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文档简介
2024届浙江省杭州市富阳区中考二模数学试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.下列计算正确的是()A.3a﹣2a=1 B.a2+a5=a7 C.(ab)3=ab3 D.a2•a4=a62.如图,△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,D、E分别是AC、AB的中点,则以DE为直径的圆与BC的位置关系是()A.相切 B.相交 C.相离 D.无法确定3.比较4,,的大小,正确的是()A.4<< B.4<<C.<4< D.<<44.某市2010年元旦这天的最高气温是8℃,最低气温是﹣2℃,则这天的最高气温比最低气温高()A.10℃ B.﹣10℃ C.6℃ D.﹣6℃5.已知⊙O的半径为13,弦AB∥CD,AB=24,CD=10,则四边形ACDB的面积是()A.119 B.289 C.77或119 D.119或2896.已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴相交于A、B两点,其顶点为P,若S△APB=1,则b与c满足的关系是()A.b2-4c+1=0 B.b2-4c-1=0 C.b2-4c+4=0 D.b2-4c-4=07.如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,△AOB的三个顶点都在格点上,现将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到对应的△COD,则点A经过的路径弧AC的长为()A. B.π C.2π D.3π8.图1是边长为1的六个小正方形组成的图形,它可以围成图2的正方体,则图1中正方形顶点A,B在围成的正方体中的距离是()A.0 B.1 C. D.9.某公司第4月份投入1000万元科研经费,计划6月份投入科研经费比4月多500万元.设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x,则所列方程正确的为()A.1000(1+x)2=1000+500B.1000(1+x)2=500C.500(1+x)2=1000D.1000(1+2x)=1000+50010.若点A(a,b),B(,c)都在反比例函数y=的图象上,且﹣1<c<0,则一次函数y=(b﹣c)x+ac的大致图象是()A. B.C. D.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球.每次摇匀后随机摸出一个球,记下颜色后再放回袋中,通过大量重复摸球试验后,发现摸到红球的频率稳定于0.4,由此可估计袋中约有红球_____个.12.内接于圆,设,圆的半径为,则所对的劣弧长为_____(用含的代数式表示).13.如图,直线a、b相交于点O,若∠1=30°,则∠2=___14.某校为了解本校九年级学生足球训练情况,随机抽查该年级若干名学生进行测试,然后把测试结果分为4个等级:A、B、C、D,并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图.该年级共有700人,估计该年级足球测试成绩为D等的人数为_____人.15.如图,四边形ABCD中,∠D=∠B=90°,AB=BC,CD=4,AC=8,设Q、R分别是AB、AD上的动点,则△CQR的周长的最小值为_________.16.一个扇形的弧长是,它的面积是,这个扇形的圆心角度数是_____.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)如图,直线与双曲线相交于、两点.(1),点坐标为.(2)在轴上找一点,在轴上找一点,使的值最小,求出点两点坐标18.(8分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC,垂足为D,E为BC边上一动点(不与B、C重合),AE、BD交于点F.(1)当AE平分∠BAC时,求证:∠BEF=∠BFE;(2)当E运动到BC中点时,若BE=2,BD=2.4,AC=5,求AB的长.19.(8分)东东玩具商店用500元购进一批悠悠球,很受中小学生欢迎,悠悠球很快售完,接着又用900元购进第二批这种悠悠球,所购数量是第一批数量的1.5倍,但每套进价多了5元.求第一批悠悠球每套的进价是多少元;如果这两批悠悠球每套售价相同,且全部售完后总利润不低于25%,那么每套悠悠球的售价至少是多少元?20.(8分)2018年4月份,郑州市教育局针对郑州市中小学参与课外辅导进行调查,根据学生参与课外辅导科目的数量,分成了:1科、2科、3科和4科,以下简记为:1、2、3、4,并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图(未完成),请结合图中所给信息解答下列问题:(1)本次被调查的学员共有人;在被调查者中参加“3科”课外辅导的有人.(2)将条形统计图补充完整;(3)已知郑州市中小学约有24万人,那么请你估计一下参与辅导科目不多于2科的学生大约有多少人.21.(8分)问题提出(1).如图1,在四边形ABCD中,AB=BC,AD=CD=3,∠BAD=∠BCD=90°,∠ADC=60°,则四边形ABCD的面积为_;问题探究(2).如图2,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,∠ABC=135°,AB=22,BC=3,在AD、CD上分别找一点E、F,使得△BEF的周长最小,作出图像即可.22.(10分)为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就,某校九年级进行了一次数学知识竞赛,并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项:“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”和“杨辉奖”,根据获奖情况绘制成如图1和图2所示的条形统计图和扇形统计图,并得到了获“祖冲之奖”的学生成绩统计表:“祖冲之奖”的学生成绩统计表:分数/分80859095人数/人42104根据图表中的信息,解答下列问题:(1)这次获得“刘徽奖”的人数是_____,并将条形统计图补充完整;(2)获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是_____分,众数是_____分;(3)在这次数学知识竟赛中有这样一道题:一个不透明的盒子里有完全相同的三个小球,球上分别标有数字“﹣2”,“﹣1”和“2”,随机摸出一个小球,把小球上的数字记为x放回后再随机摸出一个小球,把小球上的数字记为y,把x作为横坐标,把y作为纵坐标,记作点(x,y).用列表法或树状图法求这个点在第二象限的概率.23.(12分)有4张正面分别标有数字﹣1,2,﹣3,4的不透明卡片,它们除数字外其余全部相同,现将它们背面朝上,洗匀后从4张卡片中随机摸出一张不放回,将该卡片上的数字记为m,在随机抽取1张,将卡片的数字即为n.(1)请用列表或树状图的方式把(m,n)所有的结果表示出来.(2)求选出的(m,n)在二、四象限的概率.24.已知:如图,∠ABC,射线BC上一点D,求作:等腰△PBD,使线段BD为等腰△PBD的底边,点P在∠ABC内部,且点P到∠ABC两边的距离相等.
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、D【解析】
根据合并同类项法则、积的乘方及同底数幂的乘法的运算法则依次计算后即可解答.【详解】∵3a﹣2a=a,∴选项A不正确;∵a2+a5≠a7,∴选项B不正确;∵(ab)3=a3b3,∴选项C不正确;∵a2•a4=a6,∴选项D正确.故选D.【点睛】本题考查了合并同类项法则、积的乘方及同底数幂的乘法的运算法则,熟练运用法则是解决问题的关键.2、B【解析】
首先过点A作AM⊥BC,根据三角形面积求出AM的长,得出直线BC与DE的距离,进而得出直线与圆的位置关系.【详解】解:过点A作AM⊥BC于点M,交DE于点N,∴AM×BC=AC×AB,∴AM===2.1.∵D、E分别是AC、AB的中点,∴DE∥BC,DE=BC=2.5,∴AN=MN=AM,∴MN=1.2.∵以DE为直径的圆半径为1.25,∴r=1.25>1.2,∴以DE为直径的圆与BC的位置关系是:相交.故选B.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系,利用中位线定理得出BC到圆心的距离与半径的大小关系是解题的关键.3、C【解析】
根据4=<且4=>进行比较【详解】解:易得:4=<且4=>,所以<4<故选C.【点睛】本题主要考查开平方开立方运算。4、A【解析】
用最高气温减去最低气温,再根据有理数的减法运算法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”即可求得答案.【详解】8-(-2)=8+2=10℃.即这天的最高气温比最低气温高10℃.故选A.5、D【解析】
分两种情况进行讨论:①弦AB和CD在圆心同侧;②弦AB和CD在圆心异侧;作出半径和弦心距,利用勾股定理和垂径定理,然后按梯形面积的求解即可.【详解】解:①当弦AB和CD在圆心同侧时,如图1,∵AB=24cm,CD=10cm,∴AE=12cm,CF=5cm,∴OA=OC=13cm,∴EO=5cm,OF=12cm,∴EF=12-5=7cm;∴四边形ACDB的面积②当弦AB和CD在圆心异侧时,如图2,∵AB=24cm,CD=10cm,∴.AE=12cm,CF=5cm,∵OA=OC=13cm,∴EO=5cm,OF=12cm,∴EF=OF+OE=17cm.∴四边形ACDB的面积∴四边形ACDB的面积为119或289.故选:D.【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用.此题难度适中,解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用,小心别漏解.6、D【解析】
抛物线的顶点坐标为P(−,),设A、B两点的坐标为A(,0)、B(,0)则AB=,根据根与系数的关系把AB的长度用b、c表示,而S△APB=1,然后根据三角形的面积公式就可以建立关于b、c的等式.【详解】解:∵,∴AB==,∵若S△APB=1∴S△APB=×AB×=1,∴−××,∴,设=s,则,故s=2,∴=2,∴.故选D.【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点情况与判别式的关系、抛物线顶点坐标公式、三角形的面积公式等知识,综合性比较强.7、A【解析】
根据旋转的性质和弧长公式解答即可.【详解】解:∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到对应的△COD,∴∠AOC=90°,∵OC=3,∴点A经过的路径弧AC的长==,故选:A.【点睛】此题考查弧长计算,关键是根据旋转的性质和弧长公式解答.8、C【解析】试题分析:本题考查了勾股定理、展开图折叠成几何体、正方形的性质;熟练掌握正方形的性质和勾股定理,并能进行推理计算是解决问题的关键.由正方形的性质和勾股定理求出AB的长,即可得出结果.解:连接AB,如图所示:根据题意得:∠ACB=90°,由勾股定理得:AB==;故选C.考点:1.勾股定理;2.展开图折叠成几何体.9、A【解析】
设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x,5月份投放科研经费为1000(1+x),6月份投放科研经费为1000(1+x)(1+x),即可得答案.【详解】设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x,则6月份投放科研经费1000(1+x)2=1000+500,故选A.【点睛】考查一元二次方程的应用,求平均变化率的方法为:若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.10、D【解析】
将,代入,得,,然后分析与的正负,即可得到的大致图象.【详解】将,代入,得,,即,.∴.∵,∴,∴.即与异号.∴.又∵,故选D.【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征,一次函数的图像与性质,得出与的正负是解答本题的关键.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、8【解析】试题分析:设红球有x个,根据概率公式可得,解得:x=8.考点:概率.12、或【解析】
分0°<x°≤90°、90°<x°≤180°两种情况,根据圆周角定理求出∠DOC,根据弧长公式计算即可.【详解】解:当0°<x°≤90°时,如图所示:连接OC,
由圆周角定理得,∠BOC=2∠A=2x°,
∴∠DOC=180°-2x°,
∴∠OBC所对的劣弧长=,
当90°<x°≤180°时,同理可得,∠OBC所对的劣弧长=.
故答案为:或.【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、弧长的计算,掌握弧长公式、圆周角定理是解题的关键.13、30°【解析】因∠1和∠2是邻补角,且∠1=30°,由邻补角的定义可得∠2=180°﹣∠1=180°﹣30°=150°.解:∵∠1+∠2=180°,又∠1=30°,∴∠2=150°.14、1【解析】试题解析:∵总人数为14÷28%=50(人),∴该年级足球测试成绩为D等的人数为(人).故答案为:1.15、【解析】
作C关于AB的对称点G,关于AD的对称点F,可得三角形CQR的周长=CQ+QR+CR=GQ+QR+RF≥GF.根据圆周角定理可得∠CDB=∠CAB=45°,∠CBD=∠CAD=30°,由于GF=2BD,在三角形CBD中,作CH⊥BD于H,可求BD的长,从而求出△CQR的周长的最小值.【详解】解:作C关于AB的对称点G,关于AD的对称点F,则三角形CQR的周长=CQ+QR+CR=GQ+QR+RF=GF,在Rt△ADC中,∵sin∠DAC=,∴∠DAC=30°,∵BA=BC,∠ABC=90°,∴∠BAC=∠BCA=45°,∵∠ADC=∠ABC=90°,∴A,B,C,D四点共圆,∴∠CDB=∠CAB=45°,∠CBD=∠CAD=30°在三角形CBD中,作CH⊥BD于H,BD=DH+BH=4×cos45°+×cos30°=,∵CD=DF,CB=BG,∴GF=2BD=,△CQR的周长的最小值为.【点睛】本题考查了轴对称问题,关键是根据轴对称的性质和两点之间线段最短解答.16、120°【解析】
设扇形的半径为r,圆心角为n°.利用扇形面积公式求出r,再利用弧长公式求出圆心角即可.【详解】设扇形的半径为r,圆心角为n°.由题意:,∴r=4,∴∴n=120,故答案为120°【点睛】本题考查扇形的面积的计算,弧长公式等知识,解题的关键是掌握基本知识.三、解答题(共8题,共72分)17、(1),;(1),.【解析】
(1)由点A在一次函数图象上,将A(-1,a)代入y=x+4,求出a的值,得到点A的坐标,再由点A的坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式,联立两函数解析式成方程组,解方程组即可求出点B坐标;
(1)作点A关于y轴的对称点A′,作点B作关于x轴的对称点B′,连接A′B′,交x轴于点P,交y轴于点Q,连接PB、QA.利用待定系数法求出直线A′B′的解析式,进而求出P、Q两点坐标.【详解】解:(1)把点A(-1,a)代入一次函数y=x+4,
得:a=-1+4,解得:a=3,
∴点A的坐标为(-1,3).
把点A(-1,3)代入反比例函数y=,
得:k=-3,
∴反比例函数的表达式y=-.
联立两个函数关系式成方程组得:解得:或∴点B的坐标为(-3,1).
故答案为3,(-3,1);(1)作点A关于y轴的对称点A′,作点B作关于x轴的对称点B′,连接A′B′,交x轴于点P,交y轴于点Q,连接PB、QA,如图所示.
∵点B、B′关于x轴对称,点B的坐标为(-3,1),
∴点B′的坐标为(-3,-1),PB=PB′,
∵点A、A′关于y轴对称,点A的坐标为(-1,3),
∴点A′的坐标为(1,3),QA=QA′,
∴BP+PQ+QA=B′P+PQ+QA′=A′B′,值最小.
设直线A′B′的解析式为y=mx+n,
把A′,B′两点代入得:解得:∴直线A′B′的解析式为y=x+1.
令y=0,则x+1=0,解得:x=-1,点P的坐标为(-1,0),
令x=0,则y=1,点Q的坐标为(0,1).【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、轴对称中的最短线路问题,解题的关键是:(1)联立两函数解析式成方程组,解方程组求出交点坐标;(1)根据轴对称的性质找出点P、Q的位置.本题属于基础题,难度适中,解决该题型题目时,联立解析式成方程组,解方程组求出交点坐标是关键.18、(1)证明见解析;(1)2【解析】分析:(1)根据角平分线的定义可得∠1=∠1,再根据等角的余角相等求出∠BEF=∠AFD,然后根据对顶角相等可得∠BFE=∠AFD,等量代换即可得解;(1)根据中点定义求出BC,利用勾股定理列式求出AB即可.详解:(1)如图,∵AE平分∠BAC,∴∠1=∠1.∵BD⊥AC,∠ABC=90°,∴∠1+∠BEF=∠1+∠AFD=90°,∴∠BEF=∠AFD.∵∠BFE=∠AFD(对顶角相等),∴∠BEF=∠BFE;(1)∵BE=1,∴BC=4,由勾股定理得:AB===2.点睛:本题考查了直角三角形的性质,勾股定理的应用,等角的余角相等的性质,熟记各性质并准确识图是解题的关键.19、(1)第一批悠悠球每套的进价是25元;(2)每套悠悠球的售价至少是1元.【解析】分析:(1)设第一批悠悠球每套的进价是x元,则第二批悠悠球每套的进价是(x+5)元,根据数量=总价÷单价结合第二批购进数量是第一批数量的1.5倍,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论;(2)设每套悠悠球的售价为y元,根据销售收入-成本=利润结合全部售完后总利润不低于25%,即可得出关于y的一元一次不等式,解之取其中的最小值即可得出结论.详解:(1)设第一批悠悠球每套的进价是x元,则第二批悠悠球每套的进价是(x+5)元,根据题意得:,解得:x=25,经检验,x=25是原分式方程的解.答:第一批悠悠球每套的进价是25元.(2)设每套悠悠球的售价为y元,根据题意得:500÷25×(1+1.5)y-500-900≥(500+900)×25%,解得:y≥1.答:每套悠悠球的售价至少是1元.点睛:本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.20、(1)50,10;(2)见解析.(3)16.8万【解析】
(1)结合条形统计图和扇形统计图中的参加“3科”课外辅导人数及百分比,求得总人数为50人;再由总人数减去参加“1科”,“2科”,“4科”课外辅导人数即可求出答案.(2)由(1)知在被调查者中参加“3科”课外辅导的有10人,由扇形统计图可知参加“4科”课外辅导人数占比为10%,故参加“4科”课外辅导人数的有5人.(3)因为参加“1科”和“2科”课外辅导人数占比为,所以全市参与辅导科目不多于2科的人数为24×=16.8(万).【详解】解:(1)本次被调查的学员共有:15÷30%=50(人),在被调查者中参加“3科”课外辅导的有:50﹣15﹣20﹣50×10%=10(人),故答案为50,10;(2)由(1)知在被调查者中参加“3科”课外辅导的有10人,在被调查者中参加“4科”课外辅导的有:50×10%=5(人),补全的条形统计图如右图所示;(3)24×=16.8(万),答:参与辅导科目不多于2科的学生大约有16.8人.【点睛】本题考察了条形统计图和扇形统计图,关键在于将两者结合起来解题.21、(1)3,(2)见解析【解析】
(1)易证△ABD≌△CBD,再利用含30°的直角三角形求出AB、BD的长,即可求出面积.(2)作点B关于AD的对称点B’,点B关于CD的对应点B’’,连接B’B’’,与AD、CD交于EF,△AEF即为所求.【详解】(1)∵AB=BC,AD=CD=3,∠BAD=∠BCD=90°,∴△ABD≌△CBD(HL)∴∠ADB=∠CDB=∠ADC=30°,∴AB=∴S△ABD==∴四边形ABCD的面积为2S△ABD=(2)作点B关于AD的对称点B’,点B关于CD的对应点B’’,连接B’B’’,与AD、CD交于EF,△BEF的周长为BE+EF+BF=B’E+EF+B’’F=B’B’’为最短.故此时△BEF的周长最小.【点睛】此题主要考查含30°的直角三角形与对称性的应用,解题的关键是根据题意作出相应的图形进行求解.22、(1)刘徽奖的人数为人,补全统计图见解析;(2)获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是90分,众数是90分;(3)(点在第二象限).【解析】
(1)先根据祖冲之奖的人数及其百分比求得总人数,再根据扇形图求出赵爽奖、杨辉奖的人数,继而根据各奖项的人数之和等于总人数求得刘徽奖的人数,据此可得;(2)根据中位数和众数的定义求解可得;(3)列表得出所有等可能结果,再找到这个点在第二象限的结果,根据概率公式求解可得.【详解】(1)∵获奖的学生人数为20÷10%=200人,∴赵爽奖的人数为200×24%=48人,杨辉奖的人数为200×46%=92人,则刘徽奖的人数为200﹣(20+48+92)=40,补全
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