数学-天津市九十六中学2024届高三上学期12月月考试题和答案

第1页/共4页高三年级阶段性检测数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.一、选择题（每题只有一个选项符合题意，每2(x+A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.命题p:vx>0,>0的否定是(),x2+1”x2+1x2+1”3，则a，b，c的大小关系为.5.函数f(x)=ln+cosx在[-π,π]上的大致图象为()A.B.C.D.6.某区为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨将数据[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．若该区有40万居民，估第2页/共4页计居民中月均用水量在[2.5,3)的人数为()A.4.8万B.6万C.6.8万D.12万x2=4y的准线上，则双曲线的方程为()8.已知矩形ABCD的顶点都在球心为O的球面上，AB=6，BC=2，且四棱锥O-ABCD的体积为8，则球O的表面积为()A.64πB.52πC.48πD.π9.已知函数f(x)=2sinxcosx-(sin2x-cos2x)，判断下列给出的四个命题，其中正确的命题有①f(x)的最小正周期为2π;②将函数y=f(x)的图象向左平移个单位，将得到一个偶函数；③函数y=f(x)在区间,上是减函数；④“函数y=f(x)取得最大值”的一个充分条件是“x=”A.0B.1C.2D.第3页/共4页10.i是虚数单位，则复数 =.(1)n11.若（|2xx)|展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是(1)n12.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球若从中任取3球，则恰有一个白球的概率是，若从中不放回的取球2次，每次任取1球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到红球”为事件B，则------=λ，则.的最大值为.（1）求a及sinA的值；(π)（2）求sin|（2A6(π)17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ZABC=ZBAD=90O，AP⊥平面ABCD，AB=BC=2AP=2AD=2，点M、N分别为线段BC和PD的中点.（1）求证：AN⊥平面PDM；（2）求平面PDM与平面PDC夹角的正弦值；（3）在线段PC(不包括端点)上是否存在一点E，使得直线BE与平面PDC所成角的正弦值为，若存在，第4页/共4页求出线身PE的长：若不存在，请说明理由. （1）求椭圆C的标准方程；（2）若经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆C有两个不同的交点P和Q，则是否存在常数k，使得+与共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若Sn+1=3bn，求数列{bn}及数列{anbn}的前n项和Tn.20.已知函数f(x)=-2a2lnx+x2+ax(aeR).（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；（2）求函数f(x)的单调区间；（3）当a<0时，求函数f(x)在区间[1,e]的最小值.高三年级阶段性检测数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.一、选择题（每题只有一个选项符合题意，每【答案】A【解析】【分析】首先确定全集U，根据交集和补集定义直接求解即可.故选：A.2(x+A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据log2(x+1)<1常-1<x<1以及充分不必要条件的定义可得.故选A.【点睛】本题考查了对数不等式以及充分必要条件,属基础题.3.命题p:vx>0,>0的否定是(),x2+1”【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定方法:先改变量词，然后再否定结论，求解即可.第2页/共17页-x-x+1故选：D3，则a，b，c的大小关系为.【答案】D【解析】【分析】利用指数、对数函数性质并借助“媒介”数即可得解.【详解】指数函数y=3x,y=()x分别是R上的增函数和减函数，503故选：D5.函数f(x)=ln+cosx在[-π,π]上的大致图象为(3)A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求函数的定义域，根据函数的奇偶性，排除部分选项，再利用特殊点处的函数值排除不合适的选项，即可得解.第3页/共17页是偶函数，排除A；f(π)=ln_1<lne_1=0，排除B故选：C.6.某区为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨将数据[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．若该区有40万居民，估计居民中月均用水量在[2.5,3)的人数为()A.4.8万B.6万C.6.8万D.12万【答案】B【解析】【分析】由频率分布直方图求出a可得答案.故选：B.x2=4y的准线上，则双曲线的方程为()【答案】D【解析】第4页/共17页【分析】根据题意列出a,b,c满足的等量关系式，求解即可.因为抛物线x2=4y的准线为y=-，故-c=-，又a22故双曲线方程为：-=1.故选：D.8.已知矩形ABCD的顶点都在球心为O的球面上，AB=6，BC=2，且四棱锥O-ABCD的体积为8，则球O的表面积为()A.64πB.52πC.48πD.π【答案】A【解析】【分析】由题意求出矩形的对角线的长，即截面圆的直径，根据棱锥的体积计算出球心距，进而求出球的半径，代入球的表面积公式，可得答案.【详解】解：由题可知矩形ABCD所在截面圆的半径即为ABCD的对角线长度的一半，2由矩形ABCD的面积S=AB.BC=12，13则O到平面ABCD的距离为h13故球的半径R=r22故球的表面积为：4πR2=64π,故选：A.第5页/共17页9.已知函数f(x)=2sinxcosx-(sin2x-cos2x)，判断下列给出的四个命题，其中正确的命题有①f(x)的最小正周期为2π; π②将函数y=f(x) π个单位，将得到一个偶函数；③函数y=f(x)在区间,上是减函数；④“函数y=f(x)取得最大值”的一个充分条件是“x=”A.0B.1C.2D.【答案】D【解析】【分析】利用二倍角公式进行化简得f(x)=2sin(2x+)，求出最小正周期；利用左加右减得出g(x)=2cos2x为偶函数；2x+e(,)，函数单调递减；令2x+=+2kπ,求出函数取最大值时x的集合.【详解】f(x)=2sinxcosx-(sin2x-cos2x)=sin2x+cos2x（1）最小正周期为=π;（2）y=f(x)的图象向左平移个单位得到g(-x)=2cos(-2x)=2cos2x=g(x)，所以g(x)为偶函数；所以函数f(x)=2sin(2x+)在(,)上单调递减；第6页/共17页函数y=f(x)取得最大值”的一个充分条件是“x=所以正确的有3个.故选：Dπ.【点睛】二倍角公式的熟练运用，将函数化简为最简形式，求最小正周期，平移，单调区间，以及最值等都要熟练掌握.10.i是虚数单位，则复数3-i =.【答案】-i【解析】【分析】对复数进行分母实数化即可化简.(1)n11.若（|2x-x)|展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是________(1)n【答案】60【解析】【分析】先根据二项式系数之和求出n，然楼根据展开式的通式，令x的次数为零即可得常数项.(1)n(1)n6，其展开式的通式为Tr+1=C(2x)6-rrr26-rCx6-2故答案为：60.12.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球若从中任取3球，则恰有一个白球的概率是，若从中不放回的取球2次，每次任取1球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到红球”为事件B，则第7页/共17页【答案】【解析】①.②.【分析】（1）直接使用公式2）条件概率公式的使用.【详解】恰有一个白球的概率P==；由题可知A=“第一次取到红球”，B=“第二次取到红球”，则故答案为：，【答案】3【解析】【分析】利用“1的代换”将+b +ab +ab的最小值3.故答案为：3.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误.【解析】【分析】根据圆心和切点的连线与直线2x一y+3=0垂直列方程，由此求得m的值，利用两点间的距离公第8页/共17页---AC=---------AC=------AB+AD式求得圆的半径，进而求得圆的标准方程.------=λ，则.的最大值为.【答案】①.2②.【解析】------------------------【分析】由.=8求出.，然后由AC=AB+AD平方后求得AC，把AF,FE用AB,------------------------表示后求数量积化为λ的函数可得最大值.2((22------------------------2------------------------------------------------------------.=λ(λ)2+(2λ2λ+).+λ(1λ)2=16λ(λ)+4(2λ2λ+)+4λ(1λ)=12(λ2λ)+2=12(λ)2+，所以λ=时，.取得最大值.故答案为：2；.第9页/共17页（1）求a及sinA的值；【解析】再利用正弦定理可求得sinA的值2）利用（1）的结论，由同角三角函数之间的关系可求得cosA,再利(π)用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式可得sin|（2A-6(π)试题解析1）由已知=4，且,:b=，在中.（2）"17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，经ABC=经BAD=90。，AP⊥平面ABCD，AB=BC=2AP=2AD=2，点M、N分别为线段BC和PD的中点.第10页/共17页（1）求证：AN⊥平面PDM；（2）求平面PDM与平面PDC夹角的正弦值；（3）在线段PC(不包括端点)上是否存在一点E，使得直线BE与平面PDC所成角的正弦值为，若存在，求出线身PE的长：若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；）；（3）存在，PE=.【解析】【分析】(1)证明AN⊥PD，再证MD⊥平面APD得MD⊥AN即可；(2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出各点坐标，求出平面PDM和平面PDC的法向量，利用向量方法即可求解；(3)利用(2)中空间直角坐标系，利用向量方法即可求解.【小问1详解】方法一：∵AD∥BC，且AD=BC，∴BM∥AD，且BM=AD，∴四边形ADMB是平行四边形，∴AB∥DM，∵AP⊥平面ABCD，DM平面ABCD，∴AP⊥DM，又ADnAP=A，∴DM⊥平面PAD，又AN平面PAD，∴DM⊥AN，∴PD⊥AN，又DMnPD=D，PD、DM平面PDM，∴AN⊥平面PDM；方法二：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设平面PDM的法向量为=(x,y,z)，，2---1--2AN=m，则AN∥m，∴AN⊥平面PDM；设平面PDM与平面PDC的夹角为θ,-则 则 -mn 3sinθ=1-cos2θ=1， 3∴平面PDM与平面【小问3详解】第12页/共17页------假设存在点E，设PE=λPC(0<λ<1)------λ,2λ,λ)，---------(2λ2,2λ,1---------设直线BE与平面PDC所成角为Q，---BE.n---BEn---BE.n---BEn则化简得9λ210λ+1=0，即(9λ1)(λ1)=---1------1---------1∴线段PE的长为e=，点e=，点A(a,0)、B(0,b)之间的距离为222（1）求椭圆C的标准方程； )且斜率为 )且斜率为k的直线l与椭圆C有两个不同的交点P和Q，则是否存在常数k，使得+与共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由.x22（2）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据两点间距离公式，结合椭圆离心率公式进行求解即可；（2）设出直线l的方程与椭圆的标准方程联立，根据一元二次方程根与系数关系、根的判别式，结合平面向量线性运算的坐标公式、平面共线向量的性质进行求解判断即可.【小问1详解】因为点A(a,0)、B(0,b)之间的距离为第13页/共17页所以a22(a22lb(a22lb2|a22cl|a2=b2+cl2，牵【小问2详解】设l的方程为y=kx+，与椭圆的标准联立为：(x22(x22于是有于是有(4k)2x+x-4(1+2k2).2>0牵k2>，此时设P(x1,y2),Q(x2,y2)，-4k假设存在常数k，使得+与共线，22) 2所以k.+4=-牵 2-4k2不满足k2> 1,2------因此不存在常数k，使得OP+OQ与------【点睛】关键点睛：利用一元二次方程的判别式和根与系数的关系是解题的关键.（1）求数列{an}的通项公式；（2）若Sn+1=3bn，求数列{bn}及数列{anbn}的前n项和Tn.第14页/共17页(neN*)；【解析】2)q22通项公式；bn可得bn=n，可得anbn=2nx3n1，利用错位相减法即得；（3）可得cn 2x3n1n12x3n(2x31+1)，利用裂项相消法即得.【小问1详解】2)，na3(neN*)；【小问2详解】nnbn，可得{anbn}的通项公式：anbn=2nx3n一1，3T1第15页/共17页23n-1-2nnn3-1n-1，nn22【小