线性离散系统与Z变换

关于线性离散系统与Z变换第6章离散控制系统与Z变换6.1概述6.2采样过程与采样定理6.3Z变换和Z反变换6.4脉冲传递函数6.5离散系统的稳定性分析6.6数字控制器与离散PID控制第2页,共84页，2024年2月25日，星期天6.1概述在连续控制系统中，所有传递的信号（控制信号、反馈信号、偏差信号）都是时间的连续函数；而在离散控制系统中，上述信号不是时间变量的连续函数，而是时间上离散的脉冲序列或数码，即离散信号。离散信号通常是按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行采样而得到的，这样的信号又称为采样信号。第3页,共84页，2024年2月25日，星期天通常把用采样开关（采样器）将连续信号转换为脉冲序列形式的离散系统称为采样控制系统或脉冲控制系统。把用模-数转换器（A/D）将连续信号转换为数字序列形式并用数字计算机或控制器进行控制的离散系统称为数字控制系统或计算机控制系统。第4页,共84页，2024年2月25日，星期天图6-1为典型的闭环采样控制系统原理图连续偏差信号瞬时脉冲幅值实现脉冲序列转换为连续信号图6-1典型的闭环采样控制系统原理图第5页,共84页，2024年2月25日，星期天图6-2为典型的计算机控制系统原理图图6-2典型计算机控制系统原理图第6页,共84页，2024年2月25日，星期天图6-3为计算机控制系统结构图理想采样开关图6-3计算机控制系统结构图第7页,共84页，2024年2月25日，星期天离散控制系统广泛应用的主要原因：

（1）由数字计算机构成的数字校正装置易于通过改变计算程序而灵活地实现控制规律的改变（如自适应、最优化、智能控制等），从而可以大大地提高控制系统的性能；

（2）采用高灵敏度的控制元件，可以提高系统的控制精度；

（3）离散信号的传递可以有效地抑制噪声，提高系统的抗干扰能力；

（4）用一台计算机分时控制若干个被控对象，以提高设备的利用率。第8页,共84页，2024年2月25日，星期天6.2采样过程与采样定理一、采样过程二、采样定理

采样信号的拉氏变换采样信号的频谱采样定理三、信号保持第9页,共84页，2024年2月25日，星期天一、采样过程采样过程，即按照一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其变换为在时间上离散的脉冲序列的过程。把连续信号转换为脉冲序列的装置称为采样器，又称采样开关。第10页,共84页，2024年2月25日，星期天图6-4采样过程采样器每隔时间T瞬时闭合一下立即打开，闭合的时间为τ，当信号x(t)加在输入端时，在输出端得到的是开关闭合瞬时输入信号x(t)的幅值，在开关打开的时间内，输出端没有信号。图6-4采样过程第11页,共84页，2024年2月25日，星期天图6-5采样信号的调制过程图6-5采样信号的调制过程第12页,共84页，2024年2月25日，星期天实际脉冲序列数学表达式:当实际脉冲持续时间h远远小于采样周期T0时，实际脉冲序列可近似用平顶脉冲序列表示。第13页,共84页，2024年2月25日，星期天其中表示发生在nT0时刻单位强度脉冲表示发生在nT0时刻强度为ε(nT0)脉冲当脉冲持续时间h远远小于小于周期T0，同时也远远小于用以描述数字控制系统中具有连续工作状态部分惯性的时间常数时，式中表示发生在t=nT0时刻的具有单位强度的理想脉冲，即第14页,共84页，2024年2月25日，星期天从物理意义上讲，上述采样过程可以理解为脉冲调制过程。采样器是一种理想脉冲发生器，通过它将连续函数调制成理想脉冲序列。第15页,共84页，2024年2月25日，星期天二、采样定理1、采样信号的拉氏变换2、采样信号的频谱3、采样定理第16页,共84页，2024年2月25日，星期天1、采样信号的拉氏变换第17页,共84页，2024年2月25日，星期天2、采样信号的频谱由于采样信号x*(t)只描述了x(t)在采样瞬时的数值，所以X*(s)不能给出连续函数x(t)在采样间隔之间的信息。因此，采样信号的频谱与连续信号的频谱相比要发生变化。研究采样信号的频谱，目的是找出X*(s)与X(s)之间的相互联系。第18页,共84页，2024年2月25日，星期天

图6-7连续信号的频谱通常连续信号x(t)的频谱|X(jω)|是单一的连续频谱，如图6-7所示。其中ωmax为连续频谱的最大截止频率；第19页,共84页，2024年2月25日，星期天离散信号x*(t)的频谱则是以采样角频率ωs为周期的无穷多个频谱之和，如图6-8所示，其中n=0时，|X(jω)|为采样频谱的主频谱，其余频谱（n=±1,±2,…）都是由于采样而引起的高频频谱。第20页,共84页，2024年2月25日，星期天图6-8离散信号的频谱根据采样角频率ωs的大小，采样频谱可能有两种情况：一种是采样角频率ωs大于两倍的连续频谱的最大截止频率ωmax，即ωs≥2ωmax，此时，采样信号的频谱不会发生重迭，如图6-8(a)所示；另一种情况是当ωs＜2ωmax时，采样信号的频谱相互发生重迭，如图6-8(b)所示。图6-8离散信号的频谱第21页,共84页，2024年2月25日，星期天图7-7离散信号的频谱当ωs≥2ωmax时，如果用一个如图6-8（a）虚线所示的低通滤波器滤掉|ω|>ωmax的高频分量，那么在滤波器输出端便可得到|X(jω)|的连续频谱，除了幅值变化1/T倍外，频谱形状没有畸变，从而可以将原信号恢复出来。当ωs<2ωmax时，就是采用低通滤波器也无法恢复原信号。综上所述，可以归纳出一条重要结论，即采样定理。

图6-8离散信号的频谱第22页,共84页，2024年2月25日，星期天3、采样定理为了使采样后的信号不丢失原连续信号的信息，或者说为了能将采样后的离散信号x*(t)恢复为原连续信号x(t)，必须满足：采样频率ωs大于或等于两倍连续输入信号x(t)频谱的上限频率ωmax，即ωs≥2ωmax

在控制工程实践中，一般总取ωs>2ωmax,，而不取恰好等于2ωmax的情形。第23页,共84页，2024年2月25日，星期天三、信号保持（1）在离散控制系统中，把离散脉冲序列较准确的转变为连续信号的过程称为信号复现过程。实现复现过程的装置称为保持器。从数学上说，保持器的任务是解决各采样点之间的插值问题。第24页,共84页，2024年2月25日，星期天三、信号保持（2）在满足采样定理的条件下，采用理想滤波器滤去各高频分量，保留主频谱，就可以无失真的复现采样器的输入信号。理想滤波器实际上是不存在的。工程上，通常只能采用接近于理想滤波器的低通滤波器来近似代替。第25页,共84页，2024年2月25日，星期天图6-9零阶保持器的输出特性

零阶保持（滞后）图6-9零阶保持器的输出特性第26页,共84页，2024年2月25日，星期天图6-10零阶保持器的频率特性

图6-10零阶保持器的频率特性图第27页,共84页，2024年2月25日，星期天图6-10零阶保持器的频率特性

第28页,共84页，2024年2月25日，星期天6.3Z变换和Z反变换Z变换是从拉氏变换引伸出来的一种变换方法。利用Z变换可将描述离散系统动态过程的差分方程转换为代数方程，使求解过程大为简化。因此，Z变换成为分析离散控制系统的重要数学工具。第29页,共84页，2024年2月25日，星期天6.3Z变换和Z反变换一、Z变换的定义二、Z变换的基本定理

1、线性定理2、滞后定理

3、超前定理4、初值定理

5、终值定理6、位移定理三、Z反变换第30页,共84页，2024年2月25日，星期天一、Z变换的定义(1)由连续函数x(t)得拉氏变换为设x(t)的采样信号为x*(t)，则其拉氏变换式为第31页,共84页，2024年2月25日，星期天一、Z变换的定义(2)在上式中，e-Ts是s的超越函数，不便直接运算。为了便于应用，令变量

z=eTs

（6-16）将式（6-16）代入式（6-15）中，则采样信号x*(t)的Z变换定义为第32页,共84页，2024年2月25日，星期天一、Z变换的定义(3)Z变换是拉氏变换的一种变形。Z变换只是表示了连续信号在采样时刻的特性，并不能反映采样时刻之间的特性。上式中Z[x(t)]是为了书写方便，并不意味着对连续信号x(t)取Z变换，而是仍指采样信号x*(t)的Z变换。第33页,共84页，2024年2月25日，星期天例6-1

求单位阶跃函数l(t)的Z变换。第34页,共84页，2024年2月25日，星期天例6-2求指数函数e-αt的Z变换。第35页,共84页，2024年2月25日，星期天例6-3第36页,共84页，2024年2月25日，星期天对于任意G(s)，只要它为s的有理函数，且分母多项式能够分解因式时，都可以通过部分分式法，将其分解为部分分式，然后求出相应的Z变换式。附录中列出了常用时间函数的Z变换和拉普拉斯变换式，利用此表可以根据给定的时间函数或拉普拉斯变换式直接查出对应的Z变换。第37页,共84页，2024年2月25日，星期天二、Z变换的基本定理1、线性定理2、滞后定理3、超前定理4、初值定理5、终值定理6、位移定理第38页,共84页，2024年2月25日，星期天1、线性定理Z变换也遵从线性函数的齐次性和迭加性。第39页,共84页，2024年2月25日，星期天2、滞后定理(平移定理)若函数x(t-mT)比函数x(t)右移（滞后）m个采样周期，且x(t)的Z变换为X(z),则有滞后定理说明，原函数在时域中滞后m个采样周期，相当于其Z变换乘以z-m。显然，算子z-m有明确的物理意义：z-m代表时域中的滞后环节，它将采样信号滞后m个采样周期。第40页,共84页，2024年2月25日，星期天3、超前定理(正偏移定理)若函数x(t+mT)比函数x(t)左移（超前）m个采样周期，且x(t)的Z变换为X(z)，则超前定理说明，原函数在时域中超前m个采样周期，相当于其Z变换乘以zm。第41页,共84页，2024年2月25日，星期天4、初值定理第42页,共84页，2024年2月25日，星期天5、终值定理第43页,共84页，2024年2月25日，星期天6、复数位移定理第44页,共84页，2024年2月25日，星期天三、Z变换方法1、级数求和法2、部分分式法3、留数计算法第45页,共84页，2024年2月25日，星期天2.部分分式法设连续时间函数x(t)的拉氏变换X(s)为有理函数，即将X(s)展成部分分式形式可得由拉氏反变换可知,的时间函数为第46页,共84页，2024年2月25日，星期天可得,Ｘ(s)的Z变换为的Z变换为例6.3、6.4第47页,共84页，2024年2月25日，星期天3.留数计算法设连续时间函数x(t)的拉氏变换X(s)及其全部极点pi（i=1,2,3…)为已知，则连续时间函数x(t)的Z变换可由留数计算法求得例6.5、6.6第48页,共84页，2024年2月25日，星期天四、Z反变换第49页,共84页，2024年2月25日，星期天2.部分分式法与应用部分分式法求拉氏反变换相似。与它对应的时间函数为式中Z变换为所以x(t)的Ｚ变换为可得第50页,共84页，2024年2月25日，星期天例6.11、6.123.留数计算法

由反演积分法推导出，参见胡寿松（第四版）教材。例6.13、6.14、6.15根据的极点分布情况，

（1）极点不同时，第51页,共84页，2024年2月25日，星期天五、连续系统的离散化方程－差分方程差分方程是用来描述离散化系统的一种数学模型。对于一般的离散系统，如果它的Z变换可以写成第52页,共84页，2024年2月25日，星期天则根据Z反变换，它的差分方程可以写成如下例6.16、6.17第53页,共84页，2024年2月25日，星期天六、用Z变换法求解差分方程

用Z变换法求解差分方程，与用拉氏变换法求解微分方程类似。采用Z变换法求解差分方程的实质是将差分方程变换成以z为变量的代数方程，通过该代数方程，获得差分方程的解。第54页,共84页，2024年2月25日，星期天六、用Z变换法求解差分方程设x(k)的Z变换为Z[x(k)]=X(z)，则x(k+1)的Z变换为同样，当m为正整数时，则有例6.18、6.19第55页,共84页，2024年2月25日，星期天6.4脉冲传递函数1、脉冲传递函数的定义2、开环系统的脉冲传递函数（串联时的脉冲传递函数）3、闭环系统的脉冲传递函数第56页,共84页，2024年2月25日，星期天1、脉冲传递函数定义第57页,共84页，2024年2月25日，星期天1、脉冲传递函数定义系统输出采样信号的Z变换与输入采样信号的Z变换之比。脉冲传递函数求解步骤：1）求出系统的传递函数G(s).2）根据拉氏变换，求脉冲响应函数g(t).3）计算例6.20第58页,共84页，2024年2月25日，星期天2、开环系统的脉冲传递函数（串联时的Z传递函数）第59页,共84页，2024年2月25日，星期天3、闭环系统的脉冲传递函数第60页,共84页，2024年2月25日，星期天3、闭环系统的脉冲传递函数第61页,共84页，2024年2月25日，星期天3、闭环系统的脉冲传递函数第62页,共84页，2024年2月25日，星期天第63页,共84页，2024年2月25日，星期天第64页,共84页，2024年2月25日，星期天3、闭环系统的Z传递函数第65页,共84页，2024年2月25日，星期天3、闭环系统的Z传递函数第66页,共84页，2024年2月25日，星期天3、闭环系统的Z传递函数第67页,共84页，2024年2月25日，星期天6.5离散系统的稳定性分析一、[s]平面到[z]平面之间的映射二、线性离散系统稳定性的充要条件三、线性离散系统稳定性的判别方法第68页,共84页，2024年2月25日，星期天一、[s]