《指数与指数幂的运算(第1课时)》教学设计

2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算（第一课时）（胡文娟）一、教学目标（一）核心素养通过指数运算符号的使用与运算法则的总结，培育学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养，为指数函数学习打下坚实基础．（二）学习目标1．理解根式的概念并掌握运用根式的性质进行化简．2．理解分数指数幂的概念．3．掌握根式与分数指数幂之间的互化．（三）学习重点1．根式与分数指数幂概念的理解．2．分数指数幂的运算性质．（四）学习难点根式与分数指数幂的互化．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第49页至第51页，填空：一般地，如果■=a,那么x叫做a的n次方根，其中n>1,且neN*.式子G叫做根式，其中a叫做被开方数，n叫做根指数.当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.式子/叫做根式.这里n叫做根指数,a叫做被开方数.（2）计算下列各式……；1 … ①％—64:②/ ；®5（a+b）5（a>0,b>0）弋（-6）4 '观察上面的计算结果，你得到的结论是：（用^母表达）观察上面的计算结果，你得到的结论是：（用^母表达）.详解：①3-64=v(-4)x(-4)x(-4)=-4；TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 1 1 1 1' x X X =—；\o"CurrentDocument"：(-6) (-6)(-6)(-6) 6③(a十b)5"5(a十b+b)•』十b十b+b):a+b结论：n为奇数，njan=a，aeR；n为偶数，nan=尸，“一°I-a,a<0•2.预习自测(1)若x表示实数，则下列说法正确的是()A.或一定是根式 B,二一定不是根式C5短一定是根式 D,3。只有当x>0才是根式【知识点】根式的定义.【数学思想】【解题过程】根据根式定义可得正确.【思路点拨】根据根式的定义直接判断.【答案】C.(-2)5=( )A.4B,2 C,-4 D,-2【知识点】根式的化简.【数学思想】【解题过程】(-2)5=5-(-2)C2).(-2)C2).(-2)=-2.【思路点拨】根据根式的运算性质直接进行计算.【答案】D.3(3)将52写为根式，则正确的是()A,3,反B,呈C,5：'| D,、工【知识点】根式与分数指数幂的互化.【数学思想】3 【解题过程】52=v53【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化关系．【答案】D.(4)将抵写为分数指数幂的形式，则正确的是()5 3A.63 B.65C615D.62【知识点】根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】5而=63【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化关系．【答案】B.(二)课堂设计1．知识回顾(1)平方根一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根(squareroot)或二次方根．(2)立方根一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根(cuberoot)或三次方根．(3)正数有两个平方根，他们互为相反数，其中正的平方根称为算术平方根；0的平方根是0；负数没有平方根．任何一个数都有唯一一个立方根，并且这个立方根的符号与原数相同．2.问题探究探究一根式的概念与根式的化简•活动①回顾理解方根与根式的概念在初中，我们学习过二次方根概念:一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根(squareroot)或二次方根.其中，a叫做被开方数.当a>0时，aa表示a的算术平方根.我们也学习过三次方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根(cube“。力或三次方根.提问：如果一个数的4次方等于〃，那么这时候这个数叫做什么呢？这个数叫做〃的四次方根.追问：如果一个数的n次方等于〃，那么这时候这个数又叫做什么呢？(抢答)一般地，如果逝=〃，那么x叫做a的n次方根，其中n>1,且neN*.式子储叫做根式，其中a叫做被开方数，n叫做根指数.【设计意图】通过回顾已学知识，从特殊到一般，让学生自己总结归纳，加深学生对根式的理解．•活动②根式的性质nan(neN*,n>1)表示an的n次方根，等式\：an=a一定成立吗？如果不一定成立，那么nna等于什么？(分小组讨论)若a—0,n0=0n为奇数时，nan―afa,a20n为偶数时，Man—a-《[一a,a<0也就是说，当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数；当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.追问：(n[a)n=a一定成立吗？很明显，当根式有意义的情况下(R)n=a一定成立.综上，根式的性质有：⑴n0=0,(2)(R)n=a,⑶菽=a(n为大于1的奇数)，(4)M=a=[a(a-0) (n为大于1的偶数).[一a(a<0)【设计意图】通过学生自主讨论探究归纳总结,得出根式的化简方法,加深印象．探究二分数指数幂的概念★•活动①探究分数指数幂的概念当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系P=（2）京,考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t年后，体内碳14含量P的值.例如：当生物死亡了5730,2X5730,3X5730,……年后，它体内碳14的含量P分别为2,（2）2,（2）3,……当生物死亡了6000年,10000年,100000年后,根据上式,它体内碳14的16000 110000 1100000含量P分别为（2）5730,（2）5730,弓）5730.问题：以上三个数的含义到底是什么呢？考古学家正式利用有理数指数幂的知识,计算出生物死亡6000年,10000年,100000年后体内碳14含量P的值．例如,当t=6000时,16000 11 ―乙一। ।一一、 ，一…p=（2）5730=5730：（2）6000穴0.484（精确到0.001）,即生物死亡6000年后，其体内碳14的含量约为原来的48.4%．归纳：分数指数幂是一个数的指数为分数．【设计意图】从生活中的实际例子到数学语言,从特殊到一般,体会概念的提炼,抽象过程．探究三根式与分数指数幂的互化•活动①根式与分数指数幂的互化 - 10 : - 125a10=5；（a2）5=a2=a5 4a12=4（a3）4=a3=a4问题：（1）从上两个例子你能发现什么结论？被开方数的指数结论：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成a根指数的形式(2)3a2,xb,4：c5(c>0)如何表示?

3a2=a3,bb=b2,4c5=c4、m: 规定an=nam(a>0,m,neN*,n>1)mmamman—(an)-1=(a>0,m,neN*,n>1)nam正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式．思考：负数的分数指数幂呢能不能用根式表示？不能，例如问题（2）中4c，若c为负数，则在实数范围内是不存在的.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．【设计意图】从给出的例子让学生总结出正数的负分数指数幂，检查反馈学生对正数的分数指数幂概念的理解，加深对正数的分数指数幂的认识．•活动②巩固基础，检查反馈例1化简V-27的值是（）.A.3 B.-3C±3 D.-9【知识点】根式的化简求值．【数学思想】【解题过程】3；-27—3（-3）3—-3.【思路点拨】根据根式的运算法则直接进行计算．【答案】B.同类训练、:口干+¥+）5的值是（）.A.0 B.2（a-b） C.0或2（a-b） D.a-b【知识点】根式的化简求值．【数学思想】分类讨论思想a-b+a-b+(a-b)金>b

b-3.4-1-13=0J(a-b)+ )■=|a-b|+(a-b)=【思路点拨】根据根式的运算性质直接进行计算．【答案】C.【设计意图】检查反馈学生对根式的定义以及根式的性质的理解，进一步掌握根式的化简.例2当有意义时，化简."2—4x+4―、x2—6x+9的结果为（ ）A.2x-5 b.-2x-1 C.-1 D.5-2x【知识点】根式的化简求值.【数学思想】【解题过程】qE有意义即是说2-x>0,则x<2,这v'x2-4x+4=((x-2)2=2-x,同理\.:x2-6x+9=((x-3)2=3-x,所以原式【思路点拨】根搠为偶数时，M【思路点拨】根搠为偶数时，M〃=0对根式进行化简求值.【答案】C同类训练若a<1,则化简f'Ga-1｝的结果是（ ）C. C. 1—2a D.—V1—2aA.y2a—1 B.—%：2a—1【知识点】根式的化简.4：：(4：：(2a-1}=(2a-1)；=•,1-2a., Ia,a>0ns=H=1 口对根式进行化简求值.—a,a<01【解题过程】a<1,则U2a-1<02【思路点拨】根据n为偶数时【答案】C.・活动③强化提升、灵活应用例3下列互化中正确的是（— 1A.-7x=（—x）2（x丰0）

C.(一)-4=4：(—)3(x,y中0) D.x3=—\.：xy飞x【知识点】根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】A选项—、x=-x2(x丰0),B选项6不=(-y)3(y<0),D选项i■—x3=3：'x.【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系．【答案】C同类训练下列等式能成立的是()A．B.12(—2)4=3.：—A．D．(I)D．(I)23a/3【知识点】根式的化简，根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】A选项(2)7=n7m-7,B选项窄(一2)4=3；2，C选项显然不成立.m【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系．【答案】D.例4求下列各式的值:,、 2 125i7(1)(0.027)3+(万)3-(2/。.5、L.一L 171 1(2)6.0+%：3•(、.：3-%：2)0-(4记)4-(3)-1【知识点】根式的化简运算，根式与分数指数幂的互化.【数学思想】【解题过程】(1)原式=V(0.33)2+3，''(|)3-^'(|)2=0.09

TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"⑵原式=0+耳_J(3T-3=a-3-3=邛-9

加2) 2 2【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系．【答案】(1)0.09.(2)11r—二.; _同类训练求下列各式的值:… 7 101(29)0.5+0.1-1+(227)-3-3兀0(0.0081)-1-3x(7)0"x810.25+(33)-1J-10x0.027；【知识点】根式的化简运算，根式与分数指数幂的互化．【数学思想】【解题过程】(1)原式=53【解题过程】(1)原式=53—十—34+7=113~22；(2(2)原式=-.1=-1x73. 34'(—)4410■3■(-)3；2,-10x“(J_)3=W-1x(3+2)-3=-8310 33 3 9-【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系-【答案】(1)113.(2)-8.12； 9【设计意图】通过计算，加强学生对根式的性质的运用以及对根式与分数指数幂的互化过程的熟练掌握-3-课堂总结知识梳理(1)一般地，如果逝=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1,且neN*.式子R叫做根式，其中a叫做被开方数，n叫做根指数.(2)正数的分数指数幂(正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式)

m■ m■ an=nam(a>0,m,neN*,n>1)a,mm 1n=(an)-i=(a>0,m,neN*,n>1)nam重难点归纳(1)在进行根式化简时一定注意当n为奇数时，nan=a,n为偶数时，nan=(2)根式化简过程中常出现乘方与开放并存要，注意两者的顺序何时可以交换，何时不能交换，并且幂指数不能随便约分．m- (3)在进行根式与分数指数幂的互化时an=1am(a>0,m,neN*,n>1)TOC\o"1-5"\h\z-m 1a-n=(a>0,m,neN*,n>1)，其中m，n的位置切勿记反.nam '(三)课后作业基础型自主突破1.设m,neN*,n>1,a是正实数，则下列各式中正确的有().m _m1①an=nam:②a0=1:③a~n=—:—namA.3个B.2个C.1个D.0个【知识点】根式与分数指数幂的互化，分数指数幂．【数学思想】【解题过程】由分数指数幂的概念判断.【思路点拨】弄清根式与分数指数幂之间的互化关系.【答案】A.2 •…2.已知X-3=4则X等于()3：4

~T~【知识点】根式的化简运算，根式与分数指数幂的互化.【数学思想】 23 3 1 1【解题过程】X=(X-3)-2=±4-2=±, =土一43 8【思路点拨】掌握根式的化简运算以及根式与分数指数幂之间的互化关系．【答案】B.3．下列说法中正确的个数是()①一2是16的四次方根②正数的n次方根有两个③a的n次方根就是苏④nan=a(a>0)A．0 B．1 C．2 D．3【知识点】n次方根和n次根式的概念.【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】①是正确的，由(-2)4=16可验证；②不正确，要对n分奇偶讨论;③不正确，a的n次方根可能有一个值，可能有两个值，而%：an只表示一个确定的值，它叫根式；④正确，根据根式运算的依据，当n为奇数时，方=a是正确的，当n为偶数时，若a三0,则有nan=a.综上，当a三0时，无论n为何值均有nan=a成立.【思路点拨】根据方根与根式的定义直接进行判断．【答案】C一,一 34、、一.…一……一一4.若式子a-2X)-4有意义，则X的取值范围是()TOC\o"1-5"\h\z11 1A.xgRB.x手一C.x>— D.X<—2 2 2【知识点】根式与分数指数幂的互化.【数学思想】分类讨论思想.\o"CurrentDocument"3 1 3 1【解题过程】(1-2X)-4= ,若(1-2X)-4有意义，贝h-2X>0,即X<.4(1-2X)3 2【思路点拨】化分数指数幂为根式，由根式内的代数式大于0求得X的范围.【答案】D.5.计算下列各式：481x\：42v/3x3；f5x6.•五【知识点】根式与分数指数幂的互化，根式的化简求值．【数学思想】【解题过程】(1)V81xx不=<34xW=3x2=6；(2)2、回x3：T5x6.12=243x3'3xv'3x22=2v3x33xV2x6：342 32111=2x32x33x36=2x3=6.【思路点拨】运用根式的化简法则进行求解．【答案】(1)6；(2)6．.化简,5-2屈+%/5+2屈=.【知识点】根式的化简．【数学思想】【解题过程】<5-2j6+丫5+2<6=(3—,/2)2+(品+<2)2=2%；3.【思路点拨】根号里面的部分用完全平方公式化简，再根据根式的化简得出结果．【答案】2\；3.能力型师生共研.n茎+(启)n=2a时，实数a和正整数n所应满足的条件.【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【数学思想】分类讨论思想【解题过程】由菽+(n/a)n=2a，若n为奇数，菽+(a)n=a+a=2a，上式成立；若n为偶数，则a>0,nZ+(<a)n=a+a=2a，上式成立.【思路点拨】利用指数的运算法则，对n为奇数或偶数进行讨论.【答案】agR,n为正奇数或a>0,n为正偶数..已知ngN*，化简

1+1+（：,n+n+1>【知识点】根式的化简运算.【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】原式=nn-nn+1（*；n+nn+1）（、,'n-7n+原式=nn-nn+1（*；n+nn+1）（、,'n-7n+1）=%：2—1+J3—v2+•…+nn+1一■vn=、：n+1—1【思路点拨】运用以前所学过的分母有理化将原式化简，将复杂问题简单化.【答案】g-1.探究型多维突破.已知x=三3,y=2±12，求下列各式的值.2+v：3 2-QX+2；yxx2-xy+y2.【知识点】根式的化简求值.【数学思想】转化与化归思想.【解题过程】(1)X+2二三2+二2二二+金二194；yx(2+<3)2(2-13)27+4y37-4J32--•白、2--<32+,；3(2+.吞、x2-xy+y2=( —)2 =• =+(. —)2=1932+<3 2+<32-<3 2-<3【思路点拨】直接将已知的等式带入要求的式子中，在运用根式的性质将式子化简.【答案】(1)194；(2)193.10.若x〉0,y〉0且满足x-2,后=15y，求2x-2可-3y的值.x-%：xy+y【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简求值.【数学思想】转化与化归思想.

【解题过程】X—【解题过程】X—2国=15y即为（:X—0,因为X>0,y>0,故r—5J二0，所以x=25y 2X+2、+3N=2乂25，+2m2+3，=曳=3.，X—Xyy+y 25y-弋25y2+y21y【思路点拨】运用分数指数幂进行根式计算.【答案】3.自助餐.式子aj―-经过计算可得到（）\aA.—-a B.aa C.一、:aD.一、；一a【知识点】根式的化简.【数学思想】【解题过程由原式知a<【解题过程由原式知a<0,因此、=Ia=―a,故a=v—a,于是a―=―%,-a.【思路点拨】负数的偶次方根等于其相反数.【答案】D..下列说法正确的是（）.64的6次方根是26.64的运算结果是土2n>1且neN*时，（薪）n=a对于任意实数a都成立n>1且neN*时，式子菽对于任意实数a都有意义【知识点】方根与根式的概念，根式的化简.【数学思想】分类讨论思想.【解题过程】A选项考察的是正数的偶次方根有两个，且互为相反数，B选项的运算结果应该是2,C选项当a为负数则不成立.【思路点拨】根据方根与根式的概念，根式的化简进行判断.【答案】D..当8Vx<10时，7(x-8)2+xkx—10)2=.【知识点】根式