第11章 三角形（培优卷）（解析版）

第11章三角形（培优卷）一．选择题（每小题3分，共24分）1.若长度分别是a、2、6的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A．2 B．3 C．5 D．9【答案】C【解析】当6是最大边时，a+2>6，a>4，当a是最大边时，a<2+6，a<8，∴4<a<8．故选：C．2.如图，△ABC的面积是24，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（

）A．9 B．9.5 C．10.5 D．10【答案】A【解析】解：∵点D是BC的中点，∴AD是△ABC的中线，∴△ABD的面积＝△ADC的面积＝×△ABC的面积，同理得：△AEF的面积＝×△ABE的面积＝×△ABD的面积＝×△ABC的面积＝×24＝3，△AEG的面积＝3，△BCE的面积＝△BDE的面积＋△CDE的面积＝△ABD的面积＋△ADC的面积＝×△ABC的面积＝12，连接BG，又∵F、G分别是BE和CE的中点，∴△EFG的面积＝△BGE的面积＝××△BCE的面积＝△BEC的面积＝×12＝3，∴△AFG的面积＝△AEF的面积＋△AEG的面积＋△EFG的面积＝3＋3＋3＝9，故选：A．3.如图是某小区花园内用正边形铺设的小路的局部示意图，若用块正边形围成的中间区域是一个小正方形，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：正方形的一个内角是，正边形的一个内角，正边形的一个外角，，故选：C．4.如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是(

)A．7 B．10 C．11 D．14【答案】B【解析】已知4条木棍的四边长为3、4、6、8；选3+4、6、8作为三角形，则三边长为7、6、8；，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为8；选4+6、8、3作为三角形，则三边长为10、8、3，，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为10；选6+8、3、4作为三角形，则三边长为14、3、4；，不能构成三角形，此种情况不成立；选3+8、4、6作为三角形，则三边长为11、4、6；，不能构成三角形，此种情况不成立；综上所述，任两螺丝的距离之最大值为10；故选：B．5.如图，已知△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD与CE交于O点，如果设∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC的度数是（）A．45°+n° B．90°﹣n° C．90°+n° D．180°﹣n°【答案】D【解析】解：∵BD、CE分别是边AC，AB上的高，∴∠ADB＝∠BDC＝90，又∵∠BAC＝n，∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠A＝180﹣90﹣n＝90﹣n，∴∠BOC＝∠EBD+∠BEO＝90°﹣n+90°＝180﹣n．故选：D．6.一副三角板如图放置，则的度数为（

）A．；B．；C．；D．【答案】B【解析】延长BE交AC于D∵是的外角∴①在中，②由①②得：故：故选：B7.有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（）A.144° B.84° C.74° D.54°【答案】B【解析】正五边形的内角是∠ABC==108°，∵AB=BC，∴∠CAB=36°，正六边形的内角是∠ABE=∠E==120°，∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°，∴∠ADE=360°–120°–120°–36°=84°，故选B．8.如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于，交于，下列说法正确的是（

）①；②；③；④A．①③ B．①②③ C．①③④ D．②③④【答案】C【解析】解：①∵∠CAB=90°，AD是高，∴∠AEG=90°−∠ABE，∠DGB=90°−∠DBG，∵BE是角平分线，∴∠ABE=∠DBE，∴∠AEG=∠DGB，∵∠DGB=∠AGE，∴∠AEG=∠AGE，故该说法正确；②因为CF是中线，BE是角平分线，得不到∠HCB=∠HBC，故该说法错误；③∵∠EAG+∠DAB=90°，∠DBA+∠DAB=90°，∴∠EAG=∠DBA，∵∠DBA=2∠EBC，∴∠EAG=2∠EBC，故该说法正确；④根据中线平分面积，可得S△ACF=S△BCF，故该说法正确．故选：C．二．填空题（每小题2分，共16分）9.已知a，b，c是的三边长，则______．【答案】【解析】∵a，b，c是的三边长，∴a+c＞b，b+c＞a，∴==，故答案为：．10.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为___________．【答案】6【解析】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，∴内角和是720度，，∴这个多边形是六边形．故答案为：6．11.等腰三角形的周长为，若有一边长为，则等腰三角形的其他两边长分别是____________．【答案】9cm、1cm或5cm、5cm．【解析】解：①当9cm为腰长时，则腰长为9cm，底边=19-9-9=1cm，因为9+1＞9，所以能构成三角形；②当9cm为底边时，则腰长=（19-9）÷2=5cm，因为5+5＞9，所以能构成三角形．则等腰三角形其他两边长分别为9cm、1cm或5cm、5cm．故答案为：9cm、1cm或5cm、5cm．12.如图正八边形ABCDEFGH中，延长对角线BF与边DE交于点M，则______°．【答案】22.5【解析】解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠DEF=（8-2）×180°÷8=135°，∴∠FEM=45°，∴∠DEF=∠EFG，∵BF平分∠EFG，∴∠EFB=∠BFG=∠EFG=67.5°，∵∠BFE=∠FEM+∠M，∴∠M=∠BFE-∠FEM，∴∠M=22.5°．故答案为：22.5．13.如图，分别是的边上的中点，连接交于点，，的面积为，设的面积为，的面积为，则_______．【答案】2【解析】解：∵D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，∴AD=DB，AF=CF，BE=EC，∴△BDG的面积=△ADG的面积，△CFG的面积=△AGF的面积，△BEG的面积=△ECG的面积．∵AG=2GE，∴△ABG的面积=2△BEG的面积，△ACG的面积=2△ECG的面积，∴△ADG，△BDG，△BEG，△AFG，△FCG，△ECG的面积相等，∴S1+S2=•S△ABC=2，故答案为：2．14.已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，若，，则DE的长为______．【答案】0.5或1.5【解析】解：AD、AE分别是△ABC的高和中线，，，如图，当是钝角三角形时，当是锐角三角形时，当是直角三角形时，，不合题意，故答案为：或15.如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则________．【答案】68【解析】解：延长BE交AC于D，延长CF交BD于G，故答案为：16.如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…，以此类推得到∠A2022，则∠A2022的度数等于____．【答案】【解析】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，∴∠A1BC=∠ABC，∠A1CD=∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，∴(∠A+∠ABC)=∠ABC+∠A1，∴∠A1=∠A，∵∠A=α，∴∠A1=；同理可得∠A2=∠A1=，∴∠An=，∴∠A2022=，故答案为：．三．解答题（共60分）17.（6分）如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′，利用网格点画图：（1）补全△A′B′C′；（2）画出△ABC的中线CD与高线AE；（3）△A′B′C′的面积为.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）8【解析】（1）（2）如图，（3）S△A′B′C′=S△ABC=×AE×BC=×4×4=8.故答案为8.18.（8分）如图，在中（），，边上的中线把的周长分成和两部分，求和的长．【答案】，【解析】由题意知，，∵，D为BC中点∴∴即则BC=24，CD=BD=12则且28＞24符合题意．19.（8分）如果一个多边形的各边都相等且各角也都相等，那么这样的多边形叫做正多边形，如下图所示就是一组正多边形．（1）观察上面每个正多边形中的∠a，填写下表：正多边形边数456...n∠a的度数

...

（2）是否存在正n边形使得∠a＝12°？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，15【解析】解：（1）正多边形的每一个外角都相等，且等于则正多边形的每个内角为，根据题意，正多边形的每一条边都相等，则所在的等腰三角形的顶角为：，另一个底角为，当时，当时，当时，故答案为：（2）存在．设存在正n边形使得，∴，解得．20.（8分）如图，在中，、分别是的高和角平分线，．(1)若，求的度数；(2)试用、的代数式表示的度数_________．【答案】(1);(2)【解析】(1)解：，，是的平分线，．是高线，，，．(2)解：，;，是的平分线，．是高线，，，．21.（10分）如图，中，，，，．若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒设运动的时间为秒．(1)当______时，把的周长分成相等的两部分？(2)当______时，把的面积分成相等的两部分？(3)当为何值时，的面积为？【答案】(1)6;(2)6.5;(3)当t为2或6.5时，的面积为【解析】(1)解：在中，，的周长为，∴当CP把的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时．∵运动速度为每秒2cm，解得故当t为6时，CP把的周长分成相等的两部分．(2)解：∵当点P在AB中点时，CP把的面积分成相等的两部分，此时AP==5cm∴，解得，故当t为6.5时，CP把的面积分成相等的两部分．(3)解：分两种情况：当点P在AC上时，，解得；当点P在AB上时，，，∴点P为AB的中点，解得．当t为2或6.5时，的面积为．22.（10分）如图，在中，是边上的高，是边上的高，、交于点，平分(1)若，①求的度数．②若平分，试判断与的位置关系，并说明理由．(2)设，则______（用含的代数式直接表示）．【答案】(1)①∠CFG；②FG∥AH；(2)180°-α【解析】(1)解：①∵BD是AC边上的高，CE是AB边上的高，∴∠CEA=∠ADB=90°，∵∠BAC=56°，∠ACB=70°，∴∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=54°，∴∠ABD=90°-∠BAC=34°，∠ACE=90°-∠BAC=34°，∴∠FBG=∠ABC-∠ABD=20°，∠FCG=∠ACB-∠ACE=36°，∴∠BFC=180°-∠DBC-∠FCG=124°，∵FG平分∠BFC，∴∠CFG=；②∵AH平分∠BAC，∴∠BAH=，∴∠BHA=180°-∠HAB-∠ABH=98°，在∆BGF中，∠FGB=180°-∠FBG-∠BFG=98°，∴FG∥AH；(2)∵BD是AC边上的高，CE是AB边上的高，∴∠CEA=∠ADB=90°，∵∠BAC=α，∠ABC+∠ACB=180°-α，∴∠ABD=90°-∠BAC=90°-α，∠ACE=90°-∠BAC=90°-α，∴∠FBG+∠FCG=∠ABC+∠ACB-∠ABD-∠ACE=180°-α-(90°-α)-(90°-α)=α，∴∠BFC=180°-∠FBG-∠FCG=180°-α，故答案为：180°-α．23.（10分）如图1，AB与CD相交于点O，若，，和的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试求：（1）的度数；（2）设，，，，其他条件不变，如图2，试问与、∠B之间存在着怎样的数量关系（用、表示），直接写出结论．【答案】(1)33°；(2)．