专题05 二次函数函数综合的压轴真题训练（解析版）-中考数学压轴题

挑战2023年中考数学选择、填空压轴真题汇编专题05二次函数函数综合的压轴真题训练一．二次函数的图象1．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵c＞0，∴﹣c＜0，故A，D选项不符合题意；当a＞0时，∵b＞0，∴对称轴x＝＜0，故B选项不符合题意；当a＜0时，b＞0，∴对称轴x＝＞0，故C选项符合题意，故选：C二．二次函数的性质2．（2022•陕西）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3【答案】D【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y2＜y1＜y3，故选：D．3．（2022•岳阳）已知二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3（m为常数，m≠0），点P（xp，yp）是该函数图象上一点，当0≤xp≤4时，yp≤﹣3，则m的取值范围是（）A．m≥1或m＜0 B．m≥1 C．m≤﹣1或m＞0 D．m≤﹣1【答案】A【解答】解：∵二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3，∴对称轴为x＝2m，抛物线与y轴的交点为（0，﹣3），∵点P（xp，yp）是该函数图象上一点，当0≤xp≤4时，yp≤﹣3，∴①当m＞0时，对称轴x＝2m＞0，此时，当x＝4时，y≤﹣3，即m•42﹣4m2•4﹣3≤﹣3，解得m≥1；②当m＜0时，对称轴x＝2m＜0，当0≤x≤4时，y随x增大而减小，则当0≤xp≤4时，yp≤﹣3恒成立；综上，m的取值范围是：m≥1或m＜0．故选：A．4．（2022•衢州）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（）A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4【答案】D【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣a），当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，∵y的最小值为﹣4，∴﹣a＝﹣4，∴a＝4；当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，∴9a﹣a＝﹣4，解得a＝﹣；综上所述：a的值为4或﹣，故选：D．5．（2022•荆门）如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是．【答案】＜t＜1【解答】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1，∴当x＝1时函数有最小值为2，x1+x2＝2，由一次函数y＝﹣x+（x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x＝，∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3），∴y1＝y2＝y3＝m，2＜m＜3，∴2＜x3＜，∴t＝＝，∴＜t＜1．故答案为：＜t＜1．三．二次函数图象与系数的关系6．（2022•南充）已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线y＝mx2﹣2m2x+n（m≠0）上，当x1+x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，则m的取值范围为（）A．0＜m≤2 B．﹣2≤m＜0 C．m＞2 D．m＜﹣2【答案】A【解答】解：方法一：∵抛物线y＝mx2﹣2m2x+n（m≠0），∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m，∵当x1+x2＞4且x1＜x2时，都有y1＜y2，∴当m＞0时，0＜2m≤4，解得0＜m≤2；当m＜0时，2m＞4，此时m无解；由上可得，m的取值范围为0＜m≤2，故选：A．方法二：由y1＜y2可得，（mx22﹣2m2x2+n）﹣（mx12﹣2m2x1+n）＞0，整理，得：m（x2﹣x1）（x2+x1﹣2m）＞0，∵x1+x2＞4且x1＜x2，∴当m＞0时，则x2+x1﹣2m＞0，即2m≤4，解得m≤2，∴0＜m≤2；当m＜0时，则x2+x1﹣2m＜0，此时无解；由上可得，0＜m≤2，故选：A．7．（2022•凉山州）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）和点（0，﹣3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（）A．a＞0 B．a+b＝3 C．抛物线经过点（﹣1，0） D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根【答案】C【解答】解：由题意作图如下：由图知，a＞0，故A选项说法正确，不符合题意，∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）和点（0，﹣3），∴a+b+c＝0，c＝﹣3，∴a+b＝3，故B选项说法正确，不符合题意，∵对称轴在y轴的左侧，∴抛物线不经过（﹣1，0），故C选项说法错误，符合题意，由图知，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1有两个交点，故关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根，故D选项说法正确，不符合题意，故选：C．8．（2022•广安）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②2c﹣3b＜0；③5a+b+2c＝0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是抛物线上的三点，则y1＜y2＜y3．其中正确结论的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴是直线x＝1，∴1＝﹣，∴b＝﹣2a，∴b＜0，∵抛物线交y轴于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确，∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过（3，0），∴9a﹣6a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴2c﹣3b＝﹣6a+6a＝0，故②错误，5a+b+2c＝5a﹣2a﹣6a＝﹣3a＜0，故③错误，观察图象可知，y1＜y2＜y3，故④正确，故选：B．9．（2022•恩施州）已知抛物线y＝x2﹣bx+c，当x＝1时，y＜0；当x＝2时，y＜0．下列判断：①b2＞2c；②若c＞1，则b＞；③已知点A（m1，n1），B（m2，n2）在抛物线y＝x2﹣bx+c上，当m1＜m2＜b时，n1＞n2；④若方程x2﹣bx+c＝0的两实数根为x1，x2，则x1+x2＞3．其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解答】解：∵a＝＞0，∴抛物线开口向上，当x＝1时，y＜0；当x＝2时，y＜0，∴抛物线与x轴有两个不同的交点，∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣2c＞0，故①正确；∵当x＝1时，y＜0；当x＝2时，y＜0，∴﹣b+c＜0；∴b＞+c，当c＞1时，则b＞，故②正确；抛物线的对称轴为直线x＝b，且开口向上，当x＜b时，y的值随x的增大而减小，∴当m1＜m2＜b时，n1＞n2，故③正确；∵方程x2﹣bx+c＝0的两实数根为x1，x2，∴x1+x2＝2b，由②可知，当c＞1时，则b＞，∴x1+x2不一定大于3，故④错误；综上，正确的有①②③，共3个，故选：C．10．（2022•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是．【答案】m＝3或﹣1＜m≤﹣【解答】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，当x＝0时，y＝2，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直线CD的表达式y＝﹣1，当m＞0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣（不符合题意，舍去），当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1（不符合题意，舍去），当m＞0且抛物线的顶点在线段CD上时，2﹣m＝﹣1，解得：m＝3，当m＜0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时，16m﹣8m+2＝﹣1，解得：m＝﹣，当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时，m+2m+2＝﹣1，解得：m＝﹣1，综上，m的取值范围为m＝3或﹣1＜m≤﹣，故答案为：m＝3或﹣1＜m≤﹣．11．（2022•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是．【答案】﹣4＜m＜0【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴﹣＜0，∴b＞0，∵抛物线经过（0，﹣2），∴c＝﹣2，∵抛物线经过（1，0），∴a+b+c＝0，∴a+b＝2，b＝2﹣a，∴m＝a﹣b+c＝a﹣（2﹣a）+（﹣2）＝2a﹣4，∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，当x＝﹣1时，y＝a+a﹣2﹣2＝2a﹣4，∵b＝2﹣a＞0，∴0＜a＜2，∴﹣4＜2a﹣4＜0，故答案为：﹣4＜m＜0．12．（2022•随州）如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．则下列结论正确的有（）①abc＞0；②2a+b＝0；③函数y＝ax2+bx+c的最大值为﹣4a；④若关于x的方程ax2+bx+c＝a+1无实数根，则﹣＜a＜0．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线交y轴于正半轴，∴c＞0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故①错误．∵抛物线的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，∴2a+b＝0，故②正确．∵抛物线交x轴于点（﹣1，0），（3，0），∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），当x＝1时，y的值最大，最大值为﹣4a，故③正确．∵ax2+bx+c＝a+1无实数根，∴a（x+1）（x﹣3）＝a+1无实数根，∴ax2﹣2ax﹣4a﹣1＝0，Δ＜0，∴4a2﹣4a（﹣4a﹣1）＜0，∴a（5a+1）＜0，∴﹣＜a＜0，故④正确，故选：C．13．（2022•广元）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】C【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，∴b＞0，∵抛物线交y轴的正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，所以（1）正确；∵对称轴为直线x＝2，∴﹣＝2，∴b＝﹣4a，∴b+4a＝0，∴b＝﹣4a，∵经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴c＝b﹣a＝﹣4a﹣a＝﹣5a，∴4a+c﹣2b＝4a﹣5a+8a＝7a，∵a＜0，∴4a+c﹣2b＜0，∴4a+c＜2b，故（2）不正确；∵3b﹣2c＝﹣12a+10a＝﹣2a＞0，故（3）正确；∵|﹣2﹣2|＝4，|﹣﹣2|＝，|﹣2|＝，∴y1＜y2＜y3，故（4）错误；当x＝2时，函数有最大值4a+2b+c，∴4a+2b+c≥am2+bm+c，4a+2b≥m（am+b）（m为常数），故（5）正确；综上所述：正确的结论有（1）（3）（5），共3个，故选：C．14．（2022•巴中）函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（）①2a+b＝0；②c＝3；③abc＞0；④将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点．A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④【答案】D【解答】解：∵图象经过（﹣1，0），（3，0），∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，①正确．由图象可得抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交点在x轴下方，∴c＜0，②错误．由抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上可得a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，③正确．设抛物线y＝ax2+bx+c的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），代入（0，3）得：3＝﹣3a，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为（1，4），∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），∴将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点，故④正确；故选：D．15．（2022•黄石）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＜0；②若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；③当图象经过点（1，3）时，方程ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+3x2＝0，其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，即﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；∵x＝﹣1时，y有最小值，∴a﹣b+c≤at2+bt+c（t为任意实数），即a﹣bt≤at2+b，所以②正确；∵图象经过点（1，3）时，得ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的一个交点为（1，3），∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的另一个交点为（﹣3，3），即x1＝﹣3，x2＝1，∴x1+3x2＝﹣3+3＝0，所以③正确．故选：D．16．（2022•济南）抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（m﹣1，y1），N（m+1，y2）为图形G上两点，若y1＜y2，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1或m＞0B．＜m＜ C．0≤m＜ D．﹣1＜m＜1【答案】D【解答】解：在y＝﹣x2+2mx﹣m2+2中，令x＝m﹣1，得y＝﹣（m﹣1）2+2m（m﹣1）﹣m2+2＝1，令x＝m+1，得y＝﹣（m+1）2+2m（m+1）﹣m2+2＝1，∴（m﹣1，1）和（m+1，1）是关于抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2对称轴对称的两点，①若m﹣1≥0，即（m﹣1，1）和（m+1，1）在y轴右侧（包括（m﹣1，1）在y轴上），则点（m﹣1，1）经过翻折得M（m﹣1，y1），点（m+1，1）经过翻折得N（m+1，y2），如图：由对称性可知，y1＝y2，∴此时不满足y1＜y2；②当m+1≤0，即（m﹣1，1）和（m+1，1）在y轴左侧（包括（m+1，1）在y轴上），则点（m﹣1，1）即为M（m﹣1，y1），点（m+1，1）即为N（m+1，y2），∴y1＝y2，∴此时不满足y1＜y2；③当m﹣1＜0＜m+1，即（m﹣1，1）在y轴左侧，（m+1，1）在y轴右侧时，如图：此时M（m﹣1，1），（m+1，1）翻折后得N，满足y1＜y2；由m﹣1＜0＜m+1得：﹣1＜m＜1，故选：D．17．（2022•荆门）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，则y0＞c．其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2），且c＞0，∴抛物线开口向下，则a＜0，故①正确；∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2，∴函数的最大值为4a﹣2b+c，∴对任意实数m都有：am2+bm+c≤4a﹣2b+c，即am2+bm≤4a﹣2b，故②错误；∵对称轴为x＝﹣2，c＞0．∴当x＝﹣4时的函数值大于0，即16a﹣4b+c＞0，∴16a+c＞4b，故③正确；∵对称轴为x＝﹣2，点（0，c）的对称点为（﹣4，c），∵抛物线开口向下，∴若﹣4＜x0＜0，则y0＞c，故④错误；故选：B．四．二次函数图象上点的坐标特征18．（2022•常德）我们发现：＝3，＝3，＝3，…，＝3，一般地，对于正整数a，b，如果满足＝a时，称（a，b）为一组完美方根数对．如上面（3，6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4，12）是完美方根数对；②（9，91）是完美方根数对；③若（a，380）是完美方根数对，则a＝20；④若（x，y）是完美方根数对，则点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】 C【解答】解：将（4，12）代入＝4，＝4，＝4，…，∴（4，12）是完美方根数对；故①正确；将（9，91）代入＝10≠9，＝，∴（9，91）不是完美方根数对，故②错误；③∵（a，380）是完美方根数对，∴将（a，380）代入公式，＝a，＝a，解得a＝20或a＝﹣19（舍去），故③正确；④若（x，y）是完美方根数对，则＝x，＝x，整理得y＝x2﹣x，∴点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，故④正确；故选：C．19．（2022•成都）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，对称轴是直线x＝1，下列说法正确的是（）A．a＞0 B．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大 C．点B的坐标为（4，0） D．4a+2b+c＞0【答案】D【解答】解：A、由图可知：抛物线开口向下，a＜0，故选项A错误，不符合题意；B、∵抛物线对称轴是直线x＝1，开口向下，∴当x＞1时y随x的增大而减小，x＜1时y随x的增大而增大，故选项B错误，不符合题意；C、由A（﹣1，0），抛物线对称轴是直线x＝1可知，B坐标为（3，0），故选项C错误，不符合题意；D、抛物线y＝ax2+bx+c过点（2，4a+2b+c），由B（3，0）可知：抛物线上横坐标为2的点在第一象限，∴4a+2b+c＞0，故选项D正确，符合题意；故选：D．20．（2022•贵港）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图所示，该函数图象经过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝﹣．对于下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＝0；④am2+bm＜（a﹣2b）（其中m≠﹣）；⑤若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在该函数图象上，且x1＞x2＞1，则y1＞y2．其中正确结论的个数共有个．【答案】3【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），把（﹣2，0）（1，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠0），可得：，解得，∴a+b+c＝a+a﹣2a＝0，故③正确；∵抛物线开口方向向下，∴a＜0，∴b＝a＜0，c＝﹣2a＞0，∴abc＞0，故①错误；∵抛物线与x轴两个交点，∴当y＝0时，方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；∵am2+bm＝am2+am＝a（m+）2﹣a，（a﹣2b）＝（a﹣2a）＝﹣a，∴am2+bm﹣（a﹣2b）＝a（m+）2，又∵a＜0，m≠﹣，∴a（m+）2＜0，即am2+bm＜（a﹣2b）（其中m≠﹣），故④正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，且抛物线开口朝下，∴可知二次函数，在x＞﹣时，y随x的增大而减小，∵x1＞x2＞1＞﹣，∴y1＜y2，故⑤错误，正确的有②③④，共3个，故答案为：3．21．（2022•达州）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，与y轴交于（0，﹣1），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②a＞；③对于任意实数m，都有m（am+b）＞a+b成立；④若（﹣2，y1），（，y2），（2，y3）在该函数图象上，则y3＜y2＜y1；⑤方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（）个．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∴抛物线与y轴交于点（0，﹣1），∴c＝﹣1，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，故①正确，∵y＝ax2﹣2ax﹣1，当x＝﹣1时，y＞0，∴a+2a﹣1＞0，∴a＞，故②正确，当m＝1时，m（am+b）＝a+b，故③错误，∵点（﹣2，y1）到对称轴的距离大于点（2，y3）到对称轴的距离，∴y1＞y3，∵点（，y2）到对称轴的距离小于点（2，y3）到对称轴的距离，∴y3＞y2，∴y2＜y3＜y1，故④错误，∵方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的解，是抛物线与直线y＝±k的交点，当有3个交点时，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为3，当有4个交点时，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为4，当有2个交点时，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k为常数）的所有根的和为2，故⑤错误，故选：A．22．（2022•徐州）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为．【答案】4【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣4），∴顶点到x轴的距离为4，∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，∴m＝4，故答案为：4．五．二次函数的最值23．（2022•舟山）已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（）A． B．2 C． D．1【答案】B【解答】解：∵点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3上，∴，由①可得：ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+）2﹣，∵ab的最大值为9，∴k＜0，﹣＝9，解得k＝﹣，把k＝﹣代入②得：4×（﹣）+3＝c，∴c＝2，故选：B．24．（2022•嘉兴）已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解答】解：∵点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3上，∴，由①可得：ab＝a（ak+3）＝ka2+3a＝k（a+）2﹣，∵ab的最大值为9，∴k＜0，﹣＝9，解得k＝﹣，把k＝﹣代入②得：4×（﹣）+3＝c，∴c＝2，故选：C六．二次函数图象与几何变换25．（2022•湘西州）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是．【答案】﹣＜b＜﹣1【解答】解：如图，当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+1）（x﹣5），即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程x2﹣4x﹣5＝﹣x+b有相等的实数解，解得b＝﹣，所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为﹣＜b＜﹣1．故答案为：﹣＜b＜﹣1．26．（2022•荆州）规定：两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为．【答案】y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4【解答】解：∵函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，∴函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，当k＝0时，函数解析式为y＝﹣2x﹣3，它的“Y函数”解析式为y＝2x﹣3，它们的图象与x轴只有一个交点，当k≠0时，此函数是二次函数，∵它们的图象与x轴都只有一个交点，∴它们的顶点分别在x轴上，∴＝0，解得：k＝﹣1，∴原函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x﹣4＝﹣（x+2）2，∴它的“Y函数”解析式为y＝﹣（x﹣2）2＝﹣x2+4x﹣4，综上，“Y函数”的解析式为y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4，故答案为：y＝2x﹣3或y＝﹣x2+4x﹣4．七．抛物线与x轴的交点27．（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②3a+c＝0；③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；④点（﹣2，y1），（2，y2）都在抛物线上，则有y1＜0＜y2.其中结论正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：根据函数的对称性，抛物线与x轴的另外一个交点的坐标为（3，0）；①函数对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c已经修改＞0，故abc＜0，故①正确，符合题意；②∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，∴3a+c＝0．∴②正确，符合题意；③由图象知，当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，∴③错误，不符合题意；④从图象看，当x＝﹣2时，y1＜0，当x＝2时，y2＞0，∴有y1＜0＜y2，故④正确，符合题意；故选：C．28．（2022•枣庄）小明在学习“二次函数”内容后，进行了反思总结．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象他得出下列结论：①ab＞0且c＞0；②a+b+c＝0；③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3；⑤3a+c＜0，其中正确的结论有.（填序号，多选、少选、错选都不得分）【答案】①②③【解答】解：∵抛物线对称轴在y轴的左侧，∴ab＞0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，①正确；∵抛物线经过（1，0），∴a+b+c＝0，②正确．∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，∴另一个交点为（﹣3，0），∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和1，③正确；∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向下，∴y2＞y1＞y3，④错误．∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），∴a+b+c＝0，∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴3a+c＝0，⑤错误．故答案为：①②③．29．（2022•福建）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为．【答案】8【解答】方法1、解：针对于抛物线y＝x2+2x﹣n，令y＝0，则x2+2x﹣n＝0，∴x＝﹣1±，针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣n，令y＝0，则x2﹣2x﹣n＝0，∴x＝1±，∵抛物线y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1，∴抛物线y＝x2+2x﹣n的顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1），∵抛物线y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1，∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的顶点坐标为（1，﹣n﹣1），∴抛物线y＝x2+2x﹣n与抛物线y＝x2﹣2x﹣n的开口大小一样，与y轴相交于同一点，顶点到x轴的距离相等，∴AB＝CD，∵AD＝2BC，∴抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴的交点A在左侧，B在右侧，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴的交点C在左侧，D在右侧，∴A（﹣1﹣，0），B（﹣1+，0），C（1﹣，0），D（1+，0），∴AD＝1+﹣（﹣1﹣）＝2+2，BC＝﹣1+﹣（1﹣）＝﹣2+2，∴2+2＝2（﹣2+2），∴n＝8，故答案为：8．方法2、∵y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1，∴抛物线y＝x2+2x﹣n的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1），∵y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1，∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣n﹣1），∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的图象可由y＝