数学推理在数学课程中的应用

逻辑推理和小学数学教学存在密切的联系，数、形都是在数学实践中抽象出来的概念，对数学对象的表现形式十分简单，只是单纯地将客观事物的特点和空间形式体现出来，而数学推理依据的思维方向不同。所以，需要从不同角度分析数学推理的过程，通过最严谨的方式实现数学推理在数学课程中的利用［1-2］。总体来说，数学推理体现在演绎推理和合情推理两个角度。但是，其都是对数学学科教学的追求，教师在开展课程教学中，应该格外重视对数学资源的整合，积极地优化推理方法，开展推理活动，方可让学生得到更多推理体验的机会，从而有效促进数学逻辑思维的构建，让学生在数学推理过程中养成习惯，实现推理能力与核心素养同步提升。一、数学推理的概念分析新课标中对数学推理的内容都作出了严格的归纳，主要是从演绎推理和合情推理两个角度进行分析。演绎推理也就是从已知的实际出发，实现对公理、定理、定义等内容分析；而合情推理是在已有事实的基础上根据经验和直觉进行结果推断。许多研究认为，合情推理能力涉及到的内容十分广泛，其中除了包括不完全归纳推理和类比推理，还有统计推断，而统计推断也就是在特定的情境下做出的一种合理推断，但这种推断不能够偏离实际的情境，具体如下。（一）演绎推理演绎推理就是从具体的数学问题入手，将一般化的数学问题逐渐发展为特殊的问题进行推理。演绎推理最早发展在古希腊时期，该推理现象引起了许多人的关注，类似的研究逐渐变多。比如，古希腊的思想家亚里士多德曾经详细分析了关于演绎推理的三段论，其编写的《工具论》其实就是一部影响较大的逻辑学著作，该著作中体现较为深刻的就是传统形式逻辑，这是逻辑思维发展的关键体现。而古希腊数学家欧几里得对推理相关思想进行了严密深刻的分析，并且在实践中逐渐将这种推理引入数学研究中，而《几何原本》就有效构建了完善的推理知识体系，保证在推理的过程中将定理和公理当作基础，从而实现演绎形式的优化。在16世纪后期，自然科学随着社会的发展形式不断变化，这个过程中莱布尼茨假想就逐渐将推理的过程变得“运算化”，在运算中得到理想的结论，所以将运算化的推理命名为“通用的科学语言”［3-5］。在发展中受到当时社会历史条件的影响，导致各种假想无法实现。因此，在后期的研究中，布尔、弗雷格等在研究中逐渐将数学推理理解为独立的学科，认为演绎推理就是数理逻辑发展的基础条件，并且该发展过程逐渐趋于现代化，能够满足数学问题解决的需求。在后期的发展中，相关人员通过对智力活动的解剖，详细将推理的种类划分为演绎推理和归纳推理两个方面。通常来说，演绎这一分支就是从三段论出发，科学地实现对数学知识的推理传递，实现对数学知识的判断，其对知识进行归纳总结的时候，可以利用类比和因果分析的方法。三段论的主要内容包括两个假设前提、真假未定前提，体现为大、小前提与未知定论，而演绎推理的主要形式就是三段论，这种方式对于学生的数学学习能力发展和发展水平提升具有积极的意义，数学逻辑在一定程度上能够促进科学技术深化发展。比如，图灵机理论就为计算机科学的发展奠定了坚实的基础，定理证明等发展利用都是将数理逻辑作为基础。（二）合情推理合情推理是数学推理的另一个角度，开始阶段人们十分重视对数学推理形式的讨论。但是，这种推理方式不能够完全和单纯的逻辑推理等同，其一般被赋予了十分深刻的内涵。早在19世纪，庞加莱等针对“数学推理的本性”进行详细分析，根据自身对于数学的理解，勇敢提出了自己对于数学三段论的质疑，从而在后期的发展中逐渐促进推理过程的深入，认为多数的数学推理与演绎推理的情况具有显著的区别，其中除了演绎推理的成分也包含有归纳推理的成分，这种推理的过程体现了创造性特点，这个过程始终具有绝对严格的特征［6-7］。在20世纪50年代，数学家和教育家就编写了《数学与猜想》的著作，首次将合情推理的概念提出，然后对其系统研究发展奠定良好的理论基础。欧几里也提出了自己的想法，他对于数学的理解就是演绎的科学。通过分析数学发展的形成过程，能够发现数学的发展具有实验性质。所以，近年来关于合情推理的研究和实验实践从未停止，一些数学教育家、心理学家等对数学推理过程进行全面分析，认为分析性推理中演绎逻辑推理也发挥着十分关键的作用，而创造性推理比较重视对演绎过程的猜想，其中实践性推理都将归纳的过程融入到特定的问题情境中，然后通过合理的推测实现数学问题的解决，从而实现对学生的数学综合能力培养。二、数学推理在小学数学课程中的应用（一）合情推理和演绎推理融合发展在小学数学教学中，为了促进学生对于推理相关知识的理解，提升学生推理能力，就要从不同角度分析数学推理，科学有效地在合情推理发展中融入演绎推理。因为小学生的思维能力不高，认知发展水平不高，所以演绎推理的开展就变得更加困难，此时应该重视推理归纳的过程，优化推理的方式。在实际推理实践中推理实践所得出的结论和性质，都需要让学生认同和验证。为了验证推理结论的正确性，就要在数学知识实践中运用各种方法，有利于促进学生的思维能力提升。枚举归纳是一种数学知识分析的有效方式，该方式能够更加有效地揭示数学知识内部的实质，分析数学知识内部的因果关系和本质，让学生更加清晰地掌握知识内部的认知特点，能够尝试更多科学归纳推理的方式。这就要求教师在教学的过程中重视提升学生的推理能力，让学生在对数学问题进行解决的时候，可以同步利用合情推理与演绎推理两种方式，使各种推理过程变得更加科学，让学生在融合推理过程中掌握各种数学知识，促进学生的逻辑水平提升［8-9］。比如，在讲解《加法运算定律》相关知识的时候，许多教师都会让学生通过计算方法的利用达到计算的目的，让学生通过观察总结得出相关的结论：“两个加数交换位置，和不变”，然后让学生利用推理对这个结果进行验证。如果教师通过零散的例子列举让学生在头脑中理解事实，必然会无法深刻将命题的本质揭示出来，这种学习的方式从根本上讲就是一种机械的学习，所以需要通过一些案例的列举进行改进。教师在授课的时候，可以在课桌上摆放两种颜色的球，其中包括三个黑球和五个白球（如图1），此时教师就要引导学生利用推理能力解决问题。教师：“如下图所示，从我的角度看图形数量为5＋3，从你们的角度看到的与我的角度看到的一致吗？”此时学生：“从我的角度看到的是3＋5。”这种实践教学方式的利用，学生能够理解5＋3和3＋5这两个角度之间对物体推算方法的差异性，虽然算法不同，但得到的结果是相同的。如此可以让学生深刻掌握数学运算方法的本质，掌握数学推理的根本原理，激发学生的逻辑思维能力，让学生运用推理能力解决问题。图1教师摆放球的位置（二）通过引导分析整合信息在小学数学教学中，任何推理都包括推理内容和推理形式，具体而言，脱离具体内容的推理并不存在。所以，只有加强对数学知识的理解，方能够保证推理活动的有序开展，将学生的推理能力培养作为数学核心素养培养的前提。整个数学知识学习过程中，为了让学生能够正确地理解数学信息，教师要尽量利用直观的方式开展操作活动，让学生能够正确地理解数学信息。比如，在《圆的面积》相关内容教学的时候，教师应该引导学生进行公式的推导，让学生深刻理解圆形面积的计算过程，此时教师要带领学生完成操作活动，把圆平均分为若干个近似的长方形后，然后观察变化过程。教师提问：“两个图形的面积是否相等？近似的长方形的长和宽和圆存在何种关系，具体的圆的面积应该如何计算？”学生在观察以后，能够明白这两个图形的面积是相等的。但其形状是截然不同的，从而理解圆的性质，明白长方形的长就是圆周长一半，长方形的宽就是圆的半径，如此可以推理出圆的面积。比如，在《数列》相关知识讲解的时候，要想让学生掌握数列的填数规律：17，19，21，23，（），（），就要为学生树立数列思维，在教学的过程中积极引导学生分析数列的特点，整合数列的排列规律，只有掌握数字排列规律，合理推理，方可得到正确的推理结果，让学生掌握知识点，促进推理教学的有序进行。（三）在推理方法传授中塑造推理品质数学推理是一项逻辑思维较强的操控活动，所以教师在实际的操控过程中，应该积极地优化操作方法，加强多种操作方式和演绎方式的利用，为学生提供足够的数学推理机会。教师在推理教学的过程中，应该加强对学生的指导，让学生理解操作方法和操作技巧，从而自行完成推理操作，如此方可建立推理品质，塑造推理精神，让学生的认知过程变得更加深刻。数学学科具有逻辑性和抽象性较强的特点。因此，学生的数学学习应该更加直观灵动，教师要充分考虑小学生的思维特点，从教学实际出发，加强教学引导，在传授学生推理方法的时候，应该合理总结生活现象和生活经验，为学生数学推理教学开展奠定基础，降低数学推理的学习难度。比如，在开展《小数的加、减法》相关教学的时候［10］，教师要重视对学生推理品质的塑造，做好整数的加减和乘除运算，有效构建全新的知识体系，消除数学知识学习的陌生感。由此，可以为学生创设“超市购物”的教学情景，让学生在“超市购物”中学会小数加、减算式，从而理解小数点的特殊含义，明白1.5元＋5.1元就是1元5角＋5元1角；让学生在实际的场景中，完成数学推理，学会小数加、减法的运算相关知识。教师在引导学生学习小数加、减法运算的时候，应该利用“对齐数位”的基本原则，推理出小数加减法计算的方法，实现学生的核心素养培养，让学生可以自觉地将推理知识利用在数学问题的解决中，在推理尝试中实现推理品质的塑造。教师在学生学习过程中，既要遵循学生推理学习的自主性，也