2024届新高考数学小题微点特训36 排列、组合、二项式定理含答案

微点特训•数学（新）

微点鸟贵有翼，人贡有志。

36.排列、组合、二项式定理

特训完成日期：月日

［考点对点练］一保分必拿8.我市VR大会展厅前广场改造，在人行道（斑马线）两

侧划分块区域（如图），现有四种不同颜色的花卉.

［考点一］排列、组合5

1「窠天至4年天孽正利用假期到3个山村参加基层扶贫要求每块区域随机种植一种颜色的花卉，且相邻区域

（有公共边的区域）所选花卉颜色不能相同•则不同的

工作，每名大学生只去1个山村，每个山村至少有1人

摆放方式共有种.

去，则不同的分配方案共有（）

A.6种B.24种C.36种D.72种

2.某中学语文老师从《红楼梦》、《平凡的世界》、《红岩》、

《老人与海》4本不同的名著中选出3本•分给三个同

学去读，其中《红楼梦》为必读，则不同的分配方法共9.植树造林,绿化祖国.某班级义务劳动志愿者小组参

有（）加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFE

A.6种B.12种C.18种D.24种七点处各种植一棵树苗.且关于抛物线的如图所示，

3.中国古代的五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》其中A、B、C分别与E、F、G关于抛物线的对称轴对

《春秋》;现甲、乙、丙、丁、戊5名同学各选一本书作为称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵.且关

课外兴趣研读，若甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选

于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树

《春秋》，则5名同学所有可能的选择有（）苗，则共有不同的种植方法数是（用数字作

种种种种

A.18B.24C.36D.54答）.

4.周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影,订

购的4张电影票恰好在同一排且连在一起,为安全起

见.每个孩子至少有•侧有家长陪坐,则不同的坐法

种数为（）

A.8B.12C.16D.20

5.甲、乙、丙三人手持黑白两色棋子，在3行8列的网格

［考点二］二项式定理

中，三人同时从左到右,从1号位置摆到8号位置，若

10.（）5（）6（）7的展开式中久,的系数

甲的1号位置与乙的1号位置颜色相同.称甲乙对应1+^+1-FJ-+H-O-

位置相同，反之称甲乙对应位置不同•则下列情况可为（）

能的是（）A.50B.55C.45D.60

11.在（1+2尸展开式中，二项式系数的最大值为含

力的系数为〃.则二（）

m

A.3B.4C.《D.5

34

12.（左一刃（右一十丁展开式中的常数项为

（）

A.-66B.15C.-15D.66

A.甲乙丙相互有3个对应位置不同13.若（1-21=。0+…+。2021^,2021

B.甲乙丙互相不可能有4个对应位置不同^瑞言的值为（）

C.甲乙1个位置不同，甲丙3个位置不同，乙丙5个

位置不同A.1B.OC.-1D.2

D.甲乙3个位置不同,甲丙4个位置不同，乙丙5个14.若（1—21）8=00+1+…,贝Ij|I+

位置不同|+|。2।+।+…+I=（）

6.由0,1,2,3,4,5共6个不同数字组成的6位数.要求A.38+28B.28C.38D.38-28

0不能在个位数•奇数恰好有2个相邻•则组成这样不.1、io

15.若（工2—卜+*）的展开式中工6的系数为30,

同的6位数的个数是（）

A.144B.216C.288D.432则a等于（）

将含有甲、乙、丙、丁等共人的浙江援鄂医疗队平均

7.8A.B.[C.1D.2

分成两组安排到武汉的A、8两所医院，其中要求甲、

乙、丙3人中至少有1人在A医院，且甲、丁不在同一16.（忘+}+"）（i>0）的展开式中的常数项

所医院,则满足要求的不同安排方法共有（）

A.36种B.32种C.24种D.20种为.

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微点特训・数学（新）

［素养提升练］一高a必花7.学校计划在周一至周四的艺术节卜.展演《雷雨》、《茶『答题栏］

馆》、《天籁》、《马蹄声碎》四部话剧,每天一部，受多种——-

一、单项选择题

因素影响.话剧《雷雨》不能在周一、周四上演；《茶馆:;考点对点练

某医院拟派甲、乙、丙、丁四位专家到所乡镇卫生院

1.3不能在周一、周三上演；《天籁》不能在周三、周四上…

进行对口支援,若每所乡镇卫生院至少派1位专家,

演;《马蹄声碎》不能在周一、周四上演，则所有的可能,1---------

每位专家对口支援一所医院.则选派方案有（）

情况有种（）门

A.18种B.24种C.36种D.48种2

A.OB.1C.2D.3

2.若卜2+打的展开式中/的系数为150•则a?=

8.已知炉一1+1）展开式中的系数和为32.则该展3-----

开式中的常数项为（）

A.20B.15C.10D.254

A.-40B.81C.80D.121

3.若（1+1）（1—2x）2020=a。++…+

二、多项选择题5

02021，⑼，则对+a2H------Hao2i=（）

29.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术

A.0B.2C.-1D.1

这七门课程中选三门作为选考科目.下列说法错误--

4.2020年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，

的是（）?

没你不行”.在此次活动中，某学校有2女、4男6名教A.若任意选择三门课程，选法总数为A：'

师报名成为志愿者.现在有3个不同的社区需要进行

若物理和化学至少选一门.选法总数为

普查工作,从这6名志愿者中选派3名，每人去1个小B.cjci.10......

区，每个小区去1名教师，其中至少要有1名女教师，C.若物理和历史不能同时选，选法总数为C?-Cl

D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时工——

则不同的选派方案有多少种（）

选，选法总数为做废一晚

A.16种B.20种C.96种D.120种12

5.如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源.在古代10.已知（1—2上、产21=a。+a”++…上—

传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是a2022021■（

戴九履一•左三右七，二四为肩,六八为足，以五居中，A.展开式中所有项的二项式系数和为2?。2］

14

五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和o2021_1

B.展开式中所有奇次项系数和为2

五个阳数中随机选取3个数•则选取的3个数之和为

q2O21_115

奇数的方法数为（）（：.展开式中所有偶次项系数和为^

na\,^2।,।^2021_i

D-y+F+F~1■百■=—］

1

三、填空题

11.《周礼•夏官•马质》中记载“马量三物：一日戎马，2

二日田马，三日驾马"，其意思为马按照品种可以分

为三个等级,一等马为戎马，二等马为田马，三等马为

号马.假设在唐朝的某个王爷要将7匹马（戎马3匹，田4

A.30B.40C.44D.70马、鸳马各2匹）赏赐给甲、乙、丙3人,每人至少2匹，则

6.杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的甲和乙都得到一等马的分法总数为5

《详解九章算法》一书中，画r一张表示二项式展开后12.（，+/+,卜一十了的展开式中一项的系数为6

的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做

法本源”•现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重

要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早r393［真题体验练］一实战抢分-

年.若用a,j表示三角形数阵的第z•行第/个数，则1.（2021•全国乙卷，6）将5名北京冬奥会志愿者分配8

。100-3=（）到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培'

1训,每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分_____

11配1名志愿者”则不同的分配方案共有（）

121A.60种B.120种C.240种D.480种-------

13312.（2021•上海卷,10）有四个不同的场馆A.B,C,D,甲、两檄练

14641乙2个人每人选2个去参观，求恰有一个场馆相同的

15101051概率为________..1______

1615201561

3.（2021•北京卷.10）卜3一十了的展开式中常数项为

172135352171

18285670562881

1936841261268436914.（2021•浙江卷.13）已知多项式（了-1”+（了+1尸=

X4+田/3，贝UQ］=；々2+。3

A.5050B.4851C.4950D.5000

+a4=.

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微点特训•数学（新）

点P到直线A3的距离，d=所以S…二啊=ZSMM=2X+X|F,BIX|力|=

I,1、可十工2

(皿十电)一2----2力4--耳工2|8.故答案为8.1

J3+j)2+4、2.C[由题意得/（s—力/（$+力=[/（$）了，即[a（s-t）2+

Z>[[a（s+/）2+/]=（as，十A）’•

,3F2,|AB|"+(*15+&I=

即（a』+a/一2aw+〃）（a『+2a.“十分）=（aJ+。）？，

2/优+&)2+4/7-I-

即（as?-bat2+炉-（2ast）2一（as2+Z>）2=0,

，(11+12)2+4/IILLQ_11401即（2a『+a/+2〃）ar—4a2s2tz=0

----------2^----------•I©—电I，故SAABC—~2•IABI•9

即一2a25）2+a2z4-\-2abt2=0,

,_1A/Q1+/2尸+4/>2.所以一2a』+a/+2占=0或/=0,

『飞2p⑶一2产

2J所以27----歹=1为双曲线"=0为直线

(.r,—.r2)_|.r|—j-JI）Lb

•故C错误.]了了

2/5+①2"+，［)28a

10.J=4/[画出图形如下图所示•作HD_LA比垂足3.y-[设A（巧,必）,B5,B]'

为D・

火）.|AFI=『,+£=2,jr^7

Wf+9=4,-

二I工1—%I=2,由IABI=//K*

A/1+后|q-彳21=3且4>!L

0,A=]

微点特训36排列、组合、二项式定理

考点对点练——保分必拿

i.c[根据题意有两个人是分到同一个地方的，先选出两

人作伴，之后再进行全排.

由题意得点“（/0,4鱼）卜勺在抛物线C上•则则由分步计数原理有C"A；=36（种），故选C.1

2.C[（1）先从《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》三本书

2.0=32①，中选择2本•共有C：=3（种）选法；（2）将选出的2本书

由抛物线的定义，可知IDH=工。一晋，与《红楼梦》共计3本书进行全排列，对应分给三名同学.

有；（种）排法.根据分步乘法计数原理.不同的分配

77A=6

因为sin/HFA=上，所以，iDHI=寺|HFI二方法有3X6=18（种）.故选C.]

3.D[（1）若甲选《春秋》，则有C；A；=18种情况；（2）若甲

年卜"+当卜

不选《春秋》，则有A，A；=36种情况.所以5名同学所有

可能的选择有18+36=54种.故选D.]

所以10—专=[■[o+g），解得々=4,②，

4.C[4个人坐四个座位.共有A：=24种坐法.当孩子坐

由①②解得HQ=4/）=—8（舍去）或io=4p=8,收抛物在一起并且坐在最边上时•有一个孩子没有大人陪伴，

线C的方程为/=4n.1共2A：A；=8种，所以每个孩子旁边必须有大人陪着共

11.①②[对于①，将（门1）代入。2+—）3=4。？2得有24-8=16种坐法.]

（丁+/尸=4K>成立，故曲线。关于直线y=i对5.D[对A,若甲乙有3个对应位置不同.不妨设前3个

称.故①正确；对应位置不同.则后5个对应位置相同.若丙和甲、丙和

乙都要有个对应位置不同，则只能在后个对应位置

对于②.因为（'：旷尸），所以*+35

中有3个和甲乙不同.若丙和甲在后5个对应位置中有

3个对应位置不同，则丙和乙有6个位置不同，故A错

JW1,所以&1,所以曲线C上任意一点到原误；对B.若甲和乙前4个对应位置不同，乙和丙后4个

点的距离都不超过1,故②正确；对应位置不同，则甲和丙后4个对应位置也不同.故甲乙

k土1182_：丙存在个对应位置互不相同，所以错误；对若甲

对于③，联立（/+丁尸=4//行才一？~~,从而4BC,

乙第1个位置不同.后7个位置相同，甲丙在后7个位置

中有3个位置不同•此时乙丙最多有4个位置不同，故C

可得四个交点A（孝贝一率阴,

0错误；对口，若甲乙前3个位置不同，甲丙第3个到第6

个位置不同.则成立，故D正确.]

，依题意满足条件的最

6.C[先从3个奇数中选2个奇数捆绑看成一个整体，然

小正方形是各边以A,3,C・D为中点，边长为2的正方后将它们分别安置在5个位置上,分别记为①②③④⑤，

形•故不存在一个以原点为中心、边长为近的正方形，其中这个整体与剩下的一个奇数不相邻•以及0不在①

号位置，也不在⑤号位置.

使得曲线C在此正方形区域内（含边界）.故③不

正确.1（1）若奇数排在①③号位置.则排法总数为A：A；C；A；

真题体验练]—实战抢分=48；

1.8[可设P（4cosd2sin8）,（2）若奇数排在①④号位置,则排法总数为A，A：C；A：

；

依题知\OP\=c=>IOP12=C2=>16cos24sin216—4=48

=12,（3）若奇数排在①⑤号位置.则排法总数为A；A；A1

=>4cos"^-|-sin2^=3=>4（1—sin20）+sin'G=3=sin0=72；

（4）若奇数排在②④号位置,则排法总数为A；A；A^

73

=24；

3

・179•

微点特训•数学（新）

（5）若寺数排在②⑤号位置,则排法总数为A；A；C；A：=48；素养提升练一高分必抢

（6）若哥数排在③⑤号位置,则排法总数为AjA;CaAl1.C［根据题意,分2步进行分析：①将甲、乙、丙、丁四位

=48；专家分为3组，有戢=6种分组分法；②将分好的三组全

根据分类加法计数原理可知，排法总数为48+48+72+排列,对应3所乡镇卫生院,有A：；=6种情况.则有6X6

24+48+48=288.1=36种选派方案；故选C.1

7.A［从甲、乙、丙3人在A医院的人数进行分类：若三人

2.C［由已知得Tr+1=q（f产，（点）'=C1（a）y⑶，

中只有一人在A医院.则甲在八医院时有C；=4种方

案,乙、丙两人之一在A医院时有C：C：=12种方案；若故当r=2时，12—3旷=6•于是有73=晨。％6=150/，

三人中只有两人在A医院.则含有甲时有C；C：=12种则1=10.故选C］

方案.乙、丙两人同时在A医院时有C；=4种方案；若三3.D［由（1+①）（1-21"⑼=%+由1+。2HzH----H

人均在A医院，则有C：=4种方案；所以共有36种安排。2021/⑷.令1=0,可得斯=1；令X=1•可得斯+<2［十&

方案.1+…4-a2021=2♦所以Q1+02+4-«2021=L1

8.288［:根据题意，对于区域①②，可以在4种颜色中任选4.C［只有一名女教师：小=C；C：A：=72；选派两名女教

2种.有A；=12种选法；对于区域③④⑤，可以在4种颜师：%=C；C：A；=24；所以共有72+24=96种方法.［

色中任选3种,有A；=24种选法.则不同的摆放方式有5.B［由题意可知•阴数为2,4,6,8,阳数为1,3,5.7.9.若

12X24=288种.］选则3个数的和为奇数，则3个数都为奇数,共有C：=

［由题意对称相当于种树苗种四个位

9.363A.B.C.D10种方法.或是两偶一奇.共有（：C；=30,共有10+30

置.有且仅有一种树苗重复.有C：种选法；在四个位置=40种方法.二

A16.B［依据二而展开式系数可知，第，行第，个数应为

上种植有<=12种方法”则由乘法原理得C：X12=36

A；

种方法.【

10.B［（1+工）5+（1+外6+（1+幻7的展开式中弁的系

数是C；+C；+C；=55.故选BJ

11.A［因为〃=6,所以二项展开式中共有7项.所以第四

项的二项式系数最大.所以〃?=C；=20.根据二项展开

式的通项公式可得n=CR•2?=60.所以△=黑=3.

mZO

故选A.］

12.C［尸十）展开式的通项公式为03=C；

（G）L'.（一｝『=&・（一1）'723

籁》.周二周三《雷雨》和《马蹄声碎》可以交换.］

8.B［依题意，由（aa-:十）令/=1得a"=32=>a=

=2J-I-3J-3,故要想产生常数项.则3-与=,=>，-

2

=1或3—与=3=>「=0.则所求常数为2XC[X（-D2,则展开式可化为（2］一十+1］=（~=

-3Xq=-15.]（2/：/一",所以.求（2工--^+1）展开式的常数

—20212021

13.C[因为（12.r）=aa+a[N+&/+…-|-a202Ix

项,即求（2./+Z-1）”展开式的/的系数.根据乘法分

（”GR）,令7=0可得%=1；令•可得：4+今•+

配律可知（2>+/-1》展开式中含的为：

［：（〉）］（；）［；（）］

梦+.+翁■==0；故号.IC♦22•C•JC•C-12+

［C；・（2/»］・（C；・/）・［c；（-1）1+戢・/=

120x5-40〉十〉=81；?.所以》的系数为81,即

....+翁=°一劭=-1・］

（2工一十+1）展开式的常数项为81门

14.D［二项式（1一2w»的展开式通项为•

（-2l）r,A=28,所以，工的奇数次寐的系数均为负数，9.ABD［若任意选择三门课程.选法总数为C"故A错

偶数次幕的系数均为正数•即由、。3、牝、%为负数，为、误,若物理和化学至少选一门，选法总数为CjC?+C；C!,

、4、。6、%为正数，所以I劭I+II+Ia2I+Ia/+故B错误，若物理和历史不能同时选.选法总数为Ci-

…+I。8।=%一%+。2~a3+…+。8=E1-2X（―l）］hC；C>故C正确,若物理和化学至少选一门,且物理和历

二所以为々

=3II+II+I«2I+I3I-r4-Ia7I=—史不能同时选.选法总数为C；晨+C：C,；-C；.故D错

一七+…一s

a\~ra2a7=3—21］误.故选ABD］

/1\10

15.0［由题意得卜+十）的展开式的通项公式是'+110.ABD［A.二项式系数之和为C；0“+C，+…+C舞］

=2*21.故A正确；B.（1-2工严加=%+%工+%合+…

=C0・-（十丁=仁攵…，卜++1的展开2021

十&021力

当X=_1,32021=a<）_+&2_+***_a2。21①

式中含.，（当3时），d（当4=2时）项的系数分别

当X—1»（—1）2021=a+。［+&+%+•••+&021②

为C；u，Cj0,因此由题意得C；<>—aCl=120—45〃=30,n

①十②，可得当32021—1=2（«+知+…+。2020）=■«）十

由此解得a=2,故选D.1o202l_］0

16.修②［（忘+十+勺%>0）可化为（得十”），a2十十。202。=-------•故B正确；C.①一②得3',+

1=-2（。]+。3+…+^2021）=+。3+…+^2021=

因而丁「+尸G”（1）（G）i,令10—2r=0,则r020211-1.一一一

---------.故C错误；D.（1-2]）2必=劭一A^].+七/

-I------产21

=5,故展开式中的常数项为C；。.（t）*=毁区.：］''<*2021

令工=0.则a0=1

・180