第4章向量空间课件

第四章向量空间4.1向量及其线性组合

4.2向量组的线性相关性

4.3向量组的秩

4.4矩阵的秩

4.5向量空间

4.6线性方程组解的结构

4.1向量空间引例:几何中的向量

把有方向的线段叫做向量向量由一个三元数组唯一确定。向量的加法(平行四边形法则)向量的数乘

建立坐标系的目的就是把向量的运算转化为数(坐标)的运算.推广：我们把三维中的向量推广到n维，得到n维空间中的向量定义n个数组成的有序数组或称为一个n维行向量或n维列向量，其中称为该向量的第i个分量。行向量和列向量统称为向量。

分量全为实数(复数)的向量称为实(复)向量，n维实(复)向量的全体记为无特殊说明，以后所指向量都为实列向量例4.1.1

称单位矩阵的列向量为标准坐标向量。设利用标准坐标向量运算往往非常方便，见下例例4.1.2设证明证把按列分块为则定义若干同维数的列向量(或行向量)所组成的集合叫做向量组例如:m×n

的矩阵A全体列向量是含n

个m维列向量的向量组,称为A的列向量组;全体行向量是含m个n维的行向量组,为A的行向量组.列向量组行向量组向量的线性运算

向量是矩阵的特例，规定向量的相等、加、减、数乘运算按矩阵的相应运算。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。在Rn中的向量满足以下8条规律：其中

都是n维向量，k、l为实数。对于向量组

,表达式又称向量

可由向量组

A线性表示.通常写成向量的线性表示为A的一个线性组合，为其组合系数。如果

是

的一个线性组合，即存在

使得例4.1.3有所以，称是的线性组合，或可以由线性表示。1°零向量可由任一组向量线性表示。中每个向量都可由向量组本身2°向量组线性表示，注意3°任一n元向量都可由n元单位向量组线性表示，即想一想

n元线性方程组

可以用向量形式表示为a11x1a21x1am1x1a12x2a22x2am2x2a1nxna2nxnamnxnb1b2bm====++++++++++++(1)其中对应齐次方程组可用向量形式表示为

,,…，，

线性方程组的向量表示向量可由向量组线性表示存在数使即有解学会这种转换就可以了!注意:符号混用另外,如果解唯一,则表示方法是唯一的.如果

……(按定义)(转换为方程组)方程组定理4.1.1例4.1.4解设，且表示方法有无穷多种。方程组与矩阵B相对应的同解方程组为则当c=1时，当c=-2时，解记不能由A线性表示;能由A唯一表示;能由A有无穷多种表示,并求所有表示方法.设向量组A:问为何值时,向量只需讨论解的情况.具体解方程组过程略。时,方程组无解,不能由A表示.时,方程组有唯一解,可由A唯一表示.例4.1.5时,方程组有无穷多解,可由A无穷多种表示.通解为所有表示方法:其中k为任意实数.即定义如果向量组中的每一个向量都可以被向量组线性表示，即存在常数则称向量组可由向量组线性表示。如果两个向量组可以相互线性表示，则称这两个向量组等价。记作利用矩阵的分块乘法(2)又可以写成如下矩阵乘法形式(2)记则矩阵B的列向量组可以由矩阵A的列向量组线性表示就是存在矩阵C使得B=AC。由此我们得到下面的结论定理4.1.1矩阵B的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示的充要条件是矩阵方程AX=B有解。矩阵B的行向量组可由矩阵A的行向量组线性表示的充要条件是矩阵方程XA=B有解。定理4.1.2

行等价矩阵的行向量组等价证：设A与B行等价矩阵，即，也就是存在可逆矩阵P使得B=PA，从而，由定理4.1.1可知，B的行向量组可由A的行向量组线性表示，A的行向量组可以由B的行向量组线性表示，所以A和B的行向量组等价。例4.1.7矩阵A用初等表换化成最简阶梯矩阵B如下记A的行向量组为

B的非零行向量组为则向量组与行向量组等价，即列向量组与列向量组等价4.2向量组的线性相关性引例4.2.1看看三维空间中的向量(如图)三个向量共面三个向量无法相互线性表示，三个向量异面引例4.2.2考察线性方程组(4.2.1)上面4个方程有如下关系：这说明方程组中第③和第④个方程是多余的,可以去掉.

即方程组与下面方程组是同解的。考察原方程组中增广矩阵的行向量组(4.2.2)知即可以由线性表示。例1如果能否找到一组不全为零的数定义4.2.1如果存在不全为零的数使得则称该向量组线性相关.否则,如果设只能推出则称该向量组线性无关.线性相关无关的判别定理4.2.1下面三个命题等价(3)齐次线性方程组有非零解推论4.2.1

下面三个命题等价

(1)向量组线性无关；

(2)如果有一组数使得则必有

(3)齐次线性方程组线性相关无关的判别

只有零解例4.2.1判断向量组的线性相关性。解设记把A用初等行变换变为阶梯形得知方程只有零解，所以原向量组线性无关。注由于A是方阵，也可以由|A|=-6得知方程组只有零解设n阶方阵，由上述定理可知，A是可逆矩阵的充要条件是方程组只有零解由此我们得到下面的定理定理4.2.2设A是n阶方阵，则下面的三个命题等价(1)A为可逆矩阵(2)A的列向量组线性无关(3)A的行向量组线性无关例4.2.2.

若向量组的一个子集线性相关，则向量组必线性相关。若向量组线性无关，则该向量组的任何一个子集必线性无关。证不妨设向量组的一个子集线性相关，即存在一组不全为零的数使得从而所以

线性相关。部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关例4.2.3

设是由n个m维的向量构成的向量组若则该向量组线性相关。证记矩阵线性方程组从而必然线性相关。例如矩阵它的列向量组必然线性相关个数大于维数的向量组必然相关例4.2.4

设向量组线性无关，则向量组也线性无关(其中*取任意数)证因为线性无关,所以方程组只有零解，从而方程组也只有零解，因此线性无关。短的无关,则长的无关；长的相关,则短的相关.

定理4.2.3(唯一表示定理)设向量组线性无关向量组线性相关，则向量可由向量组线性表示，且表示方式唯一。证由于向量组线性相关，故存在不全零的数使得必然有否则，若则由于线性无关，必有这与不全为零矛盾，因此则所以向量可由向量组线性表示。唯一性假设向量由向量组的表示有两种移项由于线性无关，所以唯一性得证这一结论可以等价的表示为：方程组有唯一解。推论4.2.2设，且线性无关则中的任一向量都可以由向量组唯一表示。4.3向量组的秩

对于给定的向量组(可以含无穷多向量),如何把握向量之间的线性关系?(即哪些向量可由另外一些向量线性表示)，它们的本质不变量是什么？引例4.3.1考察线性方程组其增广矩阵为记其行向量分别为则说明方程组中把第③和第④个方程去掉只保留第①和第②个方程仍是等价的.即又容易验证又说明把方程组中第②和第④个方程去掉只保留第①和第③个方程仍是等价的.即一般地,我们提出如下非常有意义的问题：对于给定的一个向量组,找出的一个子集,满足下面两个条件：（1）中所有向量都可由线性表示；（2）所含向量个数尽可能地少.

条件（1）就是要求与等价.条件（2）就是要求线性无关.这是因为,如果线性相关,则中至少还有一个向量可由中其余向量线性表示.因此,我们给出下面极大无关组和向量组秩的概念.定义4.3.1设V是一个向量组,如果中有r个向量满足(1)线性无关

(2)V中的任一个向量都可以被线性表示。则称向量组是向量组V的一个极大线性无关组，极大线性无关组含有向量的个数r为向量组V的秩，记做或者只含零向量的向量组没有极大无关组,规定其秩为零.注1.含有非零向量的向量组总存在极大线性无关组

2.极大线性无关组不唯一,但是同一向量组的极大线性无关组所含向量的个数唯一，即向量组的秩唯一。

定理4.3.1

向量组线性无关的条件是等价的向量组

线性相关的条件是

问题：如何求向量组的秩和极大无关组定理4.3.2设即A与B行等价，则A的列向量组与B的列向量组有相同的线性关系，即方程组

与

同解。证：A与B是行等价矩阵，即，存在可逆矩阵P使得PA=B，从而(1)(2)设是(1)的解，即说明也是方程(2)的解。反之是(2)的解，即即u也是(1)的解，综上方程(1)(2)是同解方程思考：此定理的意义何在？例4.3.2求向量组的秩和一个极大无关组，并用此表示其他向量。解把向量按列排除矩阵，化成行最简形显然线性无关，且这说明是的一个极大无关组，其余向量可由线性表示。根据定理4.3.2,线性无关，并且说明是的一个极大无关组。并且其结果用矩阵表示为定理4.3.2(Steinitz定理)设向量可由向量组

线性表示，如果则

线性相关证向量由向量组线性表示，即存在矩阵使得因所以方程组有非零解从而即u是方程组的一个非零解，所以线性相关。例如：设不管向量组是否线性相关，向量组必线性相关

推论4.3.1等价的线性无关向量组所含的向量个数相同。

推论4.3.2

一个向量组的任意两个极大无关组所含向量个数相等.

推论4.3.3

设向量组的秩rankV=r,则中任意向量个数大于r的向量组都线性相关.推论4.3.4

设向量组V的秩rankV=r,则V中任意r个线性无关的向量都是V的极大无关组.

推论4.3.5设向量组可由向量组

线性表示，则

推论4.3.6等价的向量组有相同的秩。根据上面的定理及其推论易得到下面极大无关组的等价定义.定义4.3.2（极大无关组的等价定义）

设是一个向量组.如果

(1)V中有r个向量线性无关；

(2)V中任意r+1个向量(如果有的话)都线性相关则称向量组是向量组V的一个极大无关组。4.4矩阵的秩矩阵A的行向量组的秩称为A的行秩，列向量组的秩称为A的列秩问题：A的行秩A的列秩引理4.4.1

初等变化不改变矩阵的行秩与列秩。证首先证明初等行变换不改变矩阵的行秩与列秩，设则A与B的行向量组等价，因而他们有相同的行秩。并且他们的列秩有相同的线性关系，所以他们有相同的列秩。再证明初等列变换不改变矩阵的行秩和列秩。设从而因此列变换不改变矩阵的列秩和行秩。由于(行最简阶梯形矩阵)，A与U具有的行秩和列秩。设记U的列向量为则是U的一个极大无关组，并且其个数为U的非零行的行数；U的列秩=U的非零行的行数.

再记U的行向量为则只有零解，线性无关；又因为，所以是的极大线性无关组，即U的行秩=U的非零行的行数.由此得到下面的结论引理4.4.2最简阶梯行矩阵的行秩与列秩相等，其值等于其非零行的行数引理4.4.3任一矩阵的行秩与列秩相等，其值等于其最简形矩阵或者阶梯形矩阵的非零行的行数。

定义4.4.1称矩阵A的行秩(或列秩)为矩阵A的秩，记为rank(A)或者r(A),规定零矩阵的秩为0定理4.4.1

初等变换不改变矩阵的秩。矩阵的秩等于它对应最简阶梯形或者阶梯形矩阵的非零行的行数。推论4.4.1设P,Q都是可逆矩阵，则例4.4.1

设矩阵且,求t

解：由于必须即显然矩阵的秩有下面的性质定理4.4.2

设A是n阶方阵，则A可逆的充要条件是r(A)=n定义4.4.2

设A是n阶方阵，如果r(A)=n，称A为满秩矩阵可逆矩阵=满秩矩阵(方阵)定理4.4.3证明记则C的列向量被A的列向量线性表示

C的行向量被B的行向量线性表示故

由推论4.3.5，则例4.4.2

设若,证明

证：永远是奇异矩阵有可能是非奇异矩阵例4.4.3证明

证设为A的列向量组的极大无关组为B的列向量组的极大无关组。显然即又的任一列向量都可被线性表示从而。即由于(1)(2)(2)式可以类似证明推论4.4.1线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩满足

例4.4.3

设向量组线性无关，向量组可以由向量组线性表示为记矩阵证明：线性无关的充要条件是证记则由于则所以，线性无关只有零解只有零解矩阵的秩还可以用矩阵的子式来刻画.当A是阶方阵时,我们定理4.4.4矩阵A的秩r(A)=r的充要条件是A的一个r阶子式且所有的r+1阶子式(如果存在的话)都等于零。知道如果或A不是方阵，有如下结论

注

当A的所有r+1阶子式都等于零时，由行列式展开定理知，A的所有p(p>r+1)阶子式都等于零。定义4.4.3(矩阵秩的等价定义)称矩阵A的非零子式的最高阶数为矩阵A的秩。例4.4.4求下面矩阵A的秩解A的右上角的n-1阶子式如果x不是上面多项式的零点，则否则如果x是上面多项式的零点，则4.5向量空间集合对于加法及乘数两种运算封闭指设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合为向量空间．定义维向量的全体是一个向量空间,记作只含零向量的集合是一个向量空间(称为零空间)向量空间如果不是零空间必含有无穷多个向量证明下列集合是向量空间证所以构成了向量空间.例4.5.1证例2证明齐次方程组的解集是一个向量空间.以后称为齐次方程组的解空间.例3证明非齐次方程组的解集不是向量空间.证设,而S对加法运算不封闭.或S对数乘运算不封闭.是向量空间.例4证定义设是一向量组,称为由该向量组生成的(或张成的)向量空间.记为特别地,由矩阵A的列向量生成的向量空间称为A的列空间(或称像空间或称值域).记为R(A)例5设向量组与向量组等价,证明同理证向量空间的一个最大无关组,称为V

的一个基(或坐标系).基所含向量的个数r

又称为V

的维数.记为dim(V)=r.此时称V

是r

维的向量空间.设有向量空间及，若，就称是的子空间．设是由维向量所组成的向量空间，则定义定义如果规定设向量空间V

的一个基为,则对V

中的任一向量

可唯一地表示为定义数组或向量称为向量在基下的坐标.的一个基显然就是向量组的一个最大无关组，其维数就是该向量组的秩。例如：

中任意n个线性无关的向量都是的一组基特别的称为的自然基。例6.设向量组求向量空间的一组基，并求dimV解法1把向量按列排成矩阵用初等变换化成阶梯形知是向量组的一个极大无关组，也是V的一组基，从而dimV=2.解法2把向量按行排成矩阵A，把A用初等行变换化成阶梯形，则阶梯形矩阵U的非零行向量是与A的行向量组等价的线性无关组，也是V的一个基知是V的一组基，且定理4.5.1(基的扩张定理)设是的一组线性无关组，则存在n-m个向量使得为的一组基。例7

设其中分别求在基和基下的坐标解解线性方程组得故所以在基的坐标为同理得在基下的坐标定义4.5.6设r维向量空间的两个基和则可由线性表示则称矩阵为由基到基的过渡矩阵显然，过渡矩阵一定是可逆矩阵，这是因为设向量在基下坐标为在基下坐标为基到基的过渡矩阵为P，则(坐标变换公式)例8.设其中求由基到的过渡矩阵。

解把矩阵用初等行变换成最简阶梯形矩阵即4.6线性方程组的解的结构一、

线性方程组解的存在性定理二、

齐次线性方程组解的结构三、

非齐次线性方程组解的结构一、线性方程组解的存在性定理在前面的章节学习中，我们已经研究的关于线性方程组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时，深入研究解的性质和解的结构。(4-1)(矩阵形式)(向量形式)(原始形式)非齐次方程组解的存在性定理定理4.6.1对于非齐次方程组(4-1)推论4.6.1对于齐次方程组(1)A的列向量组线性无关(2)A的列向量组线性相关例1

设n(n≥2)阶方阵A是可逆矩阵，证明无解。例2对于非齐次方程组(1)证明:如果AX=b有唯一解，则AX=0仅有零解；(2)如果AX=0仅有零解，则AX=b一定有唯一解吗？二、齐次线性方程组解的结构(2)解集的秩是多少?(3)解集的最大无关组(又称为基础解系)

如何求?齐次方程组(假设有无穷多解)(1)解集的特点?性质1：若是(4-3)的解，解空间:的所有解向量的集合S，对加法和数乘都封闭，所以构成一个向量空间，称为这个齐次线性方程组的解空间。性质2：注：如果(4-3)只有零解，解空间是零空间。如果(4-3)有非零解，解空间是非零空间。性质而在解空间中，基的概念我们在这里称为基础解系。首先回答问题(1)通过下面的例子,针对一般的方程组例1回答所提问题.第一步:对系数矩阵A

初等行变换化行最简形B从行最简形能得到什么？第二步：写出同解的方程组(保留第一个未知数在方程的左边,其余的都移到右边.右边的又叫自由变量)自由变量的个数=?第三步:令自由变量为任意实数写出通解，再改写成向量形式是解吗?线性无关吗?任一解都可由表示吗?是基础解系吗?基础解系所含向量的个数=?第四步:写出基础解系再来分析一下基础解系的由来:第二步的同解方程组为第三步的通解为就是取代入同解方程组(1)中求得然后再拼成的解向量.类似的……这就启发我们,由于基础解系所含解向量的个数正好等于自由变量的个数(这里3个).只要令为三个线性无关的向量.代入同解方程组(1)中求得然后再拼成解向量.必然是线性无关的,从而也是基础解系.由此得到下面的解法二.第一步:同前第二步:同前第三步:令代入(1)求再拼基础解系:第四步:写出通解设是矩阵，如果则齐次线性方程组的基础解系存在，且每个基础解系中含有个解向量。定理4.6.2设是矩阵，如果则齐次线性方程组的任意个线性无关的解向量均可构成基础解系。推论4.6.2解：所以只有零解，基础解系不存在。例2:求下列齐次方程组例4设