专题03 利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离问题（解析版）

专题03利用向量法求线线角、线面角、二面角及距离问题【考点预测】知识点1、设异面直线，的夹角为，方向向量为，，其夹角为，则有．知识点2、设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有．知识点3、设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角的平面角为，则．知识点4、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算．知识点5、在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为．知识点6、点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为．【典型例题】例1．（2023秋·天津·高二校联考期末）已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是（

）．A． B．1 C． D．【答案】A【解析】空间内三点，，，所以，，，，由，所以，所以点A到直线的距离.故选：A.例2．（2023·江苏·高二专题练习）长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，设与的公垂线的一个方向向量为，则，取，得，，即，又，所以异面直线与之间的距离为．故选：D．例3．（2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习）如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且．(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)求直线到平面的距离．【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为；（2）连接，显然，因为，．所以，于是，因为平面，平面，所以平面，因此直线到平面的距离就是点到平面的距离，设平面的法向量为，，则有，，点到平面的距离为：.例4．（2023春·湖南岳阳·高二校联考阶段练习）已知三棱柱各棱长均为2，且在底面内的射影为中点．(1)求与所成角的余弦；(2)线段上是否存在一点，使与平面所成角的余弦值为？若存在，给出点的位置，若不存在，请说明理由．【解析】（1）以为原点，以射线为非负轴建立空间直角坐标系．则．又所以所以所以．（2）设，所以，又，设平面的法向量，则由，得．设与平面所成角为，由已知则，解得所以存在这样的点，且为线段上靠近的三等分点．例5．（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）如图,四棱锥中,底面是边长为2的正方形,,,且,为的中点．(1)求证:⊥平面;(2)求与平面所成角的正弦值;(3)在线段上是否存在点,使得点到平面的距离为？若存在,确定点的位置;若不存在,请说明理由．【解析】（1）因为四边形为正方形,则,,因为,,,且两直线在平面内，∴⊥平面,∵平面,∴,因为,,,且两直线在平面内∴⊥平面,∵平面,∴,∵,且两直线在平面内∴⊥平面.（2）因为⊥平面,,不妨以点为坐标原点,、、所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则、、、,设平面的法向量为,则,,,由,取,可得,,所以,与平面所成角的正弦值为;（3）设点,设平面的法向量为,,,由,取,则,所以,点到平面的距离为,∵,∴．因此,当点为线段的中点时,点到平面的距离为．例6．（2023春·四川德阳·高二四川省广汉中学校考阶段练习）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，，平面ABCD，且，.(1)求证：平面PDC.(2)求平面PBC与平面PBQ所成角的正弦值.【解析】（1）证明：已知四边形ABCD是正方形，所以，又，且，，平面，平面，所以平面平面PDC，而平面，所以平面PDC.（2）因为四边形ABCD是正方形，所以，又平面ABCD，所以PD，AD，CD两两互相垂直，以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，设是平面的一个法向量，则，取，得，设是平面的一个法向量，则，取，得，，则，平面PBC与平面PBQ所成角的正弦值为.例7．（2023春·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，侧棱矩形，且，过棱的中点，作交于点，连接(1)证明：；(2)若，平面与平面所成二面角的大小为，求的值．【解析】（1）证明：因为平面，平面，所以，由底面为矩形，有，而，平面，所以平面，又平面，所以．又因为，点是的中点，所以．而，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以得证．（2）如图，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系．因为，设，（），则，，点是的中点，所以，由，所以是平面的一个法向量；由（1）知，，所以是平面的一个法向量．因为平面与平面所成二面角的大小为，则，解得（负值舍去）．所以，．例8．（2023春·湖北荆州·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，AB=PA=PD=2，O为AD的中点.(1)证明：BC⊥平面POB；(2)若，M为棱BC上一点，，二面角M－PA－B的余弦值为，求的值.【解析】（1）因为，O为的中点，所以，连接，因为，，所以，所以，又，且，平面，所以平面，又，所以平面.（2）由题易得，因为，所以，所以，所以，易得平面，故可以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，，，设，则，由可得，即，所以.设平面的法向量为，则，即，取，则.设平面的法向量为，则，即，取，则.故，解得或，因为点在棱上，所以.例9．（2023春·江苏常州·高二校联考阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点为的中点．(1)求点到平面的距离为；(2)求到平面的距离．【解析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴如图建立空间直角坐标系，则，所以，

设平面的一个法向量为，则，令，所以平面所的法向量为，又所以点到平面的距离.（2）由（1）可得平面的法向量为，∵，∴，，，∴平面，

所以到平面的距离可以转化为点到平面的距离，由，所以到平面的距离为.例10．（2023秋·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期末）如图①菱形，．沿着将折起到，使得，如图②所示．(1)求异面直线与所成的角的余弦值；(2)求异面直线与之间的距离．【解析】（1）图①菱形，，由余弦定理得，所以，所以，即，又，所以，在图②中，，即，又平面所以平面，即平面，又平面，所以，如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，所以，故，则异面直线与所成的角的余弦值为；（2）由（1）得，设是异面直线与公垂线的方向向量，所以，令，则所以异面直线与之间的距离为.【过关测试】一、单选题1．（2023春·四川凉山·高二校考阶段练习）如图所示，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，点在上，且，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则.所以，设平面的法向量为则.所以点B到平面的距离.故选：C2．（2023春·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）如图，已知是侧棱长和底面边长均等于的直三棱柱，是侧棱的中点.则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】取的中点，连接，因为为等边三角形，为的中点，则，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设平面的法向量为，，，由，取，可得，，所以，点到平面的距离为.故选：A.3．（2023春·江苏盐城·高二校考阶段练习）在正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的边长为2.则.由题得.设平面的法向量为.所以，取.设直线与平面所成角为，则.故选：A4．（2023·河北·高二统考学业考试）如图所示的八面体的表面是由2个全等的等边三角形和6个全等的等腰梯形组成，设，，有以下四个结论：①平面；

②平面；③直线与成角的余弦值为

④直线与平面所成角的正弦值为．其中正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】对于①.如图所示，连接,取中点取中点.连接.由等边三角形的性质得，由等腰梯形的性质得.又平面,所以平面.所以.同理又平面,所以平面，所以该结论正确；对于②，首先计算等腰梯形的高，再计算几何体的高.取AB中点O,建立如图所示的空间直角坐标系，设是的中心，是的中心.过作,过作...所以几何体的高为.所以.所以，设平面的法向量为，则，所以,所以平面不正确；对于③，由题得.所以直线与成角的余弦值为，所以该结论正确；对于④，由题得..设平面的法向量为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．所以该结论正确.故选：C5．（2023春·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）已知点，则点到直线的距离是（

）A． B． C． D．5【答案】B【解析】设，可求得，所以．故选：B6．（2023春·安徽合肥·高二校考开学考试）如图，过边长为的正方形的顶点A作线段平面，若，则平面与平面所成的二面角的大小是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】以A为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，可得，设平面的法向量为，则，令，则，即，∵平面的法向量为，则，故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，即二面角的大小是．故选：B．7．（2023秋·江西新余·高二统考期末）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为；过点且一个方向向量为的直线l的方程为.利用上面的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线l是平面与的交线，则直线l与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于，可以整理为，由题意可得：平面过点，且法向量，联立方程，整理可得，由题意可得：直线l过点，且方向向量为，∵，∴故直线l与平面所成角的正弦值为.故选：A.8．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论错误的是（

）A．点到直线CQ的距离是B．C．平面ECG与平面的夹角余弦值为D．异面直线CQ与BD所成角的正切值为【答案】A【解析】，所以选项B正确；如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，,对于A,，，设，则点到直线CQ的距离，所以选项A错误；对于B,,；设平面ECG的法向量的一个法向量为，则，令可得为，同理可求平面的法向量为，，所以选项C正确；对于D，因为，，所以，所以，所以选项D正确．故选：A.二、多选题9．（2023春·湖南长沙·高二浏阳一中校考开学考试）如图所示，在棱长为2的正方形中，点，分别是，的中点，则（）A．B．与平面所成角的正弦值为C．二面角的余弦值为D．平面截正方体所得的截面周长为【答案】BD【解析】以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，对A，，，故与不垂直，A错；对B，，设平面AEF的法向量为，则，令，则有，设与平面AEF所成角为，则，B对；对C，平面EFC的一个法向量为，则，∴二面角的余弦值为，C错；对D，由，，可得，平面AEF截正方体所得的截面为四边形，则有，故平面AEF截正方体所得的截面周长为，D对.故选：BD.10．（2023春·江苏常州·高二校联考阶段练习）在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则（

）A．当时，有且仅有一点P满足；B．若与平面所成角的大小为，则的最大值为；C．当时，满足到直线的距离与到平面ABCD的距离相等的点P有两个；D．E、F分别为的中点，若存在，使成立，则点P的轨迹长度为．【答案】BD【解析】如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，则，，，则，∴.选项A：当时，，，，则，即，即满足条件的P点有无数个，故A错误；选项B：因为平面，所以为平面的一个法向量，又，因为与平面所成角的大小为，所以，化简得，又，，令，，所以，其中，故时，取到最大值，即的最大值为，故B正确；选项C：当时，，则，从而，，，则在上的投影为，则点P到直线的距离；平面ABCD的一个法向量为，，则点P到平面ABCD的距离为；当点P到直线的距离与到平面ABCD的距离相等时，，即，∵，∴方程有一个解，则，即仅存在一个点P满足条件，故C错误；D选项：因为E、F分别为的中点，所以，从而，所以，又，所以，得，又，，记，所以点P的轨迹为平面中的线段MN，其长度为，故D正确.故选：BD.11．（2023秋·广东揭阳·高二统考期末）已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（

）A．直线与直线所成的角为 B．平面C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成角的余弦值为【答案】BD【解析】建立如图所示的空间直角坐标系：.A：，因为，所以，因此该选项不正确；B：，因为，所以，而平面ACD1，因此平面ACD1，所以该选项正确；C：因为平面ACD1，所以是平面ACD1的法向量，，所以点B1到平面ACD1的距离为，因此该选项不正确；D：设直线B1C与平面所成角为，则，所以直线B1C与平面所成角的余弦值，因此该选项正确.故选：BD.12．（2023春·湖北黄冈·高二浠水县第一中学校考阶段练习）已知正方体的棱长为1，是线段上的动点，则下列说法正确的是,（

）A．存在点使 B．点到平面的距离为C．的最小值是 D．三棱锥的体积为定值【答案】AD【解析】以为原点建立如图所示空间直角坐标系，，设，，当时，，此时与重合，所以A选项正确.设平面的法向量为，则，故可设，所以点到平面的距离为，B选项错误.，，，所以当时，取得最小值为，C选项错误.，为定值，D选项正确.故选：AD三、填空题13．（2023春·江苏常州·高二校联考阶段练习）已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为__________．【答案】【解析】由题意可得，所以，设点到平面的距离为，则.故答案为：.14．（2023秋·辽宁丹东·高二统考期末）已知异面直线和的方向向量分别为，则异面直线和所成角的余弦值为______．【答案】【解析】设异面直线和所成角为，则.故答案为：.15．（2023秋·浙江金华·高二统考期末）如图，已知平行四边形，，，，、分别是、的中点．现将四边形沿着直线向上翻折，则在翻折过程中，当点到直线的距离为时，二面角的余弦值为____________．【答案】【解析】连接、，取的中点，连接、，易知，且，则四边形为菱形，易知，则四边形为等边三角形，所以，，同理可知，所以，二面角的平面角为，因为，、平面，所以，平面，且，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，平面内过点且与平面的垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则、、、，，，所以点到直线的距离为，解得.故答案为：.16．（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱，的中点，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论：①平面CMN截正方体所得的截面图形是五边形；②直线到平面CMN的距离是；③存在点P，使得；④直线与平面CMN所成角的正弦值为．其中所有正确结论的序号是______．【答案】①③④【解析】对于，如图直线与的延长线分别交于，连接分别交于，连接，则五边形即为所求的截面图形，故正确；对于，由题知，平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离即为直线到平面的距离，设点到平面的距离为，由正方体的棱长为可得，，，所以，，所以由，可得，所以直线到平面的距离是，故错误；对于，建立如图所示的空间直角坐标系，,设，得,所以因为，所以，即解得满足题意，所以存在点P，使得，故正确；对于，,设平面的法向量为，所以令，则，，所以直线与平面所成角的正弦值为，故正确；故答案为：.四、解答题17．（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，已知底面，底面是正方形，.(1)求证：；(2)求直线PC与平面PBD所成的角的大小.【解析】（1）因为底面，面，所以,又底面是正方形，所以，，面，面，所以面，又面，所以.（2）如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.设，则，所以.设平面的法向量为，由，得到，令，则，所以，设直线与平面所成的角为，则，所以直线PC与平面PBD所成的角的大小为.18．（2023秋·浙江绍兴·高二统考期末）如图，在空间几何体中，均为正三角形，且平面平面，平面平面.(1)求证：平面；(2)是棱上的一点，当与平面所成角为时，求二面角的余弦值.【解析】（1）证明：分别取之中点，连，为正三角形，；又平面平面，平面平面，平面,平面，同理为正三角形，；平面平面，平面平面,平面，故平面，于是.由均为正三角形可知，四边形为平行四边形，从而有∥，平面，平面，于是∥平面.（2）不妨设，连，则由（1）平面知，与平面所成角就是，则，又,，即，又M为的中点，P在上，故为的中点，过点作，垂足为，过作，垂足为，连，又平面平面，平面平面，平面,平面，平面，故,又平面，故平面,则为二面角的平面角，

连接，则，则，,则，于是，故.19．（2023春·江苏·高二阶段练习）如图，在四棱锥中，满足底面．(1)求证：平面平面；(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求B到平面的距离．【解析】（1）连接交于E点，由于在平面内，，所以,则,由于，故,,又，故,所以,则，故,又平面，平面，故，平面，故平面,平面，故平面平面.（2）因为平面，平面，故，又，故以A为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则，故,设平面的法向量为，则,即，令，则，即，平面的法向量可取为，因为平面与平面的夹角的余弦值为，故，解得，则,，所以，由于，故，故,设B到平面的距离，故由得：，解得.20．（2023春·四川乐山·高二四川省乐山沫若中学校考阶段练习）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，平面平面ABEF，．(1)已知点G为AF上一点，且AG=1，求证：平面DCE；(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为，求平面DCE与平面BDF所成锐二面角的余弦值．【解析】（1）连接AE,交BG于点,取DE的中点,连接HO,HC,GE，四边形ABEG为平行