广西贵港市2023-2024学年高三年级上册12月模拟考试数学试卷及答案

/贵港市2024届普通高中毕业班12月模拟考试

数学

(考试时间i120分钟的分§150分)

注意事项；

1.答题前,考左务必将直己的姓名、学他、成城,您身城号坂身发答题卡上.，

2.回答选择题晡、选出每小题聚案给、用初铅氧拖着期卡上附应糜身的谷蜜标皆潦黑。如

需改动，用橡皮辣干净经、再速添其他誉第标号”阊答咻选择题的，解答案髯卷答题卡上。写在

本试卷上无数。

3.考试结良启、将木试幕和答题卡一并交回。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题出的四个选项中，只有一项曷符

合题目要求的.

1,已何集合P={H2、W4},。={刈—<0},则。0。=()

A.(0,3]B.(0,2]C.(2,3]D.(-®,2]

2.已知复数z和虚数单位i满足z=壬，则[=()

A.B.寺+gC.ITD.2—2;

3.已知点M(与，4)在抛物线。：/=2勿(0>0)上，点M到抛物线C的焦点尸的距离为心设

O为坐标原点，则△OFM的面积为(

5,如图正方体力方切-//£4中，三棱锥8-4G4的外接球的表面积为

42%,则的面积为《)

A.学B.挛

42

C.7百D,1函

6.设向量。与。的夹角为仇定义/㊉力=|〃3in。-力cos6|，己知《=(1,2),Z»=(2,-1),则a④b=()

A.75B.710C,5D.25

数学第I页共4页

7.已知函数［（x）=sin（ox-《）令＞0）在（T（）内单调递增,%=看是函数,/.（x）的一条对称轴,

O0JJ

则/（符）=（）

C.£D.V2

A.1

22

8.已知正实数x,y满足ye*=Inx-lny,则笔坦+Iny的最大值为（)

A.一1B.0C.1D.2

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.随着国民经济的快速发展和人民生活水平的不断提高，我国社会物流需求不断增加，物流行业

前景广阔.社会物流总费用与GDP的比率是反映地区物流发展水平的指标，下面是2017〜2022

年我国社会物流总费用与GDP的比率统计，则（）

A.2018〜2022这5年我国社会物流总费用逐年增长，

且2019年增长的最多

B.2017〜2022这6年我国社会物流总费用的70%分

位数为16.7万亿元

C.2017-2022这6年我国社会物流总费用与GDP的

比率的极差为0.2%

D.2019年我国的GDP不达100万亿元第9题

10.设数列｛%｝前〃项和为色，满足%T=T,为eN*且％=14,则下列选项正确的是（）

A.an--4H+14

B.数列｛生｝为等差数列

n

C.当附=8时必有最大值

D.设4=44+14+2,则当〃=2或"=4时数列｛4｝的前〃项和取最大值

11.已知直线％+V=0与圆M：/+（y—2）2=/相切，则下列说法正确的是（）

A.过（0,5）作圆〃的切线，切线长为J7

B.圆M上恰有3个点到直线7+3=0的距离为孚

C.若点（X"）在圆"上，则一二的最大值是2+百

x+2

D.圆（x-3）2+（尸3）2=2与圆M的公共弦方程为3x+y-7=0

12.在棱长为2的正方体NBC。-44Goi中，点。为线段4G（包含端点）上一动点，则下列

选项正确的是（）

A.三棱锥z-为C0的体积为定值

B.在。点运动过程中，存在某个位置使得4GJ■平面，沙N

C.面积的最大值为20不gC

D.直线4。与平面80。所成角的正弦值的最小值为由第12题B

数学第2页共4页

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，

13.一(1—2x)5的展开式中的常数项为^_________.

14.某工厂生产一批零件(单位：cm),其尺寸X服从正态分布且P(%W20尸0.2,

?(X<26)=0.8,则〃=.

15.已知点P是曲线y=lnx上的一点，则点尸到直线％->=0的最小距离为.

22

16.已知双曲线C:0-《=l(a>0,6>0)的左右焦点分别为耳，F2,若双曲线。上的点尸，使得

CTb2

ZPF2FX=3ZPFXF2,且tan/9尸2=4，则双曲线。的离心率为•

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•

17.(10分)记邑为数列｛4｝的前〃项和，已知用=2,an+i=Sn+n.

(1)证明：当〃22时，数列｛勺+1｝是等比数列，并求数列｛4｝的通项公式；

2什11

(2)设.二〃〃一,数列｛勾｝的前〃项和为北，证明：Tn<~.

an+lan+2J

18.(12分)在△4BC中，内角4,B,。所对的边分别为a,b,c,D

为BC上一点,cos/BAD=坐,NCAD=^.

3z

(1)若AB=CAD，求tan/48Z)的值；第18题

(2)若2。=1,当△ZBC面积取最小值时，求a的值.

19.（12分）随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活.网购是非常方便的购物方式，为

了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市

民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）：

（1）完成右表；对于以上数据，采用小概率值a=0.01的独立性检验，能否认为我市市民网

购与性别有关联?

（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的经常网购偶尔或不用网购合计

方法抽取20人，再从这20人中随机选取男性45100

3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有女性65100

2人经常网购的概率；合计

②将频率视为概率，从我市所有参与调查

的市民中随机抽取20人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X,求随机变量X的数学

期望和方差.

n(ad-bc')

参考公式:Z2常用的小概率值和对应的临界值如下表:

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)•

a0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001

xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

20.（12分）如图，正三棱柱Z3C-431G中，E是棱融1的中点,

AB=AA[=2,点尸在线段NC上，且CF=2K4.

（1）求证：4B]〃平面.

（2）求平面G跖与平面ZCC14的夹角的余弦值.

第20题

21.(12分)已知函数/(%)=2cos%+sin2%.

(1)当0—时，求/(%)的最大值;

rrrr

(2)当一WxW—时，求证：/(x)>ln(x-l).

32

2v222

22.（12分）已知点尸在椭圆。：a+2=1上，直线丁=日与椭圆-=1（九＞°）交于4

•LNOZXX

B两点,当尸是椭圆。的上顶点，A,B是椭圆。的左右顶点时，△朋8的面积为2遍.

（1）求椭圆。的方程；

（2）直线玄，尸3分别交椭圆。于另一点跖N,若羽=加加，求a的值.

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数学参考答案

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.由题意，集合尸={x|2*44},Q={x\^^-<0},所以尸={x|x42},0={x|O<x<3},所以

PA2={x|0<x<2},选B

c..i"J)1,1..

2,-3-T+7-(l+z)(l-z)-22l),z=选A

3.根据抛物线的定义：MF=4+^=6,所以2=4,因此抛物线方程：/=8y,由于点“在抛物线上,

所以君=32,|而|=4五，△。尸N的面积：S^OFM=1x|OF|x|x0|=j-x2x4A/2=4^,选D

-u,,、COS(^X).、，心、r、cos(-^x)COS(^X)、.口,中一让j—广…

4.函数/(x)=r-^定义域为R,/(-x)=--~~—=-............>a即rifr(zx)是偶函数，所以A,

办「e"x+exex+e-x

B不满足；当x=0时，即COS(G)=1,而/+6一*=2,因此/(。)>0,D不满足，C满足.选C

5.依题意，三棱锥的外接球即为正方体481GA的外接球，其半径为R=^^=乎，

所以4区=3=旧，所以40=后XV^=2V7,所以A48cl的面积为甘x(2近)2=7班，选C

6.因为4=(1,2),^=(2,-1),所以|〃|=42+22=出,4.8=1x2—2x1=0,即a_L〃，所以向量。与〃

的夹角为经，所以〃㊉〃=|asin。-bcos6|=|。|二下，选A

7.因为函数/(x)在(-5,/内单调递增，"等是函数/(x)的一条对称轴，所以有

oJ3

*]丁=>与"。<2,且2左"+宗左£Z),co=6k+2,所以0=2,所

以/(%)=sin(2x-套),所以/(黑)=sin(2x^_9)=sin4,选D

02424o42

8.•/yex=Inx-Inyex+\ny+x=]nx+x,即Inx+x=ln(ye*)+ye",设/(x)=lnx+x,贝!]

/(x)=/(X)，且/'(x)=:+l>0,所以在(0,+8)上单调递增，正实数X,歹满足

/(x)=/(ye%)等价于％=,即lny=lnx—x,「.电?4+Iny=Inx-x,设

g(x)=^±l+lnx-x,x>0,则且3」("+1)+」3+「f,gW=0,设

h(x)=-x2+x-lnx,x>0,贝!Jl(x)=-2x+l—/工一2后+l<0,所以人(x)单调递减，且〃(1)=0,所

以在以，1)上,〃(x)>0,g'(%)>0,g(x)单调递增，在3+8)上,h(x)<0,g'(%)v0,g(x)单

调递减，所以g(x)max=g(D=o,当X=1时，y=~,即皿±i+x(y-D最大值为0,选B

ex

答案第1页，共6页

二、多选题：本题共4小题，每小题分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选

对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.由图表可知，2018〜2022这5年我国社会物流总费用逐年增长，2019年增长为14.6-13.3=1.3万亿元,

2021年增长为16.7-14.9=1.8万亿元，故A不正确；因为6x70%=4.2,则70%分位数为第5个，即

为16.7,所以这6年我国社会物流总费用的70%分位数为16.7万亿元，故B正确；由图表可知，

2017〜2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为14.8%-14.6%=0.2%,故C正确；由

图表可知，2019年我国的GDP为14.6+14.7%内99.3万亿元，故D正确.故选BCD

10.A选项，由%-%1=-4知｛%｝为等差数列，公差为-4,首项为%=14,所以通项公式为

°"=14-4("-1)=-4〃+18,故A不正确；B选项，s：=％="(14+)=一2〃2+16〃,

故&=-2〃+16,则当〃22时，鸟旦=_2〃+16-(-2〃+18)=-2,故｛&｝为等差数列，B正确;

nnn-\n

C选项，=-2r+16〃=-2(〃-4)2+32,故当〃=4时，S〃取得最大值，C错误；D选项，令%>0

得令。〃<0得〃25,则当〃=1或2时，bn=anan+ian+2>0,当〃=3时，与<0,当〃=4时，

b4>0,当〃N5时，<0,又4=。3。4。5=6x2x(-2)=-24,Z)4=a4a5a6=2x(-2)x(-6)=24,则

当〃=2或〃=4时数列｛勾｝的前〃项和取最大值，D正确.故选BD

11.依题意，直线x+y=0与圆河：/+(>-2)2=，相切，所以圆心M(0,2)到直线x+y=0的距离

在詈=夜=乙所以圆〃的方程为M:x2+(y-2尸=2.记点(0,5)为E,切点为尸，贝"加工=3,

\MF\=r=yH,MFVEF,.|E尸|=ME12TA33="?="，故过(。，5)作圆M的切线,

切线长为g,A选项正确；M(o,2)到直线x-y+3=0的距离为也号2=乎=亨，所以圆〃上

恰有3个点到直线x-y+3=0的距离为孚，故B选项正确；3的几何意义为圆河上的点与定点

2x+2

(-2,0)连线的斜率，所以圆M的切线过点(-2,0)时，,取得最值，设(-2,0)的切线方程为

y=k(x+2),即6一了+2左=0,圆心M(0,2)到直线区-y+2后=0的距离与有剪=血，解得

上=2±g，所以f最大值为2+g,故C选项正确；圆心M(0,2)到直线3x+y-7=0的距离

[0：：一7]二乎>/,所以直线3x+y-7=0与圆M无公共点，故D选项不正确.故选ABC

12.对于A,VA-BVCQ=VQ-AB,C,因为NC〃4G，所以点。到平面481c的距离不变，所以三棱锥。-么巴。

的高不变，即三棱锥4-四。0的体积为定值，故A正确；对于B,若4。，平面2QC,8Cu平面

BQC,则45,8。，又B\C\HBC,所以4。1，司。1，与4氏，屈G矛盾，故B不正确；对于c,

因为8C为定值，当。到8c的距离最长时，AS。。面积的最大，所以。在同

处时，ASQC面积的最大，AiB=2y/2,AXB1BC,止匕时

S^BQC=1x2x2V2=2V2,故C正确；对于D,如图所示，以。为原点建立

空间直角坐标系D-孙z,则4(2,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),

。(/,2-f,2),0<t<2,AQ=(t-2,2-t,2),CQ=(t,-t,2),

第12题

答案第2页，共6页

^C=(-2,0,0),设平面B。。的法向量为"=(x,y,z),则卜黑=，即令12

[nCQ=0\tx-ty+iz=

得z=f,X=O,»=(0,2,0,直线力。与平面BQC所成角为e,则

・n。

smn=|Icos<n,~A7Q7\>|I=-|——,4I=/I/41=•

\n\\AQ\j4+»xj2(2-t)2+4

4

=67^~^f3+i0/2设g«)=/-4#+l°»T6r+24,0<t<2,贝1J

g'(t)=4t3-12t2+20t-16,设〃(t)='-3产+5/-4,贝!]I。)=3»-61+5=3«-1尸+2>0,又

A(0)=-4<0,以2)=2>0,所以存在t°e(0,2)使〃&)=0,所以当OVf<fo时，g&)<0,当tV2

时，g'«)>0,又g(0)=24,g(2)=16,所以(sin9)mm=/^=*，故D正确.故选ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5-2x)5展开式的通项为：&]=仁(：广，.(_2xA,取"1,得到常数项为一.己(/)4.(_2乃1=-10,

故答案为：~10.

14.N(JU,CT2),P(X420)+P(X<26)=0.2+0.8=l,

尸(XV20)=l-尸(X<26)=尸(X226),〃=失空■=23,故答案为：23.

15.依题意，曲线上在点尸处的切线与直线x-y=o平行，此时点尸到直线x-y=o的距离最小，设切

点尸(%,为)5>0),/=-,左=；=1,解得%=1,%=lnl=0,即尸(1,0),〃=与里=卓，

XxoV1+12

故答案为：字.

16.由“尸鸟耳=3”尸石外知尸点在右支上，设咫与了轴交于点。，由对称性得IQGH怨I，所以

/。片为=/0修弓，所以/尸&。=//巧6-N。外片=窿尸片&=/尸。外,1尸。|=|神所以

由tan/年；&=；得cos/M&=£=合，所以

\PFl\-\PF2\=\PFi\-\PQ\=\QFi\=2a,

e=£=蟆.故答案为：峥.

a55

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(1)证明：,/an+l=Sn+n,an=Sn_x+n-\｛n>2),/.an+x=2an+1(w>2),.....................1分

—2""+1=2(H>2).又〃2=8]+1=。]+1=3，..............................................................3分

册+1册+1

所以当时，数列｛%+1｝是以4为首项，2为公比的等比数列,.................................................4分

n

%+l=4x2"—2=2〃(〃22),?.an=2-l(n>2)f.......................................................................5分

2(n=l)

当〃=1时，佝=2不满足.所以即=6分

2n-l(n>2).

2向2"1=1_______1_

(2)证明:bn=.........................................................8分

an+lan+2(2〃+1_1)(2〃+2-1)2〃+1-12〃+2-1

11,11,1111

T=bi+%+…+6篦-----------------1-----------------1-.••+--------------------...........10分

n22-123-123-124-12〃J2M+2-132n+2-14

答案第3页，共6页

18.(1)AB=41ADsinZ.ADB=41sinZABD,............................................2分

又cosNBAD=^^,sinN

所以sinZADB=sin(ABAD+ZABD)=；cosZABD+2fsinNABD=£sinZABD,..............4分

gcosNABD=q-sinNABD,tanZABD=;.......................................6分

(2)VZBAC=y+ZBAD,sinNBNC=cos/BND=卒，................................7分

/J

SMBC~^bcsinABAC=~^~bc=SMBD+=^-c-ADsinZBAD+-AD,.................9分

所以22、1c.(b=』j3bc,即...................................10分

362V6232

当且仅当c=3b=半时，等号成立，

此时AABC面积取最小值(S^BC)min=亨，.............................................11分

2222

又cosZB/C=-；,...a=ylb+c-2bccosZBAC=yjb+c-2bccosZBAC=y/6>

所以当M8C面积取最小值时，a=y/6....................................................12分

19.(1)完成列联表(单位：人)：................1分

经常网购偶尔或不用网购合计

零假设为口)：性别与网购之间无关联，.......2分

男性4555100

由列联表，得：/=20°x(45x35-65x55)2女性6535100

z110x90x100x100合计11090200

=4^77«8.081>6.635=x001,................3分

11x9

根据小概率值a=0.01的独立性检验，推断不成立，即认为我市市民网购与性别有关联.…4分

(2)①由题意所抽取的20名女市民中，经常网购的有20x盖=13人，

偶尔或不用网购的有20x斋=7人，.............................................6分

选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：pf+C1=娑....................8分

Clo285

②由2x2列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：篇=0$5,..........................9分

将频率视为概率，，从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.55,

由题意X~B(20,0.55),随机变量X的数学期望E(X)=20x0.55=ll,.................11分

方差。(X)=20x0.55x0.45=4.95.................................................12分

答案第4页，共6页

20.(1)连接片C交GE于点G,连接/G,

因为B1E//CC1,所以ACGC]SA5]GE,所以

5i£=M=l

又CF=2FA,所以城=竺，所以/G//N8],............................................4分

rCGC

又AB,cz平面C[EF,FGu平面CXEF,所以月片〃平面CXEF.........6分

(2)取4。的中点O,连接3。，由正三棱柱/8C-481G知30LZC，

第20题

以。为坐标原点，OB,。。所在直线为x，V轴建立空间直角坐标

系。-乎，如图,则8(百,0,0),£(>/3,0,1),“0,1,2),

^(0,-1,0),空=(g,-1,一1),0^=(0,-1,-2),...........................7分

r

f„.rF=0fV3x-y-z=0

设平面。跖的法向量为〃=(x,y,z),则工得4、八,

\n-CxF=0--y-2z=0

令％=百得y=9,z=-6,n=(V3,9,-6),...................................................................................9分

平面“G4的法向量可取^=(i,o,o),...........................................................................................10分

设平面C】EF与平面4CG4的夹角为0,

所以cos。=\cos<n,m>|=J；。'=一二缴,

5Hmi7120x120

所以平面JEF与平面4CC14的夹角的余弦值为奥....................................12分

21.(1)由/(%)=2cosx+sin2x,0<x<^,

f\x)=-2sinx+2cos2x=-2sinx+2(l-2sin2x)=-2(sinx+l)(2sinx-l),.......................2分

令/'O)>0,得sinx<\,即0<x<]或竽<x<〃；

266

令/'O)<0，得sinx>[,KP<x<^,...........................................................................................4分

266

所以函数/(X)在(0,1)，(老，万)上单调递增，在(泉当)上单调递减,..................5分

oo66

又"0)=2,/靖)=孚，/(万)=2所以“X)1mx=/(I)=孚.......................6分

(2)g(x)=/(x)-ln(x-l)=2cosx+sin2x-ln(x-l),

所以g'(x)=14sin2%_2sinx+25—,......................