高中数学北师大版选修1-1第四章导数应用单元测试2

(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．使函数f(x)＝x＋eq\r(2)cosx在[0，eq\f(π,2)]上取最大值的x为()A．0 B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D.eq\f(π,2)解析：选B.f′(x)＝1－eq\r(2)sinx，所以f(x)在[0，eq\f(π,4)]上是递增的，在[eq\f(π,4)，eq\f(π,2)]上是递减的，所以选B.2．定义在R上的函数y＝f(x)的图像如图所示，则关于x的不等式xf′(x)<0的解集为()A．(－2，－1)∪(1，2) B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(0，1) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选C.当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，又xf′(x)<0，所以x∈(－∞，－1)．当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，又xf′(x)<0，所以x∈(0，1)．综上可知解集为(－∞，－1)∪(0，1)．故选C.3．函数f(x)＝x－aeq\r(x)在x∈[1，4]上是递减的，则实数a的最小值为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D.依题意得，当x∈[1，4]时，f′(x)＝1－eq\f(a,2\r(x))≤0，即a≥2eq\r(x)恒成立．注意到x∈[1，4]时，y＝2eq\r(x)的最大值是2eq\r(4)＝4，因此，实数a的最小值为4，选D.4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值集合为()A．{a|－1<a<2} B．{a|－3<a<6}C．{a|a<－1，或a>2} D．{a|a<－3，或a>6}解析：选D.f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为函数f(x)有极大值和极小值，所以f′(x)＝0有两个不同实根，即Δ>0，(2a)2－4×3(a＋6)>0，解得a<－3或a>6.5．若函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－mlnx在(eq\f(1,2)，＋∞)内是递增的，则实数m的取值范围是()A．m＝eq\f(1,4) B．0<m<eq\f(1,4)C．m≥eq\f(1,4) D．m≤eq\f(1,4)解析：选D.f′(x)＝x－eq\f(m,x)≥0在(eq\f(1,2)，＋∞)上恒成立，即m≤x2，设h(x)＝x2，x∈(eq\f(1,2)，＋∞)的值域为(eq\f(1,4)，＋∞)，所以m≤eq\f(1,4).6．函数f(x)＝eq\f(1,2)ex(sinx＋cosx)在区间[0，eq\f(π,2)]上的值域为()A．[eq\f(1,2)，eq\f(1,2)eeq\s\up6(\f(π,2))] B．(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)eeq\s\up6(\f(π,2)))C．[1，eeq\s\up6(\f(π,2))] D．(1，eeq\s\up6(\f(π,2)))解析：选A.因为f(x)＝eq\f(1,2)ex(sinx＋cosx)＝eq\f(\r(2),2)exsin(x＋eq\f(π,4))，所以f′(x)＝eq\f(\r(2),2)exsin(x＋eq\f(π,4))＋eq\f(\r(2),2)excos(x＋eq\f(π,4))＝exsin(x＋eq\f(π,2))＝excosx.在区间[0，eq\f(π,2)]上f′(x)＝excosx≥0，所以f(x)在区间[0，eq\f(π,2)]上的值域为[f(0)，f(eq\f(π,2))]＝[eq\f(1,2)，eq\f(1,2)eeq\s\up6(\f(π,2))]，故选A.7．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足f(x)＋xf′(x)>0且f(－1)＝0，则f(x)>0解集是()A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)C．(－∞，－1)∪(0，＋∞) D．(－1，0)解析：选C.令F(x)＝xf(x)，由f(x)＋xf′(x)>0知F′(x)>0，F(x)在R上是递增的，又f(－1)＝0，所以F(－1)＝0，当x∈(－∞，－1)时，F(x)＝xf(x)<0，f(x)>0；当x∈(－1，＋∞)时，F(x)＝xf(x)>0，若x∈(－1，0]时，f(x)≤0，若x∈(0，＋∞)时f(x)>0.故f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0，＋∞)．8．已知函数g(x)＝ax3＋bx2＋cx(a∈R且a≠0)，g(－1)＝0，且g(x)的导函数f(x)满足f(0)f(1)≤0.若方程f(x)＝0有两个实根，则eq\f(b,a)的取值范围为()A．[－eq\f(2,3)，2] B．[eq\f(2,3)，1]C．[－eq\f(2,3)，1] D．[－eq\f(2,3)，3]解析：选C.因为g(x)＝ax3＋bx2＋cx，所以g(－1)＝－a＋b－c＝0，即c＝b－a.又f(x)＝g′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由f(0)f(1)≤0，得c(3a＋2b＋c)≤0，所以(b－a)(3b＋2a)≤0.因为a≠0，所以(eq\f(b,a)－1)(3·eq\f(b,a)＋2)≤0，解得－eq\f(2,3)≤eq\f(b,a)≤1.又3ax2＋2bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝(2b)2－4·3a·c＝4b2－12a(b－a)＝4(b－eq\f(3,2)a)2＋3a2>0，满足题意，所以eq\f(b,a)的取值范围是[－eq\f(2,3)，1]．9．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1，2)，则()A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值解析：选C.当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，则f′(x)＝ex(x－1)＋(ex－1)＝exx－1，所以f′(1)＝e－1≠0，所以f(1)不是极值．当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，则f′(x)＝ex(x－1)2＋2(ex－1)(x－1)＝ex(x2－1)－2(x－1)＝(x－1)[ex(x＋1)－2]，所以f′(1)＝0，且当x>1时，f′(x)>0；在x＝1附近的左侧，f′(x)<0，所以f(1)是极小值．10．已知函数f(x)＝|xex|，关于x的方程f2(x)＋tf(x)＋1＝0(t∈R)有四个不等实数根，则t的取值范围为()A．(eq\f(e2＋1,e)，＋∞) B．(2，eq\f(e2＋1,e))C．(－eq\f(e2＋1,e)，－2) D．(－∞，－eq\f(e2＋1,e))解析：选D.设g(x)＝xex，g′(x)＝ex(1＋x)，当x>－1时，g′(x)>0，g(x)是递增的，当x<－1时，g′(x)<0，g(x)是递减的，且x趋于－∞，g(x)趋于0.g(x)最小＝g(－1)＝－eq\f(1,e)，g(0)＝0，所以f(x)＝y＝|xex|的图像如图，由题意知，f(x)有两个不等正值使方程成立．设为a，b(a<b)，则a∈(0，eq\f(1,e))，b>eq\f(1,e).由根与系数的关系eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝t2－4>0,－t＝a＋b>0,1＝ab))，所以－t＝a＋b＝a＋eq\f(1,a)在(0，eq\f(1,e))是递减的，a＋eq\f(1,a)>e＋eq\f(1,e)，故t<－(e＋eq\f(1,e))，即t的取值范围为(－∞，－eq\f(e2＋1,e))．所以选D.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．一个边长为12cm的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，要使方盒的容积最大，x的值应为________．解析：V＝4x(6－x)2＝4(x3－12x2＋36x)(0<x<6)，V′＝12(x2－8x＋12)，令V′＝0得x2－8x＋12＝0，解得x＝2或x＝6(舍去)．答案：2cm12．已知函数f(x)＝x2lnx，则函数f(x)的递减区间是________．解析：f′(x)＝2xlnx＋x2·eq\f(1,x)＝x(2lnx＋1)(x>0)，令f′(x)<0得，0<x<e－eq\f(1,2).所以f(x)的递减区间是(0，e－eq\f(1,2))．答案：(0，e－eq\f(1,2))(写成(0，e－eq\f(1,2)]也正确)13．已知函数f(x)是定义在区间(－1，1)上的奇函数，且对于x∈(－1，1)恒有f′(x)<0成立，若f(－2a2＋2)＋f(a2＋2a＋1)<0，则实数a的取值范围是________．解析：因为当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1，1)上是减少的．由题意，得f(－2a2＋2)<－f(a2＋2a＋1)．又f(x)为奇函数，所以f(－2a2＋2)<f(－a2－2a－1)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1<－2a2＋2<1，,－1<－a2－2a－1<1，,－2a2＋2>－a2－2a－1.))所以－1<a<－eq\f(\r(2),2).答案：(－1，－eq\f(\r(2),2))14．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间[－1，1]上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________．解析：f′(x)＝3x2＋2x－a，由题意知f′(x)在[－1，1]内有一个变号零点，有三种情况：(1)若f′(－1)f′(1)<0，即(1－a)(5－a)<0，所以1<a<5，(2)若eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f′（－1）＝0,f′（1）>0))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a＝0，,5－a>0))所以a＝1.(3)若eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f′（－1）>0，,f′（1）＝0))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a>0，,5－a＝0))无解，故a的取值范围是[1，5)．答案：[1，5)15．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2－3x＋eq\f(4,3)，直线l：9x＋2y＋c＝0，若当x∈[－2，2]时，函数y＝f(x)的图像恒在直线l的下方，则c的取值范围是________．解析：由题意知h(x)＝f(x)＋eq\f(9x＋c,2)<0在[－2，2]上恒成立，h′(x)＝x2－2x＋eq\f(3,2)＝(x－1)2＋eq\f(1,2)>0，h(x)在[－2，2]上是递增的，h(x)最大＝h(2)＝3＋eq\f(c,2)<0，所以c<－6.答案：(－∞，－6)三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝(x2＋a)·ex(x∈R)在点A(0，f(0))处的切线l的斜率为－3.(1)求a的值以及切线l的方程；(2)求f(x)在R上的极大值和极小值．解：(1)f(x)＝(x2＋a)·ex⇒f′(x)＝(x2＋2x＋a)·ex，所以f′(0)＝－3⇒a＝－3，所以f(0)＝－3，切线方程为3x＋y＋3＝0.(2)f(x)＝(x2＋a)·ex⇒f′(x)＝(x2＋2x－3)·ex＝(x＋3)(x－1)ex，由f′(x)＝0⇒x＝－3或x＝1.当x∈(－∞，－3)时，f′(x)>0，f(x)是递增的，当x∈(－3，1)时，f′(x)<0，f(x)是递减的，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)是递增的，所以极大值为f(－3)＝6e－3，极小值为f(1)＝－2e.17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在[－3，1]上的最大值和最小值．解：(1)f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，所以f′(x)＝3x2＋4x－4，令f′(x)>0，则x<－2或x>eq\f(2,3)，令f′(x)<0，则－2<x<eq\f(2,3)，所以递增区间为(－∞，－2)，(eq\f(2,3)，＋∞)，递减区间为(－2，eq\f(2,3))．(2)令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝eq\f(2,3)，x[－3，－2)－2(－2，eq\f(2,3))eq\f(2,3)(eq\f(2,3)，1]f′(x)＋0－0＋f(x)↗13↘eq\f(95,27)↗所以x＝－2为极大值点，x＝eq\f(2,3)为极小值点，又f(－3)＝8，f(－2)＝13，f(eq\f(2,3))＝eq\f(95,27)，f(1)＝4，所以y＝f(x)在[－3，1]上的最大值为13，最小值为eq\f(95,27).18．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x－1－lnx对任意x∈(0，＋∞)，f(x)＋2≥bx恒成立，求实数b的取值范围．解：依题意对任意x∈(0，＋∞)，f(x)＋2≥bx恒成立等价于x－1－lnx＋2≥bx在(0，＋∞)上恒成立．可得b≤1＋eq\f(1,x)－eq\f(lnx,x)在(0，＋∞)上恒成立，令g(x)＝1＋eq\f(1,x)－eq\f(lnx,x)，g′(x)＝eq\f(lnx－2,x2)，令g′(x)＝0，得x＝e2.列表如下：x(0，e2)e2(e2，＋∞)g′(x)－0＋g(x)↘1－eq\f(1,e2)↗所以函数y＝g(x)的最小值为g(e2)＝1－eq\f(1,e2)，根据题意b的取值范围为{b|b≤1－eq\f(1,e2)}．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2－4x＋3(x∈R)．(1)当a＝2时，求f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)在区间(1，2)上为减函数，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝2时，由f(x)＝x3＋2x2－4x＋3知f′(x)＝3x2＋4x－4，f′(1)＝3，又f(1)＝2，故所求切线方程为y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0.(2)由f(x)＝x3＋ax2－4x＋3知f′(x)＝3x2＋2ax－4，因为f(x)在区间(1，2)上是递减的，所以f′(x)≤0在(1，2)上恒成立，即3x2＋2ax－4≤0⇔a≤eq\f(2,x)－eq\f(3,2)x，设h(x)＝eq\f(2,x)－eq\f(3,2)x，x∈(1，2)，所以a≤h(x)min＝h(2)＝－2，故实数a的取值范围为(－∞，－2]．20．(本小题满分13分)如图，在半径为10eq\r(3)cm的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)，记圆柱形罐子的体积为V(cm3)．(1)按下列要求建立函数关系式：①设AD＝xcm，将V表示为x的函数；②设∠AOD＝θ(rad)，将V表示为θ的函数；(2)请您用(1)问中的一个函数关系，求圆柱形罐子的最大体积．解：(1)①AB＝2eq\r(（10\r(3)）2－x2)＝2πr，r＝eq\f(\r(300－x2),π)，V＝f(x)＝π(eq\f(\r(300－x2),π))2·x