2023年江苏中考数学一轮复习 训练第14讲 四边形(解析版)

第14讲四边形2023年中考数学一轮复习专题训练（江苏专用）

一、单选题

L（2022•南通）如图，在回4BCD中，对角线AC,BD相交于点O,AC1BC,BC=4,AABC=60°,

若EF过点O且与边ZB,CD分别相交于点E,F,设BE=x,OE2=y,则y关于x的函数图象大致为

（）

2.（2022•无锡）如图，在团ABCD中，AD=BD,^ADC=105°，点E在AD上，^EBA=60°,

则罂的值是（）

2

3,T

3.（2022•无锡）下列命题中，是真命题的有（）

①对角线相等且互相平分的四边形是矩形②对角线互相垂直的四边形是菱形③四边相等的四边形是

正方形④四边相等的四边形是菱形

A.①②B.①④C.②③D.③④

4.（2022・连云港）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A,B.D恰好都

落在点。处，且点G、。、C在同一条直线上，同时点E、。、F在另一条直线上.小炜同

学得出以下结论：

①GFIIEC；@AB=^-AD；③GE=;④。C=2&OF;©△COFCEG.

其中正确的是（）

A.①②③B,①③④C.①④⑤D.②③④

5.（2022・海门模拟）如图，菱形ABCD的边长为4,41=60。，E是边AD的中点，F是边AB上

的一个动点，将线段EF绕着E逆时针旋转60°,得到EG,连接EG、CG，则BG+CG的最小

值为（）

A*---------F----------------飞

A.3V3B.2夕C.4V3D.2+2百

6.（2021•无锡）如图，D、E、F分别是4ABC各边中点，则以下说法错误的是（）

tiDC

A.ABDE和SDCF的面积相等

B.四边形AEDF是平行四边形

C.若AB=BC,则四边形AEDF是菱形

D.若乙4=90。,则四边形AEDF是矩形

7.（2021•苏州）如图，在平行四边形ABCD中，将4ABC沿着AC所在的直线翻折得到AAB，C,

B'C交AD于点E，连接B'D，若乙B=60°,乙4cB=45。，AC=遍，则BD的长是（）

A.1B.V2C.V3D.坐

8.（2021•秦淮模拟）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长

所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形.关于凹四边形ABCD（如图），以下结论：

①zBCD=zA+ZB+；②若力B=2D,BC=CD，则AC1BD；③若zBCD=2",则

BC=CD；④存在凹四边形ABCD，有AB=CD,AD=BC.其中所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①③④

9.（2021・仪征模拟）将一个边长为4cn的正方形与一个长，宽分别为8cm,2cm的矩形重叠放在一起,

在下列四个图形中，重叠部分的面积最大的是（）

10.（2021•天宁模拟）下列命题中，真命题是（）

A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.有一个角是直角的平行四边形是矩形

D.一组邻边相等的平行四边形是正方形

二'填空题

1L（2021•徐州）如图，四边形ABCD与AEGF均为矩形，点、E,F分别在线段AB,AD上.若BE=

FD=2cm,矩形AEGF的周长为20cm,则图中阴影部分的面积为cm.

12.（2021•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，其中点A在x轴

正半轴上.若BC=3,则点A的坐标是.

哪

13.（2021•南京）如图，将回ABCD绕点A逆时针旋转到^AB'C'D'的位置，使点B落在BC上,

BC与CD交于点E,若=3,BC=4,BB'=1,贝I」CE的长为.

小厂-c

14.（2021•扬州）如图，在EL4BCD中，点E在40上，且EC平分心BED,若乙EBC=30°,BE=

10,则M4BCD的面积为

15.（2021・连云港）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,0E14。，垂足为E,4C=8,

BD=6,贝0E的长为.

16.（2022・徐州）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处.若点E在边

AB±,AB=3,BC=5,则AE=.

AD

.KXJ

J3'........

17.（2022•无锡）如图，正方形ABCD的边长为8,点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、

BC于点H、G,则BG=.

18.（2022•泗洪模拟）如图，从一个大正方形中截去面积为3czn2和12cm2的两个小正方形，若随机向大

正方形内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为.

19.（2022・苏州）如图，在平行四边形ABCD中，AB1AC,AB=3,AC=4,分别以A,C为

圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M,N,过M,N两点作直线，与BC交于点E,与

AD交于点F,连接AE,CF,则四边形AECF的周长为.

20.（2022・宿迁）如图，在矩形4BC。中，4B=6,BC=8,点M、N分别是边4。、BC的中点，某一时刻，

动点E从点M出发，沿M4方向以每秒2个单位长度的速度向点4匀速运动；同时，动点F从点N出发，

沿NC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运

动，连接EF,过点B作EF的垂线，垂足为H.在这一运动过程中，点”所经过的路径长是.

三、综合题

21.（2022•徐州）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF.求证:

（1）AABE^ACDF；

（2）四边形AECF是平行四边形.

22.（2022•镇江）已知，点E、八G、H分别在正方形ABCD的边AB、BC、CD、AD上.

(1)如图1,当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH=AB；

(2)如图2,已知=CF=CG,当4E、C尸的大小有关系时，四边形EFGH是矩形;

(3)如图3,AE=DG,EG、FH相交于点。，OE：OF=4：5，已知正方形4BC0的边长为16,FH长

为20,当AOEH的面积取最大值时，判断四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论.

23.(2022・南通)如图，矩形4BCD中，AB=4,AD=3，点E在折线BCD上运动，将4E绕点A顺时

针旋转得到4尸，旋转角等于4BAC,连接CF.

(1)当点E在BC上时，作FM1AC,垂足为M,求证AM=ZB；

(2)当月E=3鱼时，求CF的长；

(3)连接DF,点E从点B运动到点D的过程中，试探究DF的最小值.

24.(2022・无锡)如图，在口ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点

E、F,连接DE、BF.

求证：

(1)ADOF^ABOE；

(2)DE=BF.

25.（2022•无锡）如图，已知四边形ABCD为矩形AB=2鱼，BC=4,点E在BC上，CE=AE,

将AABC沿AC翻折到ZiAFC,连接EF.

（1）求EF的长;

(2)求sin/CEF的值.

26.（2022•无锡）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙

的长度为10m）,另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的

总长度为24m,设较小矩形的宽为xm（如图）.

（1）若矩形养殖场的总面积为36m2,求此时x的值;

（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？

27.（2022•海陵模拟）如图，在矩形ABCD中，AD=10,点E是AD上一点，且AE=m（m是常数）,

作4BAE关于直线BE的对称图形ABFE,延长EF交直线BC于点G.

D

H

爸用图

（1）求证：EG=BG；

（2）若m—2.

①当AB=6时，问点G是否与点C重合，并说明理由;

②当直线BF经过点D时，直接写出AB的长；

(3)随着AB的变化，是否存在常数m,使等式BG-aAE=AB2总成立？若存在，求出m的值；若

不存在，请说明理由.

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：过0点作OM_LAB于M,

VAC1BC,

.•.ZACB=90°,

,.,ZABC=60°,

.•.NBAC=90°-60°=30°,

...AB=2BC=8,

AC=y/AB2-BC2=V82-42=4V3,

•••四边形ABCD为平行四边形，

.,.AO=1AC=2V3-

-'-OM=^AO=V3>

.'.AM=>JAO2-OM2=3;

设BE=x,0E2=y,贝ijEM=AB-AM-BE=8-3-x=5-x,

VOE2=OM2+EM2,

.♦.y=(x-5)2+3,

V0<x<8,当x=8时y=12,

符合解析式的图象为C.

故答案为：C.

【分析】过。点作OM1.AB于M,利用30。角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AB的长，利用

勾股定理求出AC的长；利用平行四边形的性质可求出AO的长，从而可得到OM的长，利用勾股定

理求出AM的长；设BE=x,OE2=y,可表示出EM的长；然后利用勾股定理可得到OE2=OM2+EM2,

可得到y与x之间的函数解析式及x的取值范围，即可得到符合题意的函数图象.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：如图，过点B作BFLAD于F,

・・・四边形ABCD是平行四边形，

，CD=AB,CD//AB,

AZADC+ZBAD=180°,

;乙4DC=105°

AZA=75°,

VZABE=60°,

・•・ZAEB=1800-ZA-ZABE=45°,

VBF±AD,

.\ZBFD=90o,

.\ZEBF=ZAEB=45°,

ABF=FE,

VAD=BD,

AZABD=ZA=75°,

AZADB=30°,

设BF=EF=x,则BD=2x,由勾股定理，得DF=V3x，

ADE=DF-EF=(遍-1)x,AF=AD-DF=BD-DF=(2-b)x,

由勾股定理，得AB2=AF2+BF2=(2-V3)2x2+x2=(8-4痘)x2,

2.一2Q

-DE^_(V3-1)%21

./―(8-4加2

•DEV2

••而=T'

VAB=CD,

•DE42

，'CD=~2-

故答案为：D.

【分析】过点B作BFLAD于F,根据平行四边形的性质可得CD=AB,CD//AB,由平行线的性质可

得/ADC+NBAD=180。，结合/ADC的度数可得NA的度数，利用内角和定理可得NAEB=45。，进而

推出BF=FE,由等腰三角形的性质可得NABD=NA=75。，则/ADB=30。，设BF=EF=x,则BD=2x,

由勾股定理，得DF=V5x,DE=DF-EF=(g-l)x,AF=(2-同x,由勾股定理可得AB?,据此可得空的

值，然后结合AB=CD进行求解.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确，故该命题是真命题；

②对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题；

③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题；

④四边相等的四边形是菱形，正确，故该命题是真命题.

故答案为：B.

【分析】根据矩形的判定定理可判断①；根据菱形的判定定理可判断②④；根据正方形的判定定理

可判断③.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：•••矩形ABCD沿着GE、EC、GF折叠，使得点A、B、D恰好落在点O处，

，DG=OG=AG,AE=OE=BE,OC=BC,ZDGF=ZFGO,ZAGE=ZOGE,NAEG=NOEG,

ZOEC=ZBEC,

NFGE=NFGO+NOGE=90。，NGEC=NOEG+NOEC=90。，

.•.ZFGE+ZGEC=180°,

，GF〃CE,

•••①符合题意；

设AD=2a,AB=2b,则DG=OG=AG=a,AE=OE=BE=b,

・・・CG=OG+OC=3a,

在RtZkAGE中，由勾股定理得GE?=AG2+AE2,即GE2=a2+b?,

在RSEBC中，由勾股定理得CE2=EB2+BC2,即CE2=b2+(2a)2,

在Rt/kCGE中，由勾股定理得CG2=GE2+CE2,

(3a)2=a2+b2+b2+(2a)2,

整理，解得：b=V2a,

/.AB=V2AD,

..•②不符合题意；

设OF=DF=x,则CF=2b-x=2V2a-x,

在RSCOF中，由勾股定理得OF2+OC?=CF2,

x2+(2a)2=(2a-x)2,

解得：x=2^a,

，OF=DF=0a,

・，.V6DF=遍x孝a=V3a,

XVGE^+b2,

:.GE=V3a,

AGE=V6DF,

...③符合题意；

2V2OF=2g¥a=2a,

.,.0C=2及OF,

•••④符合题意；

••,无法证明/FCO=NGCE,

...无法判断△COFs/^CEG,

二⑤不符合题意；

...正确的有①③④.

故答案为：B.

【分析】由矩形性质和折叠的性质可得DG=OG=AG,AE=OE=BE,OC=BC,ZDGF=ZFGO,

NAGE=NOGE,NAEG=NOEG,NOEC=NBEC,从而可得NFGE=NFGO+NOGE=90。，ZGEC

=ZOEG+ZOEC=90°,得/FGE+/GEC=180。，可判定GF〃CE；设AD=2a,AB=2b,则DG=

OG=AG=a,AE=OE=BE=b,得CG=OG+OC=3a,由勾股定理得GE2=a?+b2,CE2=b2+(2a)2,

CG2=GE2+CE2,即得(3a)2=a2+b2+b?+(2a)2,解得b=&a,从而得AB=V^AD；设OF=DF=x,

则CF=2b-x=2企a-x,由勾股定理得OF2+OC2=CF2,gpx2+(2a)2=(2a-x)2,解得x=争，从而

得OF=DF=¥a,进而求得GE=V5DF；又2鱼OF=2内孕1=2a,从而可得.•.OCMZ痘OF；因条件不

足，无法证明/FCO=/GCE,因而无法判断△COFs^CEG.据此逐项分析即可得出正确答案.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：取AB与CD的中点M,N,连接MN,作点B关于MN的对称点E，，连接EC,

E'B

此时CE的长就是GB+GC的最小值;

VMN/7AD,

，HM=|AE,

VHB1HM,AB=4,ZA=60°,

；.MB=2,ZHMB=60°,

，HM=1,

.\AE'=2,

.•・E点与E，点重合，

VZAEB=ZMHB=90°,

，/CBE=90。，

在RtZiEBC中，EB=2V3，BCM,

，EC=2V7,

故答案为：B.

【分析】取AB与CD的中点M,N,连接MN,作点B关于MN的对称点E，，连接EC,E'B,此时

CE的长就是GB+GC的最小值；利用三角形的中位线定理可得到HM=JAE,可求出HM的长；利用

30。角所对的直角边等于斜边的一半，可求出AE的长，利用勾股定理求出BE的长；然后利用勾股定

理求出EC的长.

6.【答案】C

【解析】【解答】解：•••点D、E、F分别是^ABC三边的中点，

ADE.DF为AABC得中位线，

，ED〃AC,且ED=1AC=AF；同理DF〃AB,且DF=1AB=AE,

•••四边形AEDF一定是平行四边形，故B正确；

△BDEBCA,△CDFCBA

.11

♦♦S^BDE=4sABCA'S〉CDF=4s△8C4，

:.ABDE和ADCF的面积相等，故A正确；

VAB=BC,

，DF=|AB=AE,

四边形AEDF不一定是菱形，故C错误；

VZA=90°,则四边形AEDF是矩形，故D正确；

故答案为：C.

【分析】根据三角形中位线定理可得ED〃AC,且ED=1AC=AF,DF〃AB,且DF=1AB=AE,

可证四边形AEDF一定是平行四边形，由/A=90。,可证四边形AEDF是矩形;根据平行线可证4BDE〜

△BCA,4CDFFCBA,利用相似三角形的性质可得.据此判

=SACDF=|SABC?I

断A、B、D；由4B=BC,可得DF=|AB=AE,从而得出四边形AEDF不一定是菱形，据此判断

C.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：：四边形ABCD是平行四边形

；.AB=CD/B=NADC=60。，ZACB=ZCAD

由翻折可知：BA=AB,=DC,NACB=NACB，=45。，

/.△AEC为等腰直角三角形

，AE=CE

ARtAAEB名RtACDE

，EB，=DE

:在等腰RtAAEC中，AC=尿＞

ACF=V3

•.,在RtaDEC中，CE=V5，NADC=60°

:.ZDCE=30°

.•.DE=1

在等腰RtADEB，中，EB，=DE=1

：-BD=V2

故答案为：B

【分析】由折叠的性质可得AAEC为等腰直角三角形,结合平行四边形的性质可证Rt^AEB^RtACDE,

由全等三角形的性质可得EB，=DE,在等腰RtAAEC中，用勾股定理可求得CE的值，解RtADEC可求

得DE的值，在等腰RMDEB，中，用勾股定理可求解.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：①如图1,连接AC并延长到点E.

•・•乙BCE=Z.BAC+乙B,

(DCE=Z-DAC+乙D,

・・・Z-BCE+乙DCE=ABAC++Z-DAC+乙D.

即乙BCD=/LBAD+ZB+ZD.

所以结论①正确；

②如图2,连接BD,作直线AC.

vAB=AD,

...点A在线段BD的垂直平分线上.

CB=CD,

...点C在线段BD的垂直平分线上.

.•.点A和点C都在线段BD的垂直平分线上.

•••直线AC是线段BD的垂直平分线.

ACLBD.

所以结论②正确;

③如图③，

由①可知，/.BCD=ZJ1+ZB+ZD,

当乙BCD=2/.A时，有2NA=NA+NB+Z.D,

Z71=Zfi4-ZD.

因再无其它已知条件证得BC=CD,所以结论③错误；

④如图④，假设存在凹四边形ABCD,连接AC.

1

当AB=CD,AD=BC时，

••AC=CA,

△ABC=△C*D4(SSS).

:.z.1=44,z3=z2.

，AB〃CD,BC〃DA.

・・・四边形ABCD是平行四边形.

・・,平行四边形是凸四边形，

这与“四边形ABCD是凹四边形”的假设相矛盾.

.•.不存在凹四边形ABCD,使得AB=CD,AD=BC.

所以结论④错误.

故答案为：A.

【分析】①如图1，连接AC并延长到点E,利用三角形外角和定理可得NBCD=NBAD+NB+ND；

②如图2,连接BD,作直线AC,根据线段垂直平分线的性质与判定，可得ACJ_BD；

③由①得/BCD=NBAD+/B+/D,结合4BCD=244,可得/A=/B+/D,无法证明BC=CD；

④如图④，假设存在凹四边形ABCD,连接AC.证明四边形ABCD是平行四边形，由于平行四边形

是凸四边形，据此判断即可.

9.【答案】B

【解析】【解答】解：A、重叠部分为矩形，长是4宽是2,所以面积为4x2=8：

B、重叠部分是平行四边形，与正方形边重合部分的长大于2,高是4,所以面积大于8；

C、图C与图B对比，因为图C的倾斜度比图B的倾斜度小，所以，图C的底比图B的底小，两图为

等高不等底，所以图C阴影部分的面积小于图B阴影部分的面积；

D、如图，BD=742+42=4V2，GE=DE=2,HF=BF=2,

，GH=4A/2-4,

AS2x(472+4/2-4)=8＞/2_4，小于8；

故答案为：B.

【分析】A、阴影部分是长方形，根据长方形的面积公式即可求出阴影部分的面积=8；

B、重叠部分是平行四边形，与正方形边重合部分的长大于2,高是4,根据平行四边形的面积公式即

可求出阴影部分的面积＞8；

C、图C阴影部分的倾斜度比图B阴影部分的倾斜度小，得出图C中平行四边形的底比图B中平行四

边形的底小，高是4,从而得出图C阴影部分的面积小于图B阴影部分的面积；

D、先求出BD的长，从而求出GH的长，利用梯形的面积公式求出阴影部分的面积＜8,即可得出重

叠部分的面积最大的是图B.

10.【答案】C

【解析】【解答】解：A、一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，本选项

说法是假命题；

B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，本选项说法是假命题；

C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，本选项说法是真命题；

D、有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，本选项说法是假命题；

故答案为：C.

【分析】根据平行四边形的判定定理可判断A；根据菱形的判定定理可判断B；根据矩形的判定定理

可判断C；根据正方形的判定定理可判断D.

11.【答案】24

【解析】【解答】•••矩形AEGF的周长为20cm,

：.AE+AF=10,

设4E=%，贝I］力尸=10—%,AB=x+2,AD=12-x,

S阴影=SABCD一SAEGF=4BxAD-AExAF

=(x+2)(12—x)—x(10—x)

=12%4-24—%2—2%—10%+x2

=24,

故答案为24.

【分析】由矩形的性质及周长，可求出4E+AF=10,设AE=x，则AF=10-x,AB=x+2,

AD—12—X,—^^,^ABCD~^^p.J^AEGF'利用矩形的面积公式代入计算即得结论.

12.【答案】(3,0)

【解析】【解答】解：•.•四边形OZBC是平行四边形，

，OA=BC=3,

...点A的坐标是(3,0),

故答案是：(3,0).

【分析】由平行四边形的性质可得OA=BC=3,据此不难得到点A的坐标.

13.【答案】|

【解析】【解答】解：过点C作CM〃CD交BC于点M,

4

Alr\

A\

l\

•••平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转得到平行四边形AB'C'D'

：.AB=AB',AD=AD',Z.B=Z.AB'C=ZD=ZDZ,乙BAD=^B'AD'

=/LDAD',乙B=KD'

：.AABB'-AADD'

.BB,_AB_AB_3

''~^=AD=BC=^'

':BB'=1

・•.DD，=[

.'.CD=CD'-DD

=CD-DD'

=AB—DD'

4

=3--

3

5

=-

3

vZ-AB'C=々AB'C'+乙CB'M=乙ABC+NBAB'

/.ZCB'M=^BAB

，.*5，C=BC-FF=4-1=3

：-BC=AB

'：AB=AB'

AZABB'=z.AB'B=^.AB'C

"：AB'//C'D',CD//CM

：.AB'//CM

/.ZAB'C=乙B'MC

AZAB'B=乙B'MC

在AABB'和AB'MC中，

LBAB=/.CBM

/.ABB=/.BMC

AB=BC

：.AABB'=AB'CM

：.BB'=CM=1

"：CM//C'D

/.△CME-ADC'E

CM_CE_1_3

­■-77=DE=T=5

DC3

.CE_3

,,CD=8

2229

:・CE=*CD=^AB=§x3

oooo

故答案为：I.

o

【分析】过点C作CM〃CD交BC于点M,利用旋转的性质可得AB=AB',AD=AD\同时可证

得两平行四边形的对角相等，由此可推出NBAB，=NDAD',NB=/DL可推出AABB'^△ADD,,

利用相似三角形的对应边成比例，可得出对应边的比；从而可求出DD'的值，即可求出CD，，B'C；

再证明△CMES/XDC'E,利用相似三角形的性质可求出CE的长.

14.【答案】50

【解析】【解答】解：过点E作EFLBC,垂足为F,

VZEBC=30°,BE=10,

.\EF=1BE=5,

：四边形ABCD是平行四边形，

，AD〃BC,

.,.ZDEC=ZBCE,

又EC平分NBED,即/BEC=NDEC,

.\ZBCE=ZBEC,

，BE=BC=10,

，四边形ABCD的面积=BCxEF=10x5=50,

故答案为：50.

【分析】过点E作EF_LBC,垂足为F,由含30。角的直角三角形的性质得出EF=称BE=5,根据平行

四边形的性质及角平分线的定义得出/BCE=NBEC,从而可得BE=BC=10,由平行四边形ABCD的面

积=BCxEF,据此计算即可.

15.【答案】导

【解析】【解答】解：•••菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC=8,DB=6,

.\AO=4,DO=3,ZAOD=9()°,

；.AD=5,

在RtUDO中，由等面积法得：^AO-DO=^AD-OE,

.八广AO-DO3x412

故答案为：号.

【分析】由菱形的性质得出A0=4,D0=3,ZAOD=90°,利用勾股定理求出AB=5,由^ADO的面积

~AODO=^AD-OE,据此求出OE的长.

16.【答案】1

【解析】【解答】解：由折叠性质可得CF=BC=5,BE=EF,

由矩形性质有CD=AB=3,BC=AD=5,

VZD=90o,

:.DF=VCF2-CD2=4,

所以AF=AD-DF=5-4=1,

所以BE=EF=x,贝ijAE=AB-BE=3-x,在RtZiAEF中：

AE2+AF2=EF2,

**•(3—X)+I2=x2>

解得x=

•»AE=3—

故答案为：I

【分析】由折叠的性质可得CF=BC=5,BE=EF,由矩形性质可得CD=AB=3,BC=AD=5,利用勾股定

理可得DF,由AF=AD-DF可得AF,设BE=EF=x,则AE=3-x,利用勾股定理可得x,进而可得AE.

17.【答案】1

【解析】【解答】解：连接AG,EG,如图，

：HG垂直平分AE,

，AG=EG,

•••正方形ABCD的边长为8,

...NB=NC=90°,AB=BC=CD=8,

•.•点E是CD的中点，

...CE=4,

设BG=x,则CG=8-x,

由勾股定理，得

EG2=CG2+CE2=(8-x)2+42,AG2=AB2+BG2=82+X2,

(8-x)2+42=82+x2,

解得：x=l.

故答案为：1.

【分析】连接AG,EG,根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AG=EG,根据正方形的

性质可得NB=NC=90。,AB=BC=CD=8,由中点的概念可得CE=4,设BG=x,则CG=8-x,然后在RsCEG、

RbABG中，利用勾股定理计算即可.

4

-

189

【解析】【解答】解：・・,两个空白正方形的面积分别为12和3,

・•・边长分别为28和存

，大正方形的边长为2遮4-V3=36，

...大正方形的面积为（36，=27.

，阴影部分的面积为27-12-3=12,

.•.米粒落在图中阴影部分的概率==|

故答案为：!

【分析】根据空白正方形的面积可得边长分别为2百和百，则大正方形的边长为3百，求出大正方形的

面积，然后求出阴影部分的面积，接下来根据几何概率公式进行计算即可.

19.【答案】10

【解析】【解答】解：如图，设AC与MN的交点为O,

根据作图可得MNJ_AC,且平分AC,

:.AO—OC,

v四边形ABCD是平行四边形，

・•・AD||BC,

:.Z-FAO=Z-OCE,

又•・•^AOF=乙COE,AO=CO,

・•.△AOF=△COE,

/.AF=EC,

・・・AF||CE,

・・・四边形AECF是平行四边形，

〈MN垂直平分AC,

・•・EA=EC,

・•・四边形AECF是菱形，

•・,ABLAC,MN1AC,

・・・EF||AB,

BEOC1

-'-EC^AO=1'

，E为BC的中点，

Rt4ABC中，AB=3,AC=4,

BC=>JAB2+AC2=5，

15

AE=*BC=］，

四边形AECF的周长为4AE=10.

故答案为：10.

【分析】设AC与MN的交点为O,根据作图可得MN1AC且平分AC,则AO=OC,根据平行四边形

以及平行线的性质可得NFAO=NOCE,证明△AOFgACOE,得至AF=EC,推出四边形AECF是平行

四边形，结合EA=EC可得四边形AECF为菱形，易得EF〃AB,根据平行线分线段成比例的性质可得

E为BC的中点，根据勾股定理可得BC,由直角三角形斜边上中线的性质可得AE=*BC,据此求解.

20.【答案】卓兀

【解析】【解答】解：：点M、N分别是边AD、BC的中点，

连接MN,则四边形ABNM是矩形，

，MN=AB=6,AM=BN=1AD==4,

根据题意知EF在运动中始终与MN交于点Q,如图，

•.•四边形ABCD是矩形，

.,.AD//BC,

.".AAQM〜AFQN,

.NF_NQ_1

,,西=丽=2

1

:.NQ=3MN=2

当点E与点A重合时，则NF=：AM=2,

・・・BF=BN+NF=4+2=6,

/.AB=BF=6

.."ABF是等腰直角三角形，

■,-Z.AFB=45°,

VBH1AF,

:.乙HBF=45°

由题意得，点H在以BQ为直径的面上运动，运动路径长为加长，取BQ中点0,连接HO,N0,

.\ZHON=90°,

又乙BNQ=90°,

；.BQ=y/BN2+NQ2=V42+22=2遮，

；.0N=0H=0Q=^BQ=V5.

...而的长为驾禁哮兀

louL

故答案为：枭

【分析】连接MN,则四边形ABNM是矩形，MN=AB=6,AM=BN=4,根据矩形的性质可得AD//BC,

证明AAQMsaFQN,根据相似三角形的性质可得NQ,当点E与点A重合时，则NF=2,BF=BN+NF=6,

推出AABF是等腰直角三角形，得到/AFB=/HBF=45。，由题意得：点H在以BQ为直径的加上运

动，运动路径长为而长，取BQ中点O,连接HO,NO,利用勾股定理求出BQ,有ON=OH=OQ可

得ON的值，然后根据弧长公式进行计算.

21.【答案】(1)证明：二•四边形力BCD是平行四边形，

：.AB||CD,AB=CD,

：.Z.ABE=乙CDF,

又BE=DF,

/.AABE=ACDF(SAS)；

(2)证明：•:AABE三ACDF,

=CF,乙AEB=LCFD

Z-AEF=Z-CFE

：.AE||CF,

...四边形AECF是平行四边形.

【解析】【分析】⑴根据平行四边形的性质可得AB〃CD,AB=CD,根据平行线的性质得/ABE=/

CDF,结合BE=DF,然后根据全等三角形的判定定理“SAS”进行证明；

(2)根据全等三角形的性质可得AE=CF,ZAEB=ZCFD,结合邻补角的性质可得NAEF=NCFE,

推出AE〃CF,然后根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”进行证明.

22.【答案】(1)证明：♦.•四边形ABCD为正方形，

：.z.A=ZB=90°,

：.Z.AEH+^AHE=90°.

・・•四边形EFGH为正方形，

：.EH=EF,Z.HEF=90°,

：.^AEH+^BEF=90°,

BEF=UHE.

在XAEH和LBFE中，

・;N4=ZB=90°,/.AHE=乙BEF，EH=FE,

：.LAEH=LBFE.

：.AH=BE.

：.AE+AH=AE+BE=AB；

(2)AE=CF

(3)解：•・,四边形ABCD为正方形,

：.AB||CD.

9CAE=DG,AE||DG,

，四边形AEGD为平行四边形.

：.AD||EG.

：.EG||BC.

•♦丽=而.

^OE：OF=4：5,

设OE=4%,OF=5x,HN=九，则上=

loZU

・\h=4(4—x).

ii

:.s=i-OF-H/V=i-4x-4(4-x)=-8(x-2)2+32.

.•.当久=2时，AOEH的面积最大，

11

■'-0E=4%=8=尹G=0G,OF=5x=10=^HF=OH,

二四边形EFGH是平行四边形.

【解析】【解答】解：（2）AE=CF,证明如下：

•••四边形ABCD为正方形，

：.^A=NB=90°,AB=BC=AD=CD,

：AE=AH,CF=CG,AE=CF,

；.AH=CG,

：.&AEH"FCG,

，EH=FG.

VAE=CF,

.\AB-AE=BC-CF,即BE=BF,

...ABEF是等腰直角三角形，

.,.ZBEF=ZBFE=45°,

VAE=AH,CF=CG,

.•.ZAEH=ZCFG=45°,

.•.ZHEF=ZEFG=90°,

；.EH〃FG,

四边形EFGH是矩形.

【分析】（1）根据正方形的性质可得NA=/B=90。，EH=EF,ZHEF=90°,根据同角的余角相等可得

ZBEF=ZAHE,证明AAEH会4BFE,得至ljAH=BE,据此证明；

（2）同理证明AAEH@AFCG,得到EH=FG,根据线段的和差关系可得BE=BF,推出^EBF是等腰直

角三角形，得到NBEF=NBFE=45。，易得NAEH=NCFG=45。，则NHEF=NEFG=90。，推出EH〃FG,

然后根据矩形的判定定理进行解答；

（3）根据正方形的性质可得AB〃CD,易得四边形AEGD为平行四边形，则AD〃EG,过点H作HM

±BC,垂足为点M,交EG于点N,设OE=4x,OF=5x,HN=h,根据平行线分线段成比例的性质可得

h,由三角形的面积公式可得S,根据二次函数的性质可得S的最大值以及对应的x的值，进而求出

OE、OF,然后结合平行四边形的判定定理进行解答.

23.【答案】（1）证明：如图1中，作FMLAC,垂足为M,

丁四边形ABCD是矩形，

・・・NB=90。，

VFM1AC,

・・・NB=NAMF=90。，

;旋转角等于NBAC,

AZBAC=ZEAF,AE=AF

AZBAE=ZMAF,

在AABE和AAMF中,

Z.B=Z.AMF

Z-BAE=/-MAF

AE=AF

.'.△ABE^AAMF(AAS),

AAB=AM；

(2)解：解：当点E在BC上，在Rt/kABE中，

n

AB=4,AE=3也

JBE=^AE2-AB2=J(3伪2-42=a,

VAABE^AAMF,

AAB=AM=4,FM=BE=®

在Rt^ABC中，AB=4,BC=3,

••AC=JAB2

.•・CM=AC-AM=5—4=1,

VZCMF=90°,

:.CF=CM2+FM2=2="

当点E在CD上时，过点F作FNJ_AC于点N,

VZBAC=ZEAF,

AZBAE=ZFAN,

TAB//CD,

・・・ZBAE=ZAED=ZFAN,

在ZkADE和ZkANF中,

乙D=CANF

^AED=乙FAN

AE=AF

/.△ADE^AANF(AAS),

JAD二NF=3,AN=DE

在RtAADE中

DE=AN=y/AE2-AD2=J(3V2)2-32=3,

ACN=AC-AN=5-3=2

在RtACNF中

CF=VF/V2+CN2=V32+22=V13;

ACF的值为g或vn.

(3)解：当点E在BC上时，如图2中，过点D作DH_LFM于点H,

VAABE^AAMF,

.♦.AM=AB=4,

VZAMF=90°,

.•.点F在射线FM上运动，当点F与K重合时，DH的值最小,

：NCMJ=NADC=90。，ZMCJ=ZACD,

...△CMJs/XCDA,

.CM_MJ_CJ

""CD~AD~AC'

♦1_MJ_CJ

••厂丁一号，

•••MJ=4,CJ=l，

•,D]-CD—C]=4一叔—

44

•.,NCMJ=NDHJ=90°,NCJM=NDJH,

...△CMJS/XDHJ,

秘C

一

一/W

._5

1-4

训TT

-

T

一

"一11

5-

ADF的最小值为9；

当点E在线段CD上时，如图3中，将线段AD绕点A顺时针旋转，旋转角为/BAC,得到线段AR,

连接FR,过点D作DQLAR于点Q,DKLFR于点K,

B

I\

、问E

K、l

VZEAF=ZBAC,ZDAR=ZBAC,

.\ZDAE=ZRAF,

SAADE和^ARF中

AE=AF

Z-DAE=Z-RAF

AD=AR

•二△ADEgZXARF(SAS),

AZADE=ZARF=90°,

・••点F在直线RF上运动，当点D与K重合时，DF的值最小,

VDQ±AR,DK±RF,

AZR=ZDQR=NDKR=90。，

・•・四边形DKRQ是矩形，

・・・DK=QR,

41?

，4Q=AD•cos^BAC=3x|=寺,

,.,AR=AD=3,

-^DK=QR=AR-AQ=^

/.DF的最小值为I，

..3JI

,5V丁

.,.DF的最小值为|.

【解析】【分析】(1)作FMJ_AC,垂足为M,利用矩形的性质和垂直的定义可证得/B=NAMF=90。，

利用旋转角等于NBAC,可证得NBAE=NMAF,AE=AF,利用AAS证明^ABE丝aAMF,利用全等

三角形的性质可证得结论.

(2)分情况讨论：当点E在BC上，在Rt^ABE中，利用勾股定理求出BE的长，利用全等三角形

的性质可得到AB,FM的长；在RtAABC中，利用勾股定理求出AC的长，即可求出CM的长，利用

勾股定理求出CF的长；当点E在CD上时，过点F作FNLAC于点N,易证NBAE=NAED=NFAN,

利用AAS证明AADE丝4ANF,利用全等三角形的性质可证得AD=NF=3,AN=DE,利用勾股定理求

出AN的长，即可得到CN的长；然后在RSCNF中，利用勾股定理求出CF的长，综上所述可得到

CF的值.

（3）分情况讨论：当点E在BC上时，如图2中，过点D作DH±FM于点H,利用全等三角形的性

质可得到AM的长，同时可得到点F在射线FM上运动，当点F与K重合时，DH的值最小，利用有

两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得ACMJsacDA,利用相似三角形的对应边成比例可求出

MJ,CJ的长，由此可求出DJ；再证明△CMJs^DHJ,利用相似三角形的性质可求出DH的长；当点

E在线段CD上时，如图3中，将线段AD绕点A顺时针旋转，旋转角为NBAC,得到线段AR,连接

FR,过点D作DQLAR于点Q,DKLFR于点K,利用SAS证明aADE丝aARF,可得到NADE=N

ARF=90。，即可证得点F在直线RF上运动，当点D与K重合时，DF的值最小；易证四边形DKRQ

是矩形，利用矩形的性质可证得DK=QR,利用解直角三角形求出AQ的长，同时可求出DK的长，由

此可得到DF的最小值，比较大小可求出DF的最小值.

24.【答案】（I）证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，0是BD的中点，

，AB〃DC,OB=OD,

NOBE=NODF.

20BE=Z.ODF

在Z^BOE^UADOF中，OB=OD,

/BOE=乙DOF

.,.△BOE^ADOF（ASA）

（2）证明：