山东省寿光市圣都中学2020-2021学年高二上学期期末备考卷（B）数学试卷

（新教材）20202021学年上学期高二期末备考卷数学（B）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若，则下列不等式中正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，则时，A不成立；，因此B不成立；，因此C不成立；由在上单调递增，因此D成立，故选D．2．双曲线的渐近线方程是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵双曲线标准方程为，其渐近线方程是，整理得，故选A．3．如图，空间四边形中，，，，点为的中点，点在线段上，且，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】空间四边形中，，，，所以，故选D．4．我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传，说的是，有斤棉花全部赠送给个子女做旅费，从第个孩子开始，以后每人依次多斤，直到第个孩子为止．在这个问题中，第个孩子分到的棉花为（）A．斤 B．斤 C．斤 D．斤【答案】C【解析】设第个孩子分到的棉花为，根据题意可知，第个孩子开始，以后每人分到的棉花是以为首项，以为公差的等差数列，，解可得．故选C．5．已知在一个二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，，，，则这个二面角的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设这个二面角的度数为，由题意得，∴，∴，解得，∴，∴这个二面角的度数为．故选C．6．为了净化水质，向一个池塘水中加入某种药品，加药后池塘水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则一段时间后池塘水中药品的最大浓度为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，则，当且仅当时取等号．则一段时间后池塘水中药品的最大浓度为，故选A．7．已知抛物线，为其焦点，抛物线上两点、满足，则线段的中点到轴的距离等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵是抛物线的焦点，∴，准线方程，设，，∴，∴，∴线段的中点横坐标为，∴线段的中点到轴的距离为．故选B．8．已知数列满足，且，则数列的前项和（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，且，可得，时，，相除可得，则数列的奇数项和偶数项均为公差为的等比数列，可得，故选B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（）A．命题“，”的否定是“，”B．命题“，”的否定是“，”C．“”是“”的必要而不充分条件D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件【答案】BD【解析】对于选项A：命题“，”的否定是“，”故A错误；对于选项B：命题“，”的否定是“，”故B正确；对于选项C：“”是“”的既不必要又不充分条件，故C错误；对于选项D：关于的方程有一正一负根”的充要条件是，整理得，故D正确，故选BD．10．设数列是等差数列，是其前项和，且，则（）A． B．C．或为的最大值 D．【答案】BC【解析】且，∴，化为，可得，．或为的最大值，．故选BC．11．已知是椭圆上一点，，为其左右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（）A．点纵坐标为 B．C．的周长为 D．的内切圆半径为【答案】CD【解析】∵椭圆，∴，，．又∵为椭圆上一点，、为左右焦点，设，∴，，∴，得．又，∴．对于A，由等面积法，得，则，故A错误；对于B，由，得，故B错误；对于C，的周长为，故C正确；对于D，设的内切圆半径为，则，得，故D正确，故选CD．12．如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（）A．直线与的夹角为B．平面平面C．点到平面的距离为D．若正方体每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面只能是三角形和六边形【答案】ABD【解析】在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，根据所求的结论，建立空间直角坐标系：如图所示：对于选项A：连接和，所以为等边三角形，所以直线与的夹角即为直线与的夹角为，故正确；对于选项B：根据建立的空间直角坐标系：，，，，，，在平面中，设该平面的法向量为，，，所以，解得，同理在平面中，设该平面的法向量为，则，．所以，解得，由于，所以平面平面，故正确；对于选项C：设点到平面的距离为，利用，整理得，解得，故错误；对于选项D：正方体每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面只能是位于个顶点的个等边三角形和三角形和加粗线部分的正六边形（如图所示），故正确，故选ABD．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量与向量共线，则．【答案】【解析】∵向量，向量共线，∴，，则，即，解得，，，∴，故答案为．14．已知等比数列是递增数列，是的前项和，，是方程的两个根，则．【答案】【解析】由题意可知，，又，所以，，故，，，故答案为．15．汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．在一个限速为的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，突然发现有危险情况，同时紧急刹车，但还是发生了交通事故．事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过．已知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间的关系分别为，．根据以上信息判断：在这起交通事故中，应负主要责任的可能是车，理由是．【答案】乙，乙车超过了限定速度【解析】，解得，，解得．根据以上信息判断：在这起交通事故中，应负主要责任的可能是乙车，理由是乙车超过了限定速度．故答案为：乙，乙车超过了限定速度．16．已知为双曲线的右焦点，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，且交另一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率是．【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为，若，可得在直角三角形中，由，可得，，，．故答案为．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知：“实数满足不等式”；：“实数满足不等式，其中实数”．若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】．【解析】因为，所以，解得，可化为，因为，所以，设，，因为是的充分不必要条件，所以，此时有，所以，故实数的取值范围是．18．（12分）如图，在直三棱柱中，，，是的中点，是的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成的角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）取的中点，连结、，因为是的中位线，所以，且，又因为，且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又因为面，面，所以面．（2）连结，，因为，是中点，所以，又因为面面，面，面面，所以面，所以直线为在面内的射影，所以为直线与平面所成的角，设，则在中，，，，所以，所以，所以直线与平面所成的角为．19．（12分）已知数列的前项和，且数列是首项为，公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意，所以，当时，；当时，，又因为适合上式，所以数列的通项公式为．（2）由（1）得，可得，所以，因为，所以．20．（12分）给出下列条件：①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上横坐标为的点到其焦点F的距离等于；④抛物线的准线方程是．（1）对于顶点在原点的抛物线：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线的方程是，并说明理由；（2）过点的任意一条直线与交于，不同两点，试探究是否总有？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）是的，总有，详见解析．【解析】（1）因为抛物线的焦点在轴上，所以条件①适合，条件②不适合．又因为抛物线的准线方程为，所以条件④不适合题意．当选择条件③时，，此时适合题意．故选择条件①③时，可得抛物线的方程是．（2）假设总有，由题意得直线的斜率不为，设直线的方程为，设，，联立方程组，消去，整理得，所以恒成立，，，则，所以，所以，综上所述，无论如何变化，总有．21．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，二面角为，为的中点，点在上，且．（1）求证：四边形为直角梯形；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）因为平面，，所以，因为，且，所以四边形为直角梯形．（2）过点作的垂线交于点，则，，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，由（1）知，又，则为二面角的平面角，则，，所以，，所以，，，所以，，设平面的法向量，则，即，令，则，，所以；又平面的法向量，所以，由题意知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．22．（12分）已知椭圆，为坐标原点，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，且，，依次成等比数列，其离心率为．过点的动直线与椭圆相交于、两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）当时，求直线的方程；（3）在平面直角坐标系中，若存在与点不同的点，使得成立，求点的坐标．【答案】（1）；（2）或；（3）．【解析】（1）由题意知，，解得，，所以椭圆的标准方程为．（2）当直线的斜率不存在时，，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，得，其判别式，设、坐标分别为，，则，，所以，整理得，解得或，所以