高考数学一轮复习-定积与微积分基本定理(理)课件

第十三节定积与微积分基本定理（理）一、定积分的性质

1.kf(x)dx＝

；2.[f(x)±g(x)]dx＝

；3.f(x)dx＝

(其中a＜c＜b).Kf(x)dx(k为常数)f(x)dx±g(x)dxf(x)dx＋f(x)dx二、定积分的几何意义1.当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分f(x)dx的

几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(图1中阴影部分).2.一般情况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲

线f(x)以及直线x＝a、x＝b之间的曲边梯形面积的代数和

(图2中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上

的积

分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.三、微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且F′(x)＝f(x).那么f(x)dx＝

.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼兹公式.其中F(x)叫做f(x)的一个原函数.为了方便，我们常把F(b)－F(a)记作

，

即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a).F(b)－F(a)F(x)ab

一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？

提示：一个函数的导数是唯一的，而其原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算.1.(2x－4)dx＝(

)A.5

B.4C.3D.2解析：(2x－4)dx＝(x2－4x)＝(52－4×5)－(02－4×0)＝5.答案：A2.若(2x＋)dx＝3＋ln2，且a>1，则a的值为(

)A.6B.4C.3D.2解析：(2x＋)dx＝(x2＋lnx)|＝a2＋lna－1，故有a2＋lna－1＝3＋ln2，即a＝2.答案：D3.已知自由落体的速度为v＝gt，则落体从t＝0到t＝t0所走

过的路程为(

)解析：答案：C4.曲线y＝cosx(0≤x≤)与两坐标轴所围成图形的面积为

.解析：答案：35.如果(x)dx＝1，(x)dx＝－1，则

(x)dx

＝

.解析：答案：－2dx=-1-1=-2.1.求函数f(x)在某个区间上的定积分，关键是求函数f(x)的

一个原函数，正确运用求导运算与求原函数运算互为逆

运算的关系；若原函数不易寻找时，先把f(x)进行变形.2.计算简单定积分的步骤

(1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、

指数函数与常数的和或差；

(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干

个定积分的和或差；

(3)分别用求导公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)；

(4)利用牛顿——莱布尼兹公式求出各个定积分的值；

(5)计算所求定积分的值.求下列定积分：(1)(x2－x)dx；(2)sin2

dx；(3)|3－2x|dx.

(1)直接利用公式；(2)首先对sin2

进行变式；

(3)去掉绝对值，分段积分.【解】1.计算以下定积分：（sinx-sin2x）dx;解(1)函数y=2x2_

的一个原函数是+ln3+6)-(2+ln2+4)（3）函数y=sinx-sin2x的一个原函数为所以y=-cosx+在平面直角坐标系中，由曲线f(x)，直线x＝a，x＝b(a<b)和x轴围成的曲边梯形的面积分为以下几种情况：1.y＝f(x)(f(x)≥0，x∈[a，b])，x＝a，x＝b(a<b)和x轴围成的曲

边梯形的面积为S＝(x)dx(这时曲线全部在x轴上方)；2.如果在[a，b]上，f(x)≤0，则曲线y＝f(x)，x＝a，x＝b(a<b)

和x轴围成的曲边梯形的面积为S＝|(x)dx|＝－

(x)dx(这时曲线全部在x轴下方)；3.如果在[a，b]上，f(x)有正有负，即曲线在x轴上方和下

方都有图象，例如：在(a，c)上位于x轴上方，在(c，b)

上位于x轴下方，则曲线y＝f(x)，x＝a，x＝b(a<b)和x轴

围成的曲边梯形的面积为S＝(x)dx＋(x)|dx＝

(x)dx－(x)dx；4.由曲线y＝f(x)，y＝g(x)(f(x)>g(x))与直线x＝a，x＝b(a<b)

围成的图形的面积为S＝[f(x)－g(x)]dx.在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为试求切点A的坐标及过切点A的切线方程.

需根据面积求出切点坐标.这又需要画出函数y＝x2(x≥0)及切线的图形，再根据定积分的几何意义，求函数y＝x2(x≥0)的定积分，从而确定相关图形的面积，即可求出切点坐标，其他问题便可顺利解决.【解】如图所示，设切点A(x0，y0)，由y′＝2x，得过点A的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－令y＝0，得x＝即C(0).设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，所以x0＝1，从而切点A(1,1)，切线方程为y＝2x－1.所以2.求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积.解：作出曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x的图象，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组解方程组因此，所求图形的面积为1.变速直线运动问题如果作变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是

v＝v(t)(v(t)≥0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路

程为(t)dt；如果作变速直线运动的物体的速度关

于时间的函数是v＝v(t)(v(t)≤0)，那么物体从时刻t＝a到

t＝b所经过的路程为－(t)dt.2.变力做功问题物体在变力F(x)的作用下，沿与力F(x)相同方向从x＝a

到x＝b所作的功为(x)dx.列车以72km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－0.4m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？加速度对时间积分为速度，速度对时间积分是路程.【解】因列车停在车站时，速度为0，故应先求出速度的表达式，之后令v＝0，求出t，再根据v和t应用定积分求出路程.已知列车速度v0＝72km/h＝20m/s，列车制动时获得的加速度为a＝－0.4m/s2，设列车开始制动到经过t秒后的速度为v，则v＝v0＋adt＝20－0.4dt＝20－0.4t，令v＝0，得t＝50(s).设该列车由开始制动到停止时所走的路程是s，则s＝dt＝(20－0.4t)dt＝500(m)，所以列车应在进站前50s，以及离车站500m处开始制动.3.设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动

到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且和x轴正向相同，求变力F(x)

对质点M所做的功.解：变力F(x)＝x2＋1使质点M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10所做的功为W＝定积分是新课标中新增内容，主要考查有关定积分的计算及其应用.对于定积分在几何或物理方面的应用，难度不大，属于低档题.2009年广东卷考查了定积分的物理应用.(2009·广东高考)已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图所示).那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是(

)A.在t1时刻，甲车在乙车前面B.t1时刻后，甲车在乙车后面C.在t0时刻，两车的位置相同D.t0时刻后，乙车在甲车前面[解析]判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v(