),则

732+6)=|

12.已知三棱锥S-ABC,则下列论述正确的是

A.若点S在平面ABC内的射影点为AABC的外心，则SA=SB=SC

B.若点S在平面ABC内的射影点为A,则平面SBC与平面ABC所成角

的余弦值为含四

C.若NBAC=90°,点S在平面ABC内的射影点为BC的中点H,则S,A,

B,C四点一定在以H为球心的球面上

D.若NBAC=90°,S,A,B,C四点在以BC的中点H为球心的球面上，且

S在平面ABC内的射影点的轨迹为线段BC(不包含B,C两点)，则点S

在球H的球面上的轨迹为圆

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若46(0,2),6£(1,4),且4+6=4,则(0+2)(6—1)的最大值为.

2

14.已知圆G+/—2a_z+46y+4=0,则直线or—2力+2=0与圆C2：J?+

=1的位置关系是.

15.若函数/(x)=2sin(cor+3)(s>0)在工=百处取得最大值，且/(工)的图象

在(0,兀)上有4个对称中心，则3的取值范围为.

,若函数/(JCCOS力£，则函数)的极小值

16JC)=sin2”,—y乙乙/(K

为.

数学试题第3页(共6页)

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.(本小题满分10分)

一建筑物CE垂直耸立于△ABC所在的水平面，如图，在观测点B处测得

顶点E的仰角(视线与水平线的夹角)为60°,在观测点D处测得顶点E的

仰角为30°,平面ABC.

(1)若AD=100,NDBE=NBDE,求建筑物CE的高；

(2)若AD=苧,NABD=45°,求cosNACB的值.

18.(本小题满分12分)

如图甲，在直角梯形ABCD中，CD〃AB,ADJ_AB,2CD=2AD=AB,

△ABE是等边三角形.现将梯形ABCD沿AB折起至梯形ABC'D',使平

面ABC'。与平面ABE所成二面角为直二面角，如图乙所示.

(1)证明：

(2)求平面BC'E与平面AD'E夹角的余弦值.

数学试题第4页(共6页)

19.(本小题满分12分)(公£1。

设数列｛wa“｝的前"项和为S"，数列｛S.｝是递增的等比数列，且S6+S8=

>ytxrrfITV.!.：-ipIxtJTo.；.■JKH.wJ

10,S3,Su=16.

(1)求数列｛a.｝的通项公式；

(2)求数列仁)的刖"项和T”.

由，5/$,尔也因苫，--4十心£3,禹心也暇。串掩曲袋直」/

•.小大曲■夹小哭♦张,&/闻而,

20.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=alnx—X2.

(1)若八①)在(8,+8)上单调递减,求实数。的取值范围；

/。、土o+f12X4X6XX2«>.n(2«+l)右

(2)右a=2,求证―%一,〃CN.

的小翅用3/瓒4C2("；、摒直曲》千戈且—。):八•:”

.CSnlSe.Sn­)1即不

数学试题第5页(共6页)

21.(本小题满分12分)

已知直线Zi，Z2相交于点D(l,一1),且分别与抛物线C：z2=2p»(力＞0)

相切于A(xlfyi),B(x2，2)两点,AD±BD.

(1)求抛物线C的方程；

(2)过抛物线C的焦点F的直线八上分别与抛物线C相交于点P,Q,M,

N,直线h，h的斜率分别为题，即,，且"+跖,=0,若四边形PMQN的

面积为2,求直线Z3,Z4夹角的大小.

22.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=xec-2a\nGR.

(1)若(2=6,求/(i)的最小值；

(2)若。£(0,3/1,且关于a的方程f(a)=6a有实数根，6的最小值为S,

证明：SG(4—21n2,5—21n2).

数学试题第6页(共6页)

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2023年12月高三一轮复习诊断考试（三）

数学参考答案

题号123456789101112

答案CAACDBDCBCDABDBCAB

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

i.c【命题意图】本题考查集合的并集、补集运算，解方程，考查数学运算的核心素养.

【解析】由题易得M={-2,4},又CNM={1,0},所以M=N,N={-2,0,1,4}.所以M\JN=N.故选C.

2.A【命题意图】本题考查复数的除法运算、复数相等，考查数学运算的核心素养.

【解析】设之=。+历（。"£区），则z=a—bi.因为1+克=2z+3i,所以一历=2a+（26+3）i.易得

Q+1=2a,Q=1,

解得所以z=l—L所以卷=三=清舟%=l+i.故选A.

—b=26+3,6=-1,

3.A【命题意图】本题考查线面位置关系，充分、必要条件，考查逻辑推理、直观想象的核心素养.

【解析】若a〃B，a〃a则反之，若a_\_h,a//a,6j_£,则a〃/?或。口£.所以a〃£是aj_6的充分不必

要条件.故选A.

4.C【命题意图】本题考查椭圆的方程及相关概念、直线的方程，考查了数学运算、直观想象的核心素养.

【解析】因为产/一=9，所以离=2瓦由题意知直线/的方程为宁+年=1,即研+”—劭=。，所以

用Z2y一用a=G.因为直线I经过点（4,一居），所以西X4+2X（一相）-J5a=0,解得a=2.所以J^X2=

26.所以所以椭圆C的短轴长为26=潟.故选C.

5.D【命题意图】本题考查向量的模、数量积运算，考查数学运算的核心素养.

【解析】因为了F=5,等式两边平方得4|。|2+|"2+4|。|•\b\cos〈a,b〉=25,又|a|=|b|=

3,所以4X9+9+4X3X3cos〈a,8〉=25,解得cos（a,b）=一勺.故选D.

6.B【命题意图】本题考查旋转几何体、圆柱的体积，考查直观想象、数学运算的核心素养.

【解析】如图，过点B作CD的垂线，交CD于点E,将直角ABCE剪去，并补到点B

A处，使BC与AD重合，则组成边长分别为2,西的矩形.旋转所得几何体为圆

柱，其底面圆的半径为煦'，高为2,所以该几何体的体积为“XC偌MX2=6加故

选B

7.D【命题意图】本题考查函数的求值、周期性，考查数学运算、数学建模的核心0

素养.

【解析】/（'）=十/（1一2）=，/■（专一2）"一因为/（H）为奇函数，所以

/（一十）=一3,所以/（引=+义（_3）=一/.故选0.

8.C【命题意图】本题考查恒成立问题、等差数列的通项公式及性质,考查数学抽象、数学运算的核心素养.

3i,广刎=2,什胸—眄=2,

【解析】因为即：。2：。3=4：3：2,所以〃2=才，。3=亏.因为《所以《化简

2I立。3—qa=2,13_

2力Qi——^qa\—Z9,

2212

得;>=q，且p,q不为0.所以&一4-1=二，所以数列｛&｝是等差数列.因为々3=44一二=亏一:7,所以田=

PP乙P

2a3=1一因为々4=4,所以[=1一二+3义~|■，解得力=—4,即公差d=--5-.所以©=1一工7=2.所

pA乙pp/一4

以々8=a1+7d=2+7X；（一）——母，所以〃6+48+aio=3恁—3X（-）=-故选C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.BCD【命题意图】本题考查三角函数的定义，正、余弦的和角公式，正切的倍角公式，考查数学运算的核心

素养.

【解析】由题易知r=J）2+’所以sina—,A错误；因为cosa=,所以

A/55同5

3V

cos(a+?)=cosacos^--sinasin4=乂普义［■一^^\B正确因为tana=-=

'3，335N5N10V2

2X年

叵

T，所以tan2a=-----一次仔，所以一列停+述"a=0,解得a=2,C正确；因为a属于第一象限角，所以

1-

2万冗〈0:〈~^~+2无/Z,所以44兀<20<式+4上冗,无6Z,且tan2a=~2\/6~<10，即2a属于第二象限角，D正确.

故选BCD.

10.ABD【命题意图】本题考查双曲线的方程及性质、直线与双曲线的位置关系，考查直观想象、数学运算的核

心素养.

【解析】由题易得5=2,所以e=Jl+（5）一=A错误；根据三角形的相似性，知顶点到渐近

线的距离与焦点到渐近线的距离之比为旦，色=工=电，B错误；因为直线y=2x+l与渐近线y=2工平

cce5

行，所以直线、=21+1与双曲线C的左支仅有1个交点，与右支没有交点.又直线y=i+l与直线y=

2i+l都过点（0,1）,且直线、=1+1的倾斜角比直线丁=2久+1的倾斜角小，结合图形可知，直线丁=1+1

「2QL2

与双曲线C有两个不同的交点，C正确；因为亍一上=5—3=2>1,所以点（c,J，6）位于双曲线C右支的右

侧位置，显然过点（c,6'6）的直线不可能与双曲线C相切，D错误.故选ABD.

11.BC【命题意图】本题考查新概念、数学文化、函数的性质，考查逻辑推理、数学运算、数学抽象的核心素养.

【解析】R（《）=R（[~）=I-，A错误.因为P，q€N*,2■是既约真分数，工=且，0,1或（0,1）上的无理数，

\8/\4，4qq

所以黎曼函数的定义域为[0,1],B正确.又p,qgN*,且为既约真分数，所以工的最大值为春，C正确.因

qq2

为f（l—为=/（%）,所以f（一久）=/（l+1）.所以/（一1一l）=fCz+2）.因为/（了）是奇函数，所以/（一丁一1）=

——fC^=.Bi?-g-9%国助的国宜日、泵，胡./Y遗）———=

/（一5）=一/（春）=一3"（@+6）="4内=/（4展_6）=_/（6_4直）=0,所以/（,）+

/（，初+6）=一卷,D错误.故选BC.

12.AB【命题意图】本题考查立体几何中的线面位置关系、二面角、轨迹问题、球体，考查直观想象、逻辑推理、

数学运算的核心素养.

【解析】设△ABC的外心为点。，则OA=OB=OC,所以Rt/\SOATRtZ\SOB&RtZ\SOC,所以SA=SB=

SC,A正确；过点A作BC的垂线AT,交BC于点T,连接ST,则STJ_BC,所以/ATS是平面SBC与平面

^AT-BC

ABC所成角的平面角，则COSNATS=3^=3---------=段些，B正确；因为/BAC=90°,H是BC的中

-yST•BC5asbc

点，所以HC=HB=HA,但HS=HA不一定成立，C错误；依题知点S的轨迹是以华为半径的圆，且不包

括B,C两点，D错误.故选AB.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

95

13.年【命题意图】本题考查基本不等式，考查数学运算的核心素养.

【解析】（4+2）（〃_1）/]（"+2）”（。—1）]2='+”1）2=竽，当且仅当〃=时等号成立.

14.相交【命题意图】本题考查圆与直线的方程、直线与圆的位置关系，考查数学运算的核心素养.

【解析】因为（1—0）2+0+26）2=分+4"—4表示圆G的方程，所以Y+462—4>0,即«2+^2>4,因为

—-=====-/2二<、=1,所以直线—2〃y+2=0与圆。2：/+丁=1相交.

—十（26）2万+奶22

15.（3,50【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查直观想象、数学运算的核心素养.

【解析】依题知2sin（等+卯）=2,所以与+W=合+24"GZ,解得少=—零+年+2®花gZ,所以f（z）=

'乙/乙乙乙乙

2sin（3;—詈+-^-+2丘）=2COS3G-受）.因为3>0,所以当文£（0,冗）时,3（久一4）G（—詈，詈）.依

题知甘〈詈&詈，解得3<3&5.

16.一名【命题意图】本题考查三角恒等变换、导函数、极值，考查数学运算、数学抽象的核心素养.

23

【解析】/（]）=sinjr（1—2sinJ?）=—2sinJ;+sin],设t=sin],因为[一J，所以ZGE—1,1].令

g（i）=—2t3+方，-G[―1,1],所以g'（力）=-6於+1.令/（方）=0,则Z=“或t=一手因为在

（―1,—g）上/（力<0,在（一g,g）上/（力>0,在（g,l）上/（力<0,所以g（»在（一1,一白）上单

调递减，在（一上单调递增，在（g,l）上单调递减，所以ga）的极小值为g（—g）=—2X

（一g）,-f=第—g-§，即户工）的极小值为一生

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

【解析】(1)设CE=x,则BE=.工口厂=^^=半4

sin^zEnCsin603

T—AD

DE=第=2(久—100).....................................................................................................................................2分

sin30

因为NDBE=NBDE,所以DE=BE.

所以券x=2(i—100),

解得1=150+5娘，即CE=150+5函........................................................5分

CFCF

(2)由(1)设CE=i,因为AD=号，NABD=45°,所以AD=AB=^.

因为BC=；~~1下/l=+，△。=§-AC=、。=噂*,.....................................8分

tan/NLtan603Ztan30乙

所以由余弦定理得

»十-5.

AC2+BC2-AB2

cosXACB10分

2AC•BC6

18.【命题意图】本题考查空间几何体的线面位置关系、平面与平面的夹角问题，考查直观想象、逻辑推理、数学

运算的核心素养.

【解析】（1）取AB的中点O,连接C'O,OE.

因为C'D'〃AB,2C/iy=BA,所以C'D'=OA,

所以四边形AOC'D’是平行四边形.

所以C'O〃D'A.

因为AD'±AO,

所以C'O_LAO,即C'O^AB..........................................................................................3分

因为△ABE是等边三角形，所以OE，AB.

因为C'OnOE=O,

所以平面C'OE.

所以AB±C'E..........................................................................................................................................................6分

（2）以点O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系0—xyz,

不妨设C'D'=1,则AD'=OB=OA=1,OE=43.

所以A(-l,0,0),B(l,0,0),C,(0,0,l),D,(-l,0,l),E(0,73,0).

所以/=(—1,0,1),碇=(—1,西，0),初=(0,0,1),屋=(1,9，0).

设平面BCfE的法向量为〃=(⑥，”，句)，

[n•B(^=0,f—=0,

则f即1

In•BE=0,1—H-A/3~5/I=0.

令=用,则zi=用,yi=1,

所以平面BCfE的一个法向量为n=（V3",1，V3~）.8分

f

设平面ADE的法向量为m=（rc2，之2），

（机•AJ=O,[+y3j/=0,

则｛一即1X22

令)2=一1，则=耳，22=0，

所以平面AD'E的一个法向量为m=(73",—1,0).10分

设平面BCE与平面AD'E的夹角为心则

|〃•机|_|A/3XV3+1X(-1)+73X0|_T7

C°S~MW—#X2—〒

故平面BC'E与平面AD'E夹角的余弦值为g...............................................12分

19.【命题意图】本题考查数列的前〃项和与通项公式的关系、等比数列的定义、数列累乘求通项，考查数学运

算、数学建模的核心素养.

【解析】(1)因为数列｛S”｝是等比数列,

所以S3・S11=S6•S8=16.

因为S6+S8=10,S6•S8=16,

所以S6,S8是方程/-10I+16=0的两个实数根，

(S6=2,(S6=8,

所以或

0=8,5=2.

因为｛S”)是递增的等比数列，所以6'

、=8.

设｛SQ的公比为q,

则/=3=4，

解得9=2,或q=-2(舍去)......................................................................3分

所以5"=2><2"—6=2”—5.

因为(21+2。2+3々3+…=2"—5,

所以％+2。2+3。3+…+(«—Da„-i=2"-6(")2),

两式相减得〃。"=2"—5—2"-6=2广6,

2n-6

所以a”=---,〃>2.

n

当n=1时，ai=Si=2一，

(2)因为人=万入(»2),

所以当时，，=16+，+冒y+

所以十=8+^ly+^ly+^47H..................................................9分

两式相减得；r”=8+3+1-，^—

乙乙乙乙乙乙

8（一

40+

RA2+、

=56一『

所以T„=112-|±^.

当n=1时，满足上式，

故T〃=112—斜2-1-77..............................................................................12分

20.【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性、从函数角度来证明不等式，考查数学运算、数学抽象、直

观想象、逻辑推理的核心素养.

【解析】（1）由题易知函数/（了）的定义域为（0,+8）,/（］）=?—21="子二

当Q&0时所以/（了）在（8,+8）上单调递减.

当Q＞0时，令/'（GuO,得X=,

因为/（了）在（8,+8）上单调递减，所以等巴＜8.

所以a<128.

所以实数a的取值范围为0Va4128.

综上所述，实数a的取值范围为(一8,128]...................................................6分

9—2于2

(2)方法一：因为。=2,所以f")=.

x

因为在(1,+8)上所以/(为在[1,+8)上单调递减..................................8分

所以/(2)</(1),/(4)</(3),/(6)</(5),/(2n)</(2«-1),

即21n2-22<21nl-l2,21n4-42<21n3-32,21n6-62<21n5-52,-,21n(2n)-(2n)2<21n(2«-1)-

⑵一I/,〃£N*.

所以21n-1-<C2+1,21n4<4+3,21n-f-<6+5，…，21n°1V2〃+2%—1,

135Ln-1

所以2[1。1X23X^X6.^X(2«-1)]<1+2+3+4+-+2„=2，，(2；+1)=〃(2"+1)

-2X4X6X-X2/?/⑵+1)

所以lnlX3X5X...X(2^-l)<―2—12分

方法二：当a=2时"(GuZlnx—JC!

2—24

所以/(%)=------

因为在（1,+8）上/（1）＜0,所以/（①）在［1,+8）上单调递减，

所以当1>1时"(])V/(1)=—1,

即尤>1时，2Inx<Zx2—1.8分

令工=悬,则21n去、＜21n.._472—111

2n-l

所以2(ln2+ln：+ln?+…+ln居)<3+7+11+…+4L1,

2X4X6X.-.X2,〃(2〃+1)

12分

'lX3X5X-X(2/?-l)2

21.【命题意图】本题考查抛物线的方程与性质、利用导数研究切线问题、几何的对称性，考查直观想象、逻辑推

【解析】（1）由工2=2力，,得》=］,所以y=y.

设切点的坐标为（工。，则切线方程为叁=*了一斯）....................................2分

\乙p）2Pp

因为点D（1,—-^―）在切线上，所以一-j-一会—，（1―XQ）,

\4/4乙pp

=

化简得2五一4々）一p=0,所以皿•JC2~

因为AD，BD,所以包­①=—1,即方程的两根了］・亚=一力2,

PP

所以一力2=一/

因为力>0,所以力=十.

所以抛物线C的方程为①之=»................................................................4分

（2）抛物线C的焦点为F（0,；）,设经过焦点F的直线方程为丁=心++.

联立］）—十4，得4/2_4£/一］=0.

I/=»,

设P（J;3>J^3）,Q（24，了4）,

13+14=卜,

1.........................................................................6分

（13,14=一彳.

因为无§+比4=。，所以直线，3，，4关于？轴对称.

不妨令P,M关于、