七章机械能守恒定律

物理必修2

第七章《机械能守恒定律》一、知识结构及概念分析1、知识结构机械能及其守恒定律功功率功能关系机械能能量定义正功和负功总功意义计算应用汽车平均值瞬时值以恒定功率运动以恒定加速度运动重力的功弹力的功合力的功重力势能弹性势能动能能量守恒定律机械能守恒定律2、概念分析(有些东西不必给学生讲)1.功W＝Flcosα说明：适用于计算恒力的功(物体做直线运动或曲线运动都可以)。注意：更换受力点不意味受力质点发生位移。如：在固定的桌面上推木块运动，桌面上的受力质点不断变化，但这些质点并没有发生位移，因此，木块对桌面的滑动摩擦力对桌面不做功。正功与负功：能量转化(转移)的方向。

正功：能量转移(转化)给受力物体；

负功：能量从受力物体转移(转化)出去。功与参考系有关：同一个过程从不同的参考系观察，物体的位移一般不同，因此力所做的功也可能不同。一般选取地面为参考系研究力做的功。总功的求解：

⑴先求合力，再求合力的功；

⑵先求所有力的功，在求功的代数和。

计算时注意区分某个力的功与几个力的总功。利用无限分割的思想求变力做功：如图所示，一个物体在变力作用下做曲线运动，由O点运动到O'点，我们可以把曲线分成很多小段，如图中AB小段、CD小段等，每小段都足够小，可认为是直线，且力的变化很小，可以认为是恒定的。这样，对每小段来说，就可以用W=Flcosα计算功。所以求变力做功的方法是：把物体通过各个小段所做的功加在一起，就等于变力在整个过程中所做的功。例如：物体在水平地面上沿曲线滑动，滑动摩擦力的大小不变，利用上述方法可求克服摩擦力所做的功W=﹣fs，其中s为物体运动的路程。2.功率平均值：

说明：平均功率与一段时间相对应的，求0到t时刻内力F的平均功率，分母就是时间t，即使力F只在其中一段时间内做功。瞬时值：说明：当力的方向始终与物体的速度方向垂直时，该力的瞬时功率总是零，整个过程，该力不做功。比如细绳拉住小球绕细绳的另一端做圆周运动，绳的拉力对小球不做功；小球沿固定的轨道运动，轨道对小球不做功等。(无摩擦的固定约束力对物体不做功。)讨论：汽车的运动

牛顿运动定律：

发动机的功率：⑴以恒定功率启动：⑵以恒定加速度启动：

说明：在给定汽车的质量、受到的阻力。汽车是以恒定的功率加速，若给定汽车的初速度和末速度。则汽车加速过程的位移和时间是确定的，可用积分的方法求的。在出此类练习题时，要注意这些物理量之间的这种关系，不要给出相互矛盾的数据。3.势能保守力：力所做的功仅由受力质点始末位置决定而与受力质点所经历的路径无关(力沿闭合路径所做的功等于零)。如重力、弹簧的弹力等。非保守力(耗散力)：力所做的功不仅决定于受力质点的始末位置，而且和质点经过的路径有关(力沿闭合路径所做的功不等于零)。如滑动摩擦力等。

对于保守力，可以引入只与相对位置有关的势能(函数)。与一保守力相对应的势能(函数)增量等于保守力所做的功负值。重力做功：

mgh就是与重力相对应的势能。弹簧弹力做功：就是与弹簧弹力相对应的势能。势能是系统所共有的 ⑴课本：必须指出的是，重力势能跟重力做功密切相关，而重力是地球与物体之间的相互作用力。也就是说，倘若没有地球，就谈不上重力。所以，严格说来，重力势能是地球与物体所组成的这个物体“系统”所共有的，而不是地球上的物体单独具有的。⑵所谓保守力的做的功是指两个物体之间相互作用的一对保守力对这两个物体做功的总和。它与两个物体的运动路径无关，与参考系无关。如两个电荷之间的库仑力对两个电荷做的总功就是与库仑力对应的势能。前面重力的功实际上是相互作用力对物体和地球所做功的和；弹簧弹力的功是弹簧对两端物体做功的和。二、演示实验及学生实验示例1.寻找守恒量(斜面、单摆)2.探究功与物体速度变化的关系纸带注意：纸带比较锋利，释放小车时手不要挨着纸带。选用松紧带中的细橡皮筋。截成350～400mm的长度用细铁丝（或曲别针）做成小钩如图，B端用来夹住橡皮筋，A端用来做成钩形，也可以做成圆环形。图8

功与速度变化的关系

橡皮筋数

纸带点长x/m

时间t/sv/m﹒s-1W0000010.06980.02×40.8725120.15300.02×61.2570230.12300.02×41.5375340.13400.02×41.6750450.15600.02×41.9500560.16600.02×42.07506

功与速度变化平方的关系橡皮筋数v/m﹒sv^2/(m﹒s-1)^2W0

0001

0.87250.761312

1.25701.580023

1.53752.364034

1.67502.806045

1.95003.802556

2.07504.30606功与速度三次方的关系

橡皮筋数v/m/sv^3/(m﹒s-1)^3W000010.87250.6642121.25701.9861231.53753.6345341.67504.6994451.95007.4149562.07508.934263.机械能守恒定律(气垫导轨斜面)4.实验：验证机械能守恒定律(自由落体运动)OABCDEhAhBhDhChE

手不要抖动(否则第一个点会比较大，无法确定运动的起始位置)。拉紧纸带使重物紧靠打点计时器，或者可以用夹子夹住纸带代替手，先接通电源打点再释放重锤运动。本实验中重力势能的计算依赖于查询当地的重力加速度，不可使用本实验测量出当地重力加速度，在用此加速度计算重力势能。OABCDEhAhBhDhChEABCDEhAChBEFhDF三、教学建议1.充分利用课本的注解引导学生的思维。§2功如果物体在力的作用下位移增加了Δl，那么力所做的功相应地增加ΔW＝FΔl。(元功的思想，后面研究重力的功与路径无关还要用到这个思想。)做一做：证明：几个力对一个物体做功的代数和，等于这几个力的合力对这个物体所做的功。§3功率说一说：各种机器实际输出的功率常随时间变化，因此有平均功率与瞬时功率之分。⑴式中，t等于从计时开始到时刻t的时间间隔，W是力在这段时间内做的功，所以⑴式中的P实际上是这段时间的平均功率。如果我们要表示瞬时功率与功、时间的关系，⑴式应谈怎样改写？做一做：在P＝Fv中，速度v是物体的平均速度，所以这里的功率P是指从计时开始到时刻t的平均功率。实际上，这个关系式也反映了瞬时速度与瞬时功率的关系，你可以试着推倒这个结论。要注意下面两点。

⑴如果Δt时间内做的功是ΔW，那么当Δt很短很短时，P＝ΔW/Δt表示的就是瞬时功率。

⑵如果力的大小是F，在上述Δt时间内，在力的方向上发生的位移是Δl，那么，力F做的功是ΔW＝FΔl。做一做：你家里可能有洗衣机、理发用的吹风机，还可能有吸尘器、电动剃须刀，附近的机井上面有水泵、拖拉机，汽车上面有发动机，小工厂里面有电动机……

调查你周围的各种机械的功率。机械的功率与它们的体积有没有关系？与它们的耗电量(耗油量)有没有关系？

如果能够见到的机械很少，你还有别的办法。可以收集各种说明书，也可以从报纸的广告上了解它们的功率，并能了解到功率的太小与它们的效能之间的某种联系。§5

探究弹性势能的表达式说一说：在以上探究中我们规定，弹簧处于自然状态下，也就是不伸长也不缩短时的势能为零势能，能不能规定弹簧某一任意长度时的势能为零势能？说说你的想法。2.加强功是能量转化的量度的思想

§4重力的功

§5弹簧弹力的功

§6§7合力的功(动能定理)

结论：功是能量转化的量度3.判断机械能守恒定律的一些技巧

系统内的机械能与系统内其它形式的能量没有转化，系统内的机械能与系统外的能量没有转化(转移)。

以下过程通常会涉及机械能与其它形式能量的转化：

滑动摩擦力——机械能内能

非弹性碰撞——动能内能

爆炸——化学能动能课时建议(仅供参考)第1节追寻守恒量第2节功 1课时第3节功率 1课时习题课 1课时第4节重力势能 1课时第5节探究弹性势能的表达式 1课时第6节探究功与速度变化的关系 1课时第7节动能和动能动能定理 1课时习题课 1课时第8节机械能守恒定律 1课时第9节实验：验证机械能守恒定律 1课时习题课 1课时第10节能量守恒定律与能源 1课时机动 2课时测试和讲评 2课时14~16课时三、例题：§2功来源：课本练习1.图5.2-8表示物体在力F的作用下在水平面上发生了一段位移l，分别计算这三种情形下力对物体做的功。设这三种情形下力和位移的大小都相同：F＝10N，l＝2m。角θ的大小如图所示。说明：识别清楚力的方向与位移方向的夹角。来源：课本练习4.一个重量为10N的物体，在15N的水平拉力的作用下，一次在光滑水平面上移动0.5m。另一次在粗糙水平面上移动相同的距离，粗糙面与物体间的动摩擦因数为0.2。在这两种情况下，拉力所做的功各是多少？拉力所做的功是否相同？各个力对物体所做的总功是否相同？说明：识别清楚某个力的功与合力的功。来源：学探诊如图所示，小物块位于光滑斜面上，斜面位于光滑的水平地面上。从地面上看，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力A.垂直于接触面，做功为零B.垂直于接触面，做功不为零C.不垂直于接触面，做功为零D.不垂直于接触面，做功不为零§3功率来源：课本练习⒉一台抽水机每秒能把30㎏的水抽到10m高的水塔上，不计额外功的损失，这台抽水机输出的功率是多大？如果保持这一输出功率，半小时内能做多少功？说明：流体问题的等效处理。

已知：m＝30kg/s，h＝10m。求P。

取一段时间Δt。等效处理成用吊车吊水，在Δt的时间内匀速将质量M＝mΔt的水匀速提升到h＝10m高的水塔上。因此有

F＝Mg＝mΔtg

v＝h/Δt

所以：P＝Fv＝mΔtgh/Δt＝mgh＝3000W

学生在处理这个问题时通常没有深入思考，直接就是P＝mgh(Δt取1s)

。但问题在于抽水机水管中的水不一定是30kg，抽水机对水的作用力并不等于30kg水的重力，此外，水在水管中的速度也并一定是10m/s，这里应该采用等效的方法处理。来源：课本练习⒋质量为m的汽车在平直公路上行使，阻力F保特不变。当它以速度v、加速度a加速前进时，发动机的实际功率正好等于额定功率，从此时开始，发动机始终在额定功率下工作。

⑴汽车的加速度和速度将如何变化？说出理由。

⑵如果公路足够长，汽车最后的速度量多大？说明：讨论汽车启动过程速度、加速度、功率的变化问题。§4重力势能来源：课本练习说明：用实例讲解重力势能是相对的，重力做功和重力势能变化是绝对的。§7动能和动能定理来源：课本练习⒊质量是2g的子弹，以300m/s的速度射入厚度是5cm的木板，射穿后的速度是100m/s。子弹射穿木板的过程中受到的平均阻力是多大？你对题目中所说的“平均”一词有什么认识？说明：这里的力的“平均值”是对位移的平均值。求功的一般方法：

⑴功的定义式：W＝Flcosα；

⑵用功率计算：W＝Pt；

⑶用动能定理求功，特别是求变力的功。本题用动能定理求出阻力的功，再求阻力的平均值。功是力对位移(空间)的积累，用功除以位移求的是力对位移(空间)的平均值；(下一章：冲量是力对时间的积累，用冲量除以时间求得的是力对时间的平均值。)§9

实验：验证机械能守恒定律来源：课本练习1.把质量是0.2kg的小球被在竖立的弹簧上，并把球往下按至A的位置，如图5.8-9甲所示。迅速松手后，弹簧把球弹起，球升至最高位置C(图丙)，途中经过位置B时弹簧正好处于自由状态(图乙)。已知B、A的高度差为0.1m，C、B的高度差为0.2m。弹簧的质量和空气的阻力均可忽略。⑴说出由状态甲至状态丙的能量转化情况。状态甲中弹簧的弹性势能是多少？⑵说出由状态乙至状态丙的能量转化情况，状态乙中小球的动能是多少？增加一个状态，弹力等于重力的状态。来源：课本练习2.游乐场的过山车可以底朝上在园轨道上运行，游客却不会掉下来。我们把这种情况抽象为右图的模型：弧形轨道的下端与竖直圆轨道相接，使小球从弧形轨道上滚下，小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动。实验发现，只要h大于一定值，小球就可以顺利通过圆轨道的最高点。如果已知圆轨道的半径为R，h至少要等于多大？不考虑摩擦等阻力。小球通过圆形轨道最高点的动力学方程(受力分析)：确定研究对象：小球(和地球组成的系统)；明确研究过程：从释放小球到小球运动到圆轨道的最高点；分析受力：竖直