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文档简介

§2.8函数的图象

【考试要求】1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析

法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质,解决方程解的个数

与不等式解的问题.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.利用描点法作函数图象的方法步骤

(2)伸缩变换

a>l,横坐标缩短为原来的丄倍,纵坐标不变

①尸f(x)----------------------------------------------*亠尸/"(ax)

-o〈水1,横坐标伸长为原来的一倍,纵坐标不变-----

a

分、a*,纵坐标伸长为原来的a倍,横坐标不变_,、

②了一八刈纵坐标缩短为原来的a倍,横坐标不变了一丝也•

(3)对称变换

①尸f(x)关于谢对•称尸-F(x).

6”、关于通对称、

②尸f(x)----------"y=f(­x).

自“、关于原点对称「(、

@y-a(a>0且aWl)夫王^—五逑'y=log/(a>0且aWl).

(4)翻折变换

G、保留解由上方图象一〃、।

①了一/J)将斓1下方图象翻折上去y-上5丄,

保留谢右边图象,并作其

②尸f(x)关于廊对称的图象'y=f{\x\).

【常用结论】

1.函数y=f(x)与尸/X2a—x)的图象关于直线x=a对称.

2.函数y=f(x)与y=2Z?-F(2a—x)的图象关于点(a,6)对称.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“丿”或“X”)

(1)函数y=lf(x)丨为偶函数.(X)

(2)函数y=f(l—x)的图象,可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位长度得到.(X)

(3)当xW(O,+8)时,函数y=|f(x)丨与y=F(|*|)的图象相同.(X)

⑷函数y=F(x)的图象关于y轴对称即函数y=F(x)与y=f(—x)的图象关于y轴对

称.(X)

【教材改编题】

x,x<0,

1.下列图象是函数_/=、八的图象的是()

X—1,后0

答案C

解析其图象是由图象中*<0的部分和尸X_1图象中招0的部分组成.

2.函数y=f(x)的图象与y=e"的图象关于y轴对称,再把y=f(x)的图象向右平移1个单

位长度后得到函数y=g(x)的图象,则g(x)=.

答案e-小

解析f(x)=e),

.♦.g(x)=e-<i)=e-f.

f(x)在R上单调且其部分图象如图所示,若不等式一2〈F(x+力)〈4的解集为(-1,2),则实数

t的值为

答案1

解析由图象可知不等式一2〈f(x+»<4即为A3)<Ax+f)<A0),

故x+te(0,3),

即不等式的解集为(一力,3-f),

依题意可得f=l.

■探究核心题型

题型一作函数的图象

例1作出下列函数的图象:

⑴y=2宀-1;

(2)y=|lg(x—1)|;

(3)y=x—\x\—2.

解(1)将y=2'的图象向左平移1个单位长度,得到y=2宀的图象,再将所得图象向下平

移1个单位长度,得到y=2"'一1的图象,如图①所示.

(2)首先作出尸Igx的图象,然后将其向右平移1个单位长度,得到y=lg(x—l)的图象,

再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方,即得所求函数y=|lg(x—l)丨的图象,如

图②所示(实线部分).

座一x—2x>0

(3)尸/一3—2=[一]二’函数为偶函数,先用描点法作出[0,+8)上的图

[x+x-2,X0,

象,再根据对称性作出(一8,0)上的图象,其图象如图③所示.

【教师备选】

作出下列函数的图象:

⑴『2一’;

(2)y=sin|x|.

解(1)先作出尸的图象,保留/=6),图象中X》。的部分,再作出尸的图象中

图①图②

(2)当*20时,y=sin|x|与尸sinx的图象完全相同,又y=sinIx|为偶函数,图象关于y

轴对称,其图象如图②.

思维升华图象变换法作函数的图象

(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象.

(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,可利用图象

变换作出,但要注意变换顺序.

跟踪训练1作出下列函数的图象:

2x-l

(1)y—

x—1

(2)y=|7-4x+3|.

9v—111

解(Dy="7二7=2+E'故函数的图象可由产=3的图象向右平移i个单位长度,再向上

平移2个单位长度得到,如图①所示.

(2)先用描点法作出函数y=*—4x+3的图象,再把x轴下方的图象沿x轴向上翻折,x轴

上方的图象不变,如图②实线部分所示.

①②

题型二函数图象的识别

v•{'()qX

例2(1)(2022•百师联盟联考)函数/1(*)=-l的图象大致为()

AB

答案I)

解析由题意知,汽X)的定义域为R,

/\-X•COS—X

―)=--------------------

e

-x•cosx/、

-------;------=-/(%),

e

故f(x)为奇函数,排除C:

/、cos1.

fW=——>0,排除A;

e

.、2cos23“人

f(2)=——<0,排除B.

e

(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y=F(x)的图象如图所示,则y=-F(2—x)的图象为

)

答案B

解析厅.)作关于例对称的野

片『(一)向右平移2个单位无度

片管一)作关于谕对称的用象片一應一).

【教师备选】

(2022•咸阳模拟)函数/"(牙)=«)$11丫+皿23的大致图象是()

答案c

解析因为/'(x)=cosnx+ln|2x|(x#0),

所以f(-x)=cos(—nx)+ln|-2x\=cosnx+ln|2x|=F(x),所以f(x)是偶函数,其图象

关于y轴对称,故排除选项A;

Al)=cosJT+ln2=—l+ln2<0,故排除选项B;

f(2)=cos2n+ln4=l+21n2>0,故排除选项D.

思维升华识别函数的图象的主要方法有:(1)利用函数的性质.如奇偶性、单调性、定义域

等判断.(2)利用函数的零点、极值点等判断.(3)利用特殊函数值判断.

跟踪训练2(1)函数的大致图象为()

答案B

解析易知定义域为(-8,0)U(0,+8),关于原点对称.

3一'一3’

f(一X)4f(x),

-X

则F(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除A,

1o

f(l)=3—g=g>0,排除D,

当*f+8时,3'-*+oo,

则/'(x)f+8,排除C,选项B符合.

(2)如图可能是下列哪个函数的图象(

2'sin%

尸了不T

y—(x—2x)er

^Inx

答案C

解析函数的定义域为R,排除D;

当K0时,y>0,A中,x=-l时,

y=2-1—1—1=—1<0,排除A;

B中,当sinx=0时,y=0,

;•尸丄品廿有无数个零点,排除

题型三函数图象的应用

命题点1研究函数的性质

例3已知函数/■(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是()

A.f(x)是偶函数,单调递增区间是(0,+8)

B.f(x)是偶函数,单调递减区间是(-8,1)

C.f(x)是奇函数,单调递减区间是(一1,1)

D.f(x)是奇函数,单调递增区间是(一8,0)

答案C

解析将函数f(x)=x|x1—2x

x~2x,x20,

去掉绝对值,得/Xx)=

—x-2x,水0,

画出函数f(x)的图象,如图所示,观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数

/"(X)为奇函数,且在(一1,1)上单调递减.

命题点2函数图象在不等式中的应用

例4若当xG(1,2)时,函数y=(x—1尸的图象始终在函数尸log/的图象的下方,则实数

a的取值范围是________.

答案(1,2]

解析如图,在同一平面直角坐标系中画出函数y=(x-l)2和y=logex的图象.

由于当xJ(1,2)时,函数尸原—1)2的图象恒在函数y=log.x的图象的下方,

a>l,

解得l<aW2.

log“2Nl,

命题点3求参数的取值范围

—xxWO

例5已知函数f(x)=宀’若方程/•(x)=-2x+a有两个不同的实数根,则

log2X—x,x〉0,

实数a的取值范围是.

答案(一8,1]

解析方程/1(x)=-2*+a有两个不同的实数根,即方程/Xx)+x=-x+a有两个不同的根,

等价于函数y=f(x)+x与函数y=-x+a的图象有两个不同的交点.

(2'一必后0,

因为f(x)=〈

[log2X-x,x>0,

2s,xWO,

所以y=f(x)+x=\

log2X,x>0,

作出函数y=f(x)+x与p=—才+a的大致图象如图所示.

数形结合可知,当时,两个函数的图象有两个不同的交点,即函数尸Ax)+2x-a有

两个不同的零点.

【教师备选】

已知奇函数f(x)在x20时的图象如图所示,则不等式A-AXXO的解集为

答案(一2,-l)U(l,2)

解析xf(x)<0,

x和f(x)异号,

由于Ax)为奇函数,补齐函数的图象如图.

当XG(—8,一2)U(—1,0)U(1,2)时,

Ax)<0,

不等式xf(x)〈0的解集为(-2,-1)U(1,2).

思维升华当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难,但其对应函数的图象

可作出时,常将不等式问题转化为图象的位置关系问题,从而利用数形结合思想求解.

跟踪训练3(1)若函数f(x)=a'—x—a(a>0,且a*l)有两个零点,则实数a的取值范围是

答案(1,+8)

解析函数f(x)的零点的个数就是函数F=a"(a〉O,且a/l)与函数尸x+a的图象的交点

的个数,如图,当a>l时,两函数图象有两个交点;当时,两函数图象有一个交点.故

a>\.

(2)奇函数f(x)的定义域为(一1,1),F(x)在第一象限的图象为圆心在原点,半径为1的圆弧,

如图所示,则不等式/XxXx的解集为.

解析因为奇函数/'(*)的定义域为(-1,1),且/■(")在第一象限的图象为圆心在原点,半径

为1的圆弧,所以定义域内的函数图象,如图所示,

当/'(x)=x时,解得亚

2,

由图象知,不等式f(x)<x的解集为宀传

课时精练

立基础保分练

函数个)=K嬴的图象大致为()

答案A

解析因为f{-x)=一=-乳公,

X十COSX

所以/Xx)为奇函数,其图象关于原点对称,排除B,D;

3Ji

因为/"(“)=二,>0,所以排除C.

JI——1

2.为了得到函数y=lg1-的图象,只需把函数y=lgx的图象上所有的点()

A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度

C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

I).向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度

答案C

v+3

解析Vy=lg-^y-=lgU+3)—1,

.”山向左平移3个单位片度

y=1g(x+3)向下平移1个单位垮度

y=lg(x+3)—1.

/'(x)的图象如图所示,则函数/1(x)的解析式可能是()

A.f(»=(4"-4P|x|

B.f(x)=(4"—4一,)logzlx|

八/、4"+「

C.f(x)-ii

\x\

D.f{x)—(4"+40log2|

答案D

解析由图知,f(x)为偶函数,故排除A,B:

对于C,F(x)>0不符合图象,故排除C;

对于D,f(—x)=(4'+4Plog2|x|=f(x)为偶函数,且在区间(0,1)上,/■(/)<(),符合题意.

ax|b—|

4.(2022•银川质检)若函数f(x)=::,的图象如图所示,则H—3)等

1nxIafx_1

于()

A.—]B.­—ID.-2

答案C

解析V/(—O=O,ln(-1+a)=0,

-1+a=1,a—2,

又y=ax+b过点(-1,3),

;.2X(—1)+厶=3,;"=5,

/.f(—3)——3a+b——6+5=-1.

5.(2022•长沙质检)已知图①中的图象对应的函数为y=f5,则图②中的图象对应的函数

为()

图①图②

A.y=f{\x\)B.y=/(—|x|)

C.y—"(x)|D.—Al%!)

答案B

解析观察函数图象可得,②是由①保留y轴左侧及y轴上的图象,然后将y轴左侧图象翻

折到右侧所得,结合函数图象的对称变换可得变换后的函数的解析式为(一|川).

6.下列函数中,其图象与函数Hx)=lnx的图象关于直线x=l对称的是()

A.y=ln(l—x)B.y=ln(2—x)

C.y=ln(l+x)D.y=ln(2+x)

答案B

解析方法一设所求函数图象上任一点的坐标为(x,力,则其关于直线x=l的对称点的坐

标为(2—x,y),由对称性知点(2-x,了)在函数f(x)=lnx的图象上,所以y=ln(2-x).

方法二由题意知,对称轴上的点(1,0)既在函数/U)=lnx的图象上也在所求函数的图象

上,代入选项中的函数解析式逐一检验,排除A,C,D.

7.对于函数/Xx)=lg(|x-2|+1),下列说法正确的个数是()

①f(x+2)是偶函数;

②/"(x+2)是奇函数;

③f(x)在区间(—8,2)上单调递减,在区间(2,+8)上单调递增;

④/"(X)没有最小值.

A.IB.2C.3D.4

答案B

解析/■5+2)=稔(|引+1)为偶函数,①正确,②错误.作出/"(X)的图象如图所示,可知

f(x)在(一8,2)上单调递减,在(2,+8)上单调递增;由图象可知函数存在最小值0,③

正确,④错误.

X

-]2x

—x—lx,x^O,

8.(2022•西安模拟)己知函数/"(x)=」bg|X|,x>0,若函数g(x)=f(x)+2—初有4

.2

个零点,则加的取值范围为()

A.(0,1)B.(-1,0)

C.(1,3)D.(2,3)

答案D

解析由g(x)=f(x)+2—卬=0,

得f(x)—m—2,

所以问题转化为函数/'(X)的图象与直线y=m-2有4个不同的交点,

函数f(x)的图象如图所示,

所以得2〈冰3,

所以加的取值范围为⑵3).

9.已知函数尸/'(-x)的图象过点(4,2),则函数y=f(x)的图象一定过点—

答案(一4,2)

解析y=f(—x)与y=f(x)的图象关于y轴对称,

故y=f(.x)的图象一定过点(一4,2).

10'若函数-(x)=K的图象关于点(1,D对称,则实数a=—

答案1

/、ax-a-\-a-2a—2

解析«)=I=a

x—1

关于点(1,a)对称,故a=l.

9+2x—1,x20,

2则对任意E,X2£R,若型>0〉小>

{x-2x-\,KO,

一处则人幻与a加的大小关系是________.

答案F(X1)"(X2)

解析作出函数F(x)的图象(图略),

由图知f(x)为偶函数,且在(一8,0)上单调递减,在(0,+8)上单调递增,

VO>Xi>—^2,

:.f(x)<F(一照)=f(x》.

12.己知函数F(x)=|x-2|+1,g(x)=4x.若方程F(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数

A的取值范围是.

答案&1)

解析先作出函数/■(*)=3—2+1的图象,如图所示,当直线g(x)=Ax与直线4?平行时

斜率为1,当直线g(x)=4x过1点时斜率为右故F(x)=g(x)有两个不相等的实根时,〃的

取值范围为6,1)

立技能提升练

13.(2022•济南模拟)若平面直角坐标系内48两点满足:(1)点48都在〃x)的图象上;

⑵点48关于原点对称,则称点对(4,0是函数f(x)的一个“和谐点对”,(4面与(8,

x+2x,%<0,

⑷可看作一个“和谐点对”.已知函数/(%)=]2、则f(x)的“和谐点对”

—7,x20,

[e

有()

A.1个B.2个

C.3个D.4个

答案B

解析作出函数y=f+2x(A<())的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分),看它与函

2

数y=F(x20)的图象的交点个数即可,观察图象可得交点个数为2,即/tr)的“和谐点对•”

e

有2个.

♦.v

fl

0,

14.若函数则不等式"(X)1的解集为________.

在0,

答案[—3,1]

fl

7底0,

解析函数f(x)=j的图象如图中的“实线”所示.

IQ}

、y

_____

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