山东省济宁市2023届高三二模拟数学试题（含答案与解析）

山东省济宁市2023年高考二模拟考试

数学

本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

i

z--------_

1.若复数1-2i,则z在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知集合A={2,5,m2-,B={2,m+3],若AB=B,则m=（）

A.-3B.-1C.2D.3

3."a=1■"是“直线x+2ay-l=0与直线（a-l）x-qy—1=0平行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.为了强化学校的体育教育教学工作，提高学生身体素质，加强学生之间的沟通，凝聚班级集体的力量，

激发学生热爱体育的热情.某中学举办田径运动会，某班从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加

学校4x100米接力赛，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都参加的不

同棒次安排方案总数为（）

A.48B.36C.24D.12

5.在平面直角坐标系中，过点2（3,0）作圆。：（%-1）2+（丁—20）2=4的两条切线，切点分别为A3.则

直线A3的方程为（）

A.x—>/3_y+3—0B.x+-\/3y+3-0

C.y/3x—y+3=0D.y/3x+_y+3=0

6._ABC的内角A5C的对边分别为a,4c,若AB边上的高为2c,A=二，贝|cosC=（）

3A/10D.6

105

jr

7./、/'为两条直线，。,尸为两个平面，满足：/c/'=O,/与/的夹角为一,a///?,/，/。与月之间的

6

距离为2.以/为轴将/'旋转一周，并用名。截取得到两个同顶点。（点O在平面。与月之间）的圆锥.设

这两个圆锥的体积分别为X、％,则匕+匕的最小值为（）

*兀2n

A.—B,注C.—D.

339~9~

、13TC.1­.、

8.设a——,/?=In—,c=—sin—,贝(J()

2222

A.b<a<cB.a<b<

C.c<b<aD.b<c<a

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.下表是某校高三（1）班三名同学在高三学年度的六次数学测试中的分数及班级平均分表.下列叙述中正

确的是（）

测试序号

学生

第1次第2次第3次第4次第5次第6次

甲同学138127131132128135

乙同学130116128115126120

丙同学108105113112115123

班级平均分128.2118.3125.41203115.7122.1

A.甲同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平

B.乙同学的数学学习成绩不稳定，总在班级平均水平上下波动

C.丙同学的数学学习成绩始终低于班级平均水平

D.通过与班级平均分的对比，可发现丙同学的数学成绩在稳步提高

10.已知机>0,〃>0,且机+〃=2/也1,则下列结论中正确的是（）

A.mn>1B.m+n<42C.m2+H2>2D.2m+n>3+2A/2

11.若点e（cos&sina）,Q“（sin&cosQ）（O为坐标原点，^eR,HeN*）,则下列结论中正确的是

()

A.|心2|的最大值为2

B.△。匕。“面积的最大值为g

C.OR-O&G(-1,1)

2023

D.若数列湿｝是以了为首项，工为公差的等差数列，则£由2|=674百

43j=i

12.已知正方体ABC。-A4GR的棱长为2,M为空间中任一点，则下列结论中正确的是()

兀兀

A.若M为线段AC上任一点，则。“与用q所成角的范围为

B.若M为正方形AD24的中心，则三棱雉Af—A3D外接球的体积为8兀

C.若M在正方形。CC12内部，且|班|=#，则点M轨迹长度为立兀

2

471

D.若三棱雉的体积为一,NM£>C=—恒成立，点M轨迹的为椭圆的一部分

36

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知抛物线。：俨=6%的焦点为尸，点M(x,y)(y>0)为曲线C上一点，若|MF|=g,则点M的

坐标为.

14.已知aeR,函数=贝ija=.

15.在排球比赛的小组循环赛中，每场比赛采用五局三胜制.甲、乙两队小组赛中相见，积分规则如下：

以3:0或3:1获胜的球队积3分，落败的球队积0分；以3:2获胜的球队积2分，落败的球队积1分.若

甲队每局比赛获胜的概率为0.6,则在甲队本场比赛所得积分为3分的条件下，甲队前2局比赛都获胜的概

率是.(用分数表示)

16.已知向量4、/?不共线，夹角为6，且卜卜2,忖=1,卜+20+,一40=4收，若

递<2<2应，则Icos。|的最小值为.

3

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.己知函数/(x)=cos4x-sin4x+sin[2x-巳].

IT

(1)求函数/(x)在0,-上的单调递增区间；

(2)将函数/(x)的图象向左平移。。J个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)的图象关

于点成中心对称，在-：,口上的值域为-g,l,求夕的取值范围.

18.己知数列｛a.｝的前几项和为+a“+i=2an(H>2,neN*),且％=1,65=15.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

[a,〃为奇数()

⑵若勿=；,求数列出｝的前2〃项和心.

〃为偶数

19.某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测

(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示.

1频率

\组距

0.030.............1-।

0.004[--------1…+……~~।_

。“35右5565758595初杀成绩

(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；

(2)若所有学生初试成绩X近似服从正态分布N(〃,b2),其中〃为样本平均数的估计值，

a-14.初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；

(3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖;答对两道题获得二等奖;答对一道题获得三等奖;全部答错

不获奖.已知某学生进人了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为第三道题答对的概率为b.若

他获得一等奖的概率为！，设他获得二等奖的概率为尸，求尸的最小值.

8

附：若随机变是X服从正态分布N(〃,cr2),则P(A—(r<X<〃+b)a0.6827,

尸(A-2cr<X<〃+2cr)b0.9545,P(〃—3cr<X<〃+3cr)a0.9973.

20.如图，圆柱的轴截面A3CD是边长为6的正方形，下底面圆的一条弦E尸交CD于点G,其中

DG=2,DE=DF.

(1)证明：平面AEF_L平面ABCD;

4

(2)判断上底面圆周上是否存在点尸，使得二面角P-跖-A的余弦值为二.若存在，求”的长;若不

存在，请说明理由.

22

21.已知双曲线C:二-斗=1(4>0,6>0)的离心率为g",c的右焦点口到其渐近线的距离为卡.

ab

(1)求该双曲线。的方程；

(2)若直线/与双曲线C第一象限交于A3两点，直线x=3交线段A3于点Q,且

SFAO：SFBO=|1%|：|£四，证明：直线/过定点.

22.已知函数/'(X)="ltlnx,85)=3e』+1,a为实数.

x

(1)若/(x)<e恒成立，求实数。的取值范围；

(2)若方程/(x)=g(x)恰有3个不同实数根，求实数。的值

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1

Z——

1.若复数l—2i,贝i]z在复平面内所对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】对复数z进行化简，再求出I从而求出其所在的象限即可.

ii(l+2i)-2+i--2i

【详解】z=z=---------

l-2i(l-2i)(l+2i)555

_(21

故z在复平面内对应的点I-j,--

则三在复平面内所对应的点位于第三象限.

故选:C.

2.已知集合A={2,5,n?—加},B={2,m+3},若AB=B,则机=()

A.-3B.-1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】根据A3=5得出m+3=5或加+3=H?一加，分别求出加的值，并检验是否满足集合中元素

的互异性，即可得出，”的值.

【详解】因为AB=B,

所以〃z+3=5或m+3=根？—根,

当加+3=5时，即加=2,

则4={2,5,2},不满足集合中元素的互异性，舍去；

当W2+3=一加时，“2=3或机=-1,

当机=T时，A={2,5,2},不满足集合中元素的互异性，舍去；

当机=3时，A={2,5,6},§={2,6}满足题意，

所以7篦=3,

故选：D.

3.!■"是"直线》+2纱-1=0与直线(a-l)x-金一1=0平行”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】由两直线平行得出。的值，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可.

/、1x(―。)=2a•(a—1),

【详解】若直线x+2ay—1=0与直线(a—l)x—殁—1=0平行，则有〈〉/(；：解得

。=0或。=；,所以当时，直线x+2ay—1=0与直线(a—l)x—ay—1=0平行，当直线

x+lay—1=0与直线(a—l)x—殁一1=0平行时，a=0或a=,.

故选：A

4.为了强化学校的体育教育教学工作，提高学生身体素质，加强学生之间的沟通，凝聚班级集体的力量，

激发学生热爱体育的热情.某中学举办田径运动会，某班从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加

学校4x100米接力赛，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都参加的不

同棒次安排方案总数为()

A.48B.36C.24D.12

【答案】B

【解析】

【分析】特殊位置优先排，分类求解可得.

【详解】当甲排第1棒时，乙可排第2棒或第4棒，共有A；A：=24种；

当甲排第2棒时，乙只能排第4棒，共有A；=12.

故甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为24+12=36种.

故选：B

5.在平面直角坐标系中，过点P(3,0)作圆O：(x-If+U—2百)2=4的两条切线，切点分别为A3.则

直线A3的方程为()

A.x-回+3=0B.x+y/3y+3=0

C.y/3x—y+3=0D.+y+3=0

【答案】A

【解析】

【分析】求出以P(3,0)、。(1,2g)为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦A3所在直线的

方程.

【详解】圆O:(x—l)2+(y—26)2=4的圆心为。(1,2指)，半径为2,

以尸(3,0)、。(1,2石)为直径，则PO的中点坐标为N(2,/),|PO\=^(3-1)2+(2A/3-0)2=4.

...以N为圆心，PO为直径的圆的方程为(1—2)2+(y—=4,

因为过点尸(3,0)圆O:(x—+(y—2百)2=4的两条切线切点分别为A,B,

所以A3是两圆的公共弦，

将两圆方程相减可得公共弦A3所在直线的方程为：x-3y+3=0.

故选：A.

7T

6.ABC的内角A,民C的对边分别为a,4c,若A3边上的高为2c,A=—,贝|cosC=()

4

AVwR3M「3石nV5

A.----D.-----C.----D.

1010105

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知，用c表示出。、b,然后由余弦定理可得.

【详解】如图，A5边上的高为C2

JTTT

因为A=—，所以AD=2c,2c=bsin—

44

所以BD=c,b=2Oc,

由勾股定理可得5C=而+4c2=超，

5c2+8。2-c23A/10

由余弦定理可得cosZACB=

2XV5CX2A/2C10

jr

7./、，为两条直线，戊,尸为两个平面，满足：/C/'=。/与/'的夹角为二,。//，,/，。,。与夕之间的

距离为2.以/为轴将，旋转一周，并用名尸截取得到两个同顶点。（点。在平面戊与夕之间）的圆锥.设

这两个圆锥的体积分别为匕、%,则K+匕的最小值为（）

【答案】D

【解析】

【分析】两个圆锥的轴截面如下图所示，设=九OQ=2-力，由题意表示出

1I-n-

再由圆锥的体积公式求出K+%,令〃//）=—兀川+（2一域，0〈丸＜2,对/（与求导，即可求出了（S

9--

的最小值即K+匕的最小值.

【详解】两个圆锥的轴截面如下图所示，01,Q分别为两圆锥的底面圆的圆心，设半径分别为名为，

0。2,DE,OR±BC,直线DE,BC分别为两圆锥与a,尸的交线，

因为a与夕之间的距离为2,所以设OO]=/z,OQ=2—九，

TT7T

因为/与/'的夹角为乙，所以/DOE=g,由圆锥的性质知，OB=OC,OD=OE,

63

所以_ODE,_O3C为等边三角形，所以tan/O3C=襄=2二2=百，

BO2r2

所以弓=早=#（2—力），同理4=岑丸，

所以X+匕=!兀,2丸+g71G2(2_")=:兀力h+Ln%2一垃(2-A)

1r3一

=—7i川+(2—/z),0</z<2>

9——

1ro-

令§兀［"+(2—

/=B兀［3/i2_3(2_/z)〔=g兀(_4+4/i)=0,解得：h=l,

所以当/ze(O,l)时，(伍)<0,当/ie(l,+”)时，/'(//)>0,

所以/(/?)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)单调递增,

2

所以小L=/⑴=铲・

所以v+匕的最小值为甘.

A.b<a<cB.a<b<c

C.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【解析】

【分析】构造g(x)=xTTnM%>。)，对g(x)求导，可得g(x)单调性和最值，可知x—12Inx,得

7T

出。>〃，同理构造/(x)=5sinx—x,可得c>。，即可得出答案.

1X—}

［详解］4g(x)=x-l-lnx(x>0),g'(x)=l――==——,

JVJC

令g'(x)>0,解得：x>l；令g'(x)<0,解得：0<%<1；

所以g(X)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以g(x)min=g(D=°，所以X—l»lnX，

由x-lNlnx可知a>人

jrjr(7T|

设/(x)=—sinx-x,则—(%)=—cos%-1在区间0,—上是减函数.

2216J

后-4

>0.

4­

所以函数"X）在区间0,个上是增函数•

所以/（：］〉/（0）=0，即巴sin^>J.即：C>a.

（2）222

故选：A.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.下表是某校高三（1）班三名同学在高三学年度的六次数学测试中的分数及班级平均分表.下列叙述中正

确的是（）

测试序号

学生

第1次第2次第3次第4次第5次第6次

甲同学138127131132128135

乙同学130116128115126120

丙同学108105113112115123

班级平均分128.2118.3125.4120.3115.7122.1

A.甲同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平

B.乙同学的数学学习成绩不稳定，总在班级平均水平上下波动

C.丙同学的数学学习成绩始终低于班级平均水平

D.通过与班级平均分的对比，可发现丙同学的数学成绩在稳步提高

【答案】ABD

【解析】

【分析】将每位同学的成绩与班级平均分比较，判断正误.

【详解】甲同学每次成绩都高于平均分，故A正确；

乙同学3次成绩高于平均分，3次成绩低于平均分，故B正确；

丙同学第6次成绩高于平均分，故C正确；

丙同学成绩逐渐提升，且第6次成绩高于平均分，故D正确.

故选：ABD.

10.已知m>0,〃>0,且帆+〃=2/m1,则下列结论中正确的是()

A.mn>1B.m+n<\[2C.m2+n2>2D.2m+n>3+2A/2

【答案】AC

【解析】

【分析】利用基本不等式可得7加21，可判断A,C选项,特殊值法判断B,D选项错误.

【详解】因m>0,n>0,m+n=2mn>

2mn—m+n>2yjmn>所以〃当且仅当根=〃=1等号成立，故A正确，

当m="=1,m+"=27”〃，则相+九=1+1>0,故8错误；

因为7加121,所以加2+"222”加22，故c正确；

当加=〃=1时，则2帆+〃=3<3+2虚，故D错误；

故选：AC.

11.若点匕(cosQ,sinq),0(sinQ,cosQ)(O为坐标原点，QeR,“eN*),则下列结论中正确的是

()

A.的最大值为2

B.△。巴2面积的最大值为T

C.O£JOQH(-1,1)

2023

D.若数列也,｝是以巴为首项，g为公差的等差数列，则X由21=674,

43i=i

【答案】AB

【解析】

【分析】匕,。“关于直线y=x对称，且都在圆炉+产=1上，根据图象结合数量积运算判断AC；当点匕

在了轴正半轴上时，OPnLOQn,此时△。匕Q的面积取最大值，从而判断B；由三角恒等变换得出

|^e„|=2sin(|H-1),结合周期性判断D.

【详解】易知片,。“关于直线丁=%对称，且都在圆x2+/=i上，

对于AC：由图可知，当直线C2,过原点，且垂直于直线y=x时，I月2/取最大值，

此时山,2,1=2,0Pn0Qn=-\0Pn[\0Qn\=-l,故A正确，C错误;

对于B：由于匕xO2,sinNQ,0匕，

所以当sinNQ〃Cq=l时，此时当点匕在y轴正半轴上时，OPnLOQn,△。5Q的面积取最大值,

此时△。匕。”的面积为gxlxl=g,故B正确；

JT7T

对于D：由题意e=—।—(〃—1),

"43

\P„Q„\=J(cos%_sinq)2+(sin%—cos%_sin26»“，

2

sin23n=sin[W+g(“-1)]=cos^-^-(H-1)^=l-2sin]?(〃一1)],

则因Q|=2sind"?),因为函数,=sin(殳〃-工)的周期为2兀X9=6,

3333兀

所以函数y=2sin(：〃—号的周期为3,因为出。1|=0,|鸟。2|=6,区。3|=百，

2023

所以Z由q=674（由0+IRQ|+区QI）+674X2近+0=13486，

Z=1

故D错误；

故选：AB

12.已知正方体ABC。—A4G2的棱长为2,M为空间中任一点，则下列结论中正确的是（）

7171

A.若M为线段AC上任一点，则。/与瓦G所成角的范围为

B.若M为正方形AD24的中心，则三棱雉Af—A3。外接球的体积为8兀

C.若加在正方形。CC1A内部，且|MB|=痛，则点M轨迹的长度为交兀

2

471

D.若三棱雉"-3DG的体积为一，/〃℃=—恒成立，点用轨迹的为椭圆的一部分

36

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A：根据异面直线夹角分析判断；对于B：根据题意分析可得AC与的交点。即为三棱锥

4-A3D的外接球的球心，结合锥体的体积公式分析运算；对于C：分析可得“。=虚，结合圆的周长

分析运算；对于D：根据题意结合圆锥的截面分析判断.

【详解】对于A：过点、M作MNHBC交DC于点、N,连接

则ND[MN即为DXM与所成角的平面角，且MN"N.

当点M由点A向点C移动的过程中，点N由点D向点C移动,

线段2N逐渐变长，逐渐变短，

DN

所以tan4D[MN=逐渐变大.

MN

ITTT

又当点M在点A处时，加押=工；当点加在点。处时，ADXMN=~.故A正确.

对于B：由题意可知：A3/平面AD2A，。同,闻0<=平面4。24,

则AB_LDW,AB，AM,

又因为AMLDW,ABAM=A,4民闻0<=平面48",

所以DM1平面ABM,

BMu平面MM,则。

故AMAD和△A3。均为直角三角形.

所以AC与6D的交点。即为三棱锥M-ABD的外接球的球心，半径R=-BD=41,

2

此外接球的体积丫=3兀•（亚了=手7r.故B不正确.

对于C：由题意可知：CMu平面。CG2，

则

点M在侧面DCG2内，满足MC=1MB2—BC?=拒，

故点M的轨迹是以点C为圆心，半径为夜的四分之一圆弧，

所以点知的轨迹的长度为;・2兀•（鱼）=#兀，c正确.

对于D：设三棱锥”―5DC的高为〃，

由三棱锥”―的体积为工丸x^x2jlx2拒x走=±，解得/7=m,

32233

即点M到平面BDC1的距离为28.

3

对于三棱锥C-3DC1，设高为4,

由体积可得g4xx2A/2x2A/2x=^-x2x-^-x2x2,解得九=~^~

即点C到平面BDC］的距离为正,

3

可得：点4到平面MRC的距离为2叵，平面与与平面5。。］的距离为2回,

33

故点M在平面BRC或为点C,

TT

若NMD1C=7,空间点M的轨迹为以为轴的圆锥表侧面，

显然点C不满足题意，

4百_

设2c与平面耳2c所成的角为。，则.A3瓜1，

sin8==——>—

2V232

故平面用2c与圆锥侧面相交，且平面与2。与不垂直，故平面与圆锥的截面为椭圆,

显然点2不合题意，所以点M的轨迹为椭圆的一部分，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】方法定睛：在立体几何中，某些点、线、面按照一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间

轨迹与探求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化.对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，

注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题.对每一道轨迹命题必

须特别注意轨迹的纯粹性与完备性.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知抛物线C:/=6x的焦点为b，点M（羽y）（y>0）为曲线C上一点，若|MF|=g,则点M的

坐标为.

【答案】（1，遥）

【解析】

【分析】利用条件和抛物线的定义即可得到结果.

【详解】因为抛物线C:/=6x,所以2=3,又

所以由抛物线定义知|MP|=X+K=%+—=—,得到x=l,

11222

又由_/=6,y〉0,得到y=#,

所以点M的坐标为（1,C），

故答案为：（1,76）.

14.已知aeR,函数/（x）=3）,X〉2,3）=2,贝ija=______.

V+a,x<2'\"

【答案】-1

【解析】

【分析】根据自变量的大小带入相应解析式列方程可解.

【详解】因为逐〉2,所以/（百）=log2（5—3）=1W2,

所以/（/（逐））=AD=3+a=2,解得。=一1.

故答案为：-1

15.在排球比赛的小组循环赛中，每场比赛采用五局三胜制.甲、乙两队小组赛中相见，积分规则如下：

以3:0或3:1获胜的球队积3分，落败的球队积。分；以3:2获胜的球队积2分，落败的球队积1分.若

甲队每局比赛获胜的概率为0.6,则在甲队本场比赛所得积分为3分的条件下，甲队前2局比赛都获胜的概

率是.（用分数表示）

7

【答案】—

11

【解析】

【分析】设“甲队本场比赛所得积分为3分”为事件A,“甲队前2局比赛都获胜”为事件5,分甲队以

3:0或3:1获胜，求得尸（A）,P（AB）,再由条件概率公式求解即可.

【详解】甲队以3:0获胜，即三局都是甲胜，概率是[9]=—,

甲队以3:1获胜，即前三局有两局甲胜，第四局甲胜，概率是=这，

设“甲队本场比赛所得积分为3分”为事件A,“甲队前2局比赛都获胜”为事件8,

甲队以3:1获胜，即前2局都是甲胜，第4局甲胜，概率是

55625

271622754189

则P(A)=---1-------1----

125625HI，0（期二125625625

则在甲队本场比赛所得积分为3分的条件下,

189

甲队前2局比赛都获胜的概率P（B|A）=,北=297=^7=H,

625

7

故答案为：—.

16.已知向量6不共线，夹角为8,且「|=2,忖=1,卜+2囚+卜—九0=4近，若

延<几<2亚，则Icos81的最小值为.

3

【答案】显

2

【解析】

【分析】依题意作出如下图形，令FQ=a,月4=无?，根据平面向量线性运算法则及椭圆的定义得到点

P的轨迹，求出其轨迹方程，由彳的取值范围，得到|OP|=羊时，|cosq的值最小，此时点尸的坐标为

,再代入椭圆方程计算可得.

【详解】如图耳。24及。8PA为平行四边形，耳（一2,0）,7^（2,0）,

令Fq=a,F^Ab,则耳P=a+4b,F2P=OA=-^a-Ab）,

因为卜+叫+卜_叫=40,即归耳|+|P闾=40,

由椭圆的定义可知点尸的轨迹是以耳（一2,0）,耳（2,0）为焦点的椭圆其中口=20、c=2,

22

所以其轨迹方程为三+—=1,

84

因为容A<242,所以当4A/3,即|。耳=乎时，|cos6|的值最小,

3

此时点尸的坐标为cos0,—sin

3

7

才22

将点。的坐标代人椭圆L+y1得

8Tb__Lb__Ll

84

6

解得|cose|=.

故答案为：叵

2

【点睛】关键点睛：本题解答的关键是结合平面向量线性运算法则及椭圆的定义将问题转化，再结合同角三

角函数的基本关系计算..

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

4•4•|r\兀

17.己知函数/(x)=cosx-sinx+sin2x——

I6

,JT

(1)求函数/(x)在0,-上的单调递增区间；

(2)将函数/*)的图象向左平移。个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)的图象关

于点成中心对称，在-：,夕上的值域为-g,l,求々的取值范围.

71

【答案】(1)0,-

o

715兀

(2)—,—

\_1212]

【解析】

【分析】(1)先化简〃幻，根据正弦函数的周期性即可得出答案；

(2)根据三角函数图象的平移变换和对称性求出9、g(x),再由三角函数的性质求解即可.

【小问1详解】

f(%)=cosx—sinx+sin|2x~j=―cos2xH-----sin2%—sin\2xH—

I6；22I6

因为xe0,g,所以2x+/e

_2」666

TT

所以当2x+?e,即:xe0,-时，函数/(九)单调递增.

oo26

71

所以函数八幻的单调递增区间为0,-

o

【小问2详解】

由题意可知：g(x)=sin[^2x+2^+^

因为函数g(x)的图象关于点,o]成中心对称.

JTJTSJTk

所以2X—+2°+—=E,Z：£Z.解得：(p=----\--Ti.keZ.

36122

jrjr

因为O<0<一,所以左=1,夕=—.所以g(x)=sin

412

兀71717tIT]

当工£一~1a时，2x+—e——.'la+—.因为gCr)在7,a上的值域为一大」

436342

jrjr7冗jrSjrjr5兀

所以彳＜2。+彳＜^.解得：•所以夕的取值范围为—.

2361212L1212J

18.已知数列｛。,｝的前〃项和为S",a“_]+a“+i=2%("22,〃eN*),且q=1,S5=15.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

7〃为奇数()

⑵若a=为俾将，求数列也｝的前2〃项和

2%,〃为偶数

【答案】(1)an=n

r\2n+\?

2

⑵T2n=n+-——

-3

【解析】

【分析】(1)根据等差数列的基本量计算即可求解，

(2)由分组求和，结合等差等比数列的求和公式即可求解.

【小问1详解】

由4-1+a“+i=2a”(n＞2),得an+l-an=an-a,T(n,2)

所以数列｛4｝为等差数列.所以S5=5X%^=5%=15,得％=3.

所以公差〃=发二幺=1.所以。“=”.

3-1

【小问2详解】

当〃为奇数时，b“=a“=n.当”为偶数时用=2如=2力.

所以心"=(4+2++^2«-1)+(^2+^4++处)=(1+3++2〃-1)+(2+23+.+22"T)

3

19.某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测

(检测分为初试和复试)，并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示.

频率

0.030

0.024

0.020

0.012

0.010

0.004

O-35455565758595

(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；

(2)若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N(〃,b2),其中〃为样本平均数的估计值，

a-14.初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；

(3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖;答对两道题获得二等奖;答对一道题获得三等奖;全部答错

不获奖.已知某学生进人了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为第三道题答对的概率为6.若

他获得一等奖的概率为:，设他获得二等奖的概率为尸，求尸的最小值.

附：若随机变是X服从正态分布N(〃,b2),则P(A—(r<X<〃+b)a0.6827,

「(A-2cr<X<〃+2cr)a0.9545,P(〃—3cr<X<〃+3cr)a0.9973.

【答案】(1)62(2)182

【解析】

【分析】(1)由频率直方图平均数的计算公式求解即可；

(2)由分析知〃=62,(7土14,则〃+2(729。，由3o■原则求解即可；

13

(3)由题意可得出P=/+--------,对求导P,得到函数的单调性和最值，即可求出答案.

4a8

【小问1详解】

设样本平均数的估计值为了

贝ij元=10(40x0.01+50x0.02+60x0.03+70x0.024+80x0.012+90x0.004).

解得:元=62.所以样本平均数的估计值为62.

【小问2详解】

因为学生的初试成绩X近似