全国初中数学青年教师优质课一等奖《提取公因式法》教学设计

PAGEPAGE59.13提取公因式法（1）教学目标：1．通过类比因数、公因数、分解素因数理解因式、公因式、因式分解等概念的意义． 2．知道因式分解和整式乘法的互逆关系，初步掌握提取公因式法进行因式分解．3．感受类比的数学思想，提高用数学语言概括与表达的能力．教学重点、难点： 重点：理解核心概念“因式分解”，初步掌握提取公因式法进行因式分解． 难点：核心概念“因式分解”的理解．教学过程：教师活动学生活动教学设计意图一．类比旧知，揭示课题师：我们已经学习了整式的运算，你认为接下来会学习什么内容呢？不妨回顾一下数的运算学习过程，相信会有所启发！师：对比一下，学完整式的运算，你认为将会学习什么运算？需要先学习哪些内容？整数的运算整式的运算因数因式公因数公因式分解素因数分解因式分数的运算分式的运算二．由“数”及“式”，迁移知识教师引导学生进行类比．问:除了1和它本身，还有哪些因式？呢？呢？归纳:几个整式相乘，每个整式叫做它们积的因式．问：多项式各项的公因式是什么呢？什么叫做多项式各项的公因式？问：是多项式的一个因式，另一个因式是什么？师：概括一下，什么叫做把多项式因式分解？下列等式中，从左到右的变形是不是因式分解？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；提取公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式.这种分解因式的方法叫做提取公因式法.三．尝试运用，理解内涵尝试用提取公因式法把多项式分解因式.师：我们在分解素因数时强调分解后每一个因数都必须是素数，对因式分解也同样有类似的要求．因此我们在因式分解结束时，对所得结果必须“三问”．提取的公因式应是：各项系数的最大公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．问：如何检验自己进行的因式分解是一个恒等变形（等号始终成立）呢？师：因式分解与整式乘法是互逆的变形．四．例题解析，了解规范例题分解因式：（1）．解：原式★.（2）.解：原式★.强调在本课时内，打★的这一步不能省略，待今后熟练以后可以省略.五．巩固练习，提高能力分解因式：（1）；（2）（≥且为整数）．六．梳理总结，承前启后通过本节课的学习，我们有哪些收获和体会？还有什么疑惑？有没有需要提出的问题？教师小结：今天我们类比整数中分解素因数，初步学习整式中的因式分解，学完多项式因式分解的几种方法后，我们就可以学习分式的运算了.此外，本节课我们讨论的因式分解是对多项式而言的，为什么没有专门研究单项式的因式分解呢？相信这个问题同学们心中已经有了答案.回顾：从整数运算到分数运算，在学习分数运算前，需要学习因数、公因数、分解素因数．预设：分式的运算．预设：因式、公因式、分解因式．与相乘，和叫做它们积的因式．与相乘，和叫做它们积的因式．与相乘，和叫做它们积的因式．多项式各项的公因式是，一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式各项的公因式．（课本中，简称“这个多项式的公因式”．）另一个因式是．把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫作把这个多项式分解因式．（1）不是.（2）不是.（3）不是.（4）是.（5）不是..在因式分解结束时，对所得结果必须“三问”：（1）结果中哪些是单项式因式？哪些是多项式因式？（2）结果是否已经是几个单项式因式或多项式因式的积的形式？（3）结果中每个多项式因式是否不能再分解因式了？用整式乘法检验：．对结果进行“三问”：（1）结果中哪些是单项式因式？哪些是多项式因式？（2）结果是否已经是几个单项式因式或多项式因式的积的形式？（3）结果中每个多项式因式是否不能再分解因式了？并用整式乘法检验.第一项带“—”号，通常先提取负号，括号里的多项式就化归为前一题的类型进行解决即可.提取公因式后的式子是1，不能遗漏.用提取公因式法分解因式的关键点：（1）正确地寻找公因式；（2）某项全部提出括号内必须留有1；（3）一般第一项系数是负数时先提取负号；（4）因式分解要分解到规定范围内不能分解为止；（5）用整式乘法进行检验.学生交流.教学策略一：类比联想，逐步形成有关概念．从字母表示数的意义上直接引出“积的因式”概念，并与已经学过的“单项式”、“多项式”概念相联系．归纳概括，旨在提高学生数学语言的表达能力．概念辨析,加深理解.教学策略二：问题驱动，深入理解核心概念.（1）（2）着眼于对因式的真正理解；（3）着眼于对因式有类似“素因数”的“素”的要求的理解．教学策略三：注重规范，讲究数学语言表达.引导学生正确运用提公因式法，规范书写格式．巩固新知，注意可能出现的问题．旨在增强反思意识，体会小结与评价的价值，逐步养成反思、小结、评价的习惯．第5节因式分解9.13提取公因式法（1）课堂教学设计说明一、内容与内容解析因式分解是初中数学教学中最基本也是最重要的教学内容之一，它与整式乘法都是整式的一种恒等变形，因式分解又是由“数”的运算进一步发展到“式”的运算的过程中必须的知识技能准备，是接下来学习分式的运算重要基础，此外因式分解在数学学科其他问题和一般科学研究中也具有广泛的应用.本节课是因式分解这一节内容的第一课时，因此在教学设计中我将教学内容定位为两部分：一是因式、公因式、因式分解等有关概念的理解,尤其是核心概念“因式分解”.其中对“公因式”的理解必须建立在其“上位”概念：“因式”的基础上，“因式”是“母”概念，“公因式”是其“子概念”，因此对课本中没有出现的“因式”进行了补充；二是因式分解的基本方法之一：提取公因式法.引导学生以“数”的分解为起点进行知识迁移，领悟字母代“数”的数学思想，感受类比的数学思想，提高用数学语言概括与表达的能力.二、目标与目标解析基于对教学内容的思考，我将本节课的教学目标设置为：1．通过类比因数、公因数、分解素因数理解因式、公因式、因式分解等概念的意义；2．知道因式分解和整式乘法的互逆关系，初步掌握提取公因式法进行因式分解；3．感受类比的数学思想，提高用数学语言概括与表达的能力.这些目标是我在“三维一体”教学目标框架下设计的，因式分解的学习是基于“数”的分解而在“式”的领域进行的开拓，本节课的教学就从字母表示数的意义上直接引出有关概念，由“数”及“式”地理解因式、公因式、因式分解等概念的意义，在这个过程中学生能够自然地感受到类比的数学思想，有充分的机会用数学语言进行概括和表达.对于因式分解的提取公因式法，本课只要求初步掌握，至于较为复杂的综合运用，将安排在接下来的教学活动中进一步达成.三、教学问题诊断分析本次活动中，我提供的教学录像是今年上海市青年教师数学教学评比决赛中的课堂实录，这次比赛在上海市兰生复旦中学集中开展，采用了借班上课的形式，我上课的班级属于上海市中等偏上的水平，和学生在课前没有接触，因此对于这次借班教学中教学问题诊断分析主要依据我平时的教学经验.七年级学生在本章刚刚经历了数与式的承接，初步体会了用字母表示数的数学思想，即将进行下一章分式的学习，由于分式运算需以因式分解为基础方可顺利进行，因此将“因式分解”的教学安排在整式的概念以及整式运算之后，分式的概念及分式运算之前进行.此外学生在六年级学习分数运算时，已经有过类似的学习经历，为本节课的学习奠定了基础.但是对于大多数学生而言，还不能自主地将两者联系类比，因此在学完整式乘法以后，对突然冒出的“因式分解”不免心生疑惑：“难道仅仅是整式乘法的逆过程吗？”“这样的代数变形意义何在？”“到底为什么要学习因式分解？”基于以上分析，我认为核心概念“因式分解”的理解是学生学习中遇到的难点.四、教学支持条件分析为了有效实现教学目标，我设计了如下板书，配合教学展示PPT课件，在教学过程中逐渐展开：板书的设计有效地帮助学生由“数”及“式”地联想类比，从而对本课的有关概念进行有效的数学理解，更直观地感受字母代“数”的数学思想，课堂上教师的板书随着学生的思维逐渐展开，构建了有利于学生建立概念的“多元联系表”的教学情境。根据问题诊断分析和学生学习行为的分析，我制定了如下教学策略：类比联想，逐步形成有关概念；学习了整式运算后开门见山地启发学生思考接下来学习什么内容，让学生带着问题回顾数的运算学习过程，通过类比联想，使本课教学内容中的有关概念在学生的思维过程中自然地生长出来，让学生的学习既是原有经验的迁移，又是在原有知识上“再创造”的过程.问题驱动，深入理解核心概念；对学生尝试因式分解后的结果提出“三问”：（1）结果中哪些是单项式因式？哪些是多项式因式？（2）结果是否已经是几个单项式因式或多项式因式的积的形式？（3）结果中每个多项式因式是否不能再分解因式了？其中（1）（2）着眼于对“因式”的真正理解；（3）着眼于对因式有类似“素因数”的“素”的要求的理解.用问题驱动学生对因式分解的概念进行有效的数学理解.3、注重规范，讲究数学语言表达.课堂上创造充分的机会让学生用数学语言进行表达，展示自己的思维，同时也注重数学语言的书面表达与交流，教师对例题进行解析并板演解题过程，既是对提取公因式法应用的巩固，也是必要的书写格式的示范.五、教学过程设计类比旧知、揭示课题；问题串：我们已经学习了整式的运算，从“数”到“式”对比一下，你认为将会学习什么运算？在这之前需要先学习哪些内容？数学学习是具有连续性的，这种连续性很大程度上体现在数学学习过程中知识的联系与运用.学生在六年级经历了从整数运算到分数运算，并在学习分数运算前认识了因数、公因数、分解素因数等，这些学生已有的知识与本课的有关概念能够类比匹配，自然联系（如下图），通过类比旧知既能自然地揭示本课内容，又能让学生对于为什么要学习因式分解有了明确的目标，心中埋下了应用的意识，也有助于核心概念——因式分解的理解.整数的运算整式的运算因数因式公因数公因式分解素因数分解因式分数的运算分式的运算由“数”及“式”、迁移知识；问题串：概括一下，什么叫做因式、公因式、因式分解？引导学生从具体的内容着手，自发地将“数”的分解的学习经验迁移到“式”的分解，再逐步鼓励学生尝试归纳有关概念，这样从具体内容引入，使用字母表示数的思想进一步渗透，从而抽象归纳，让学生经历概念发生、发展和形成的过程，也在课堂上充分创造了用数学语言归纳和交流的机会，提高概括和表达的能力，并最终通过知识迁移使相关概念系统得以完备.尝试运用、理解内涵；问题串：尝试对多项式分解因式，并对所得的结果进行“三问”：在前两个教学环节的基础上，相信学生具备了完成引例的能力，因此放手让学生尝试对引例多项式进行因式分解，通过“三问”驱动学生深入理解本课的核心概念——因式分解，再及时归纳出提取公因式的方法，并强调检验，顺势让学生理解因式分解与乘法公式的互逆关系.例题解析、了解规范；在例题的展示过程中，让“因式”、“公因式”这些概念融化在解题的过程中，使学生对这些概念进一步加深理解，继续在“三问”中内化核心概念“因式分解”，并且巩固提取公因式的方法.通过例题不仅是对本课中两部分教学内容进行巩固运用，也让学生了解数学表达的规范.数学语言的表达除了课堂上的口头交流外，也体现在解题时的书面表达，通过例题解析让学生注重规范，重视数学语言表达的规范性.第（2）小题的多项式首项带“-”号，提取负号之后，括号内的多项式继续进行分解因式时就转化为第（1）小题的类型，适时渗透化归的思想.巩固练习、提高能力；分解因式：（1）；（2）（≥且为整数），这两个练习体现了学习的梯度：第（1）小题是对本节课基础知识的练习巩固，第（2）小题多项式次数为字母表示，在提取公因式时需要对归纳方法中的“最低次幂”有充分认识，方可正确找出公因式，如果找错公因式，那么无论“多提”或是“少提”，都可以通过进一步辨析概念、自主“三问”等方法进行有效的纠正，达到巩固新知的目的，此外第（2）小题也在继续渗透字母表示数的思想.梳理总结、承前启后.问题串：为什么没有专门研究单项式的因式分解呢？本课的教学内容是与六年级“数”的分解有着“承前”的联系，同时对于接下来分式运算的学习也有着实际应用“启后”的价值，因此通过学生小结和教师引导体会数学学习是知识结构的螺旋上升的过程，能给学生的学习带来一种独特的魅力感受.全课以一个饶有回味的问题作为结尾，细想一下不难得到答案，目的是进一步加深学生对核心概念——因式分解本质的理解.六、目标检测设计第一组练习：下列等式中，从左到右的变形是不是因式分解？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；在自主归纳因式分解的概念后进行本组练习，意在对核心概念进行辨析，进一步加深对概念中的关键词：“多项式”、“整式”、“积的形式”的理解，此外通过对第（3）个等式的辨析，感受因式分解与整式乘法的互逆关系.第二组练习：分解因式：（1）；（2）（≥且为整数）．学生独立练习的过程也是对本课有关概念进一步理解内化，对提取公因式的方法进一步运巩固运用的过程.尤其第（2）小题对于次数是用字母表示的多项式更要在充分认识“最低次幂”的基础上，才能找到正确的公因式，即使有些学生不能一步到位找对公因式，也可以通过对结果进行“三问”和对结果进行概念辨析来及时纠偏修正完成练习，因此通过这两个练习对本课的目标达成度进行检测与评价.点评观看了XXX老师一节《提取公因式法（1）》的比赛现场录像课，阅读了相应的课堂教学设计文本，我认为她上出了一节很有特色、水准颇高的数学好课．现将特色归纳如下：●确定固定点——运用类比——完成自然迁移她充分运用学生学习本节课前已有的认知准备，即因数、公因数、分解素因数．它们分别是本节因式、公因式、分解因式的下位知识．分别以它们作为固定点，运用类比，进行迁移来学习上位知识，是非常自然的，学生感受数学知识的内在联系，对因式分解为什么“要分解到不能分解为止”，就会从分解素因数的“素”的要求来进行自我调节加以理解．另一方面，她还从学习相似内容的“范式”，进行类比迁移，即学完整数运算后应接下去学习分数运算，但先要学预备知识，于是让同学类比猜想，在学习分式前先学因式、公因式、分解因式．我们应该认识这种隐性的范式学习的价值．●挑对汇集块——展示图式——凸显内部联系在本课时的概念学习时，有好几个概念交织在一起，已学概念有单项式、多项式、整式、整式的积等；新概念有因式、公因式、因式分解、提取公因式法等．如处理不当，学生就厌烦，概念易混淆，学习效果就差．沈老师充分运用字母及其图式列出了m、ma、mb、a＋b、ma＋mb、m(a＋b)，以及m、ma、mb、mc、a＋b＋c、ma＋mb＋