2023-2024学年河北省沧衡高二年级下册期中数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年河北省沧衡高二下学期期中数学模拟试题

一、单选题

1.甲工厂有80名工人，乙工厂有60名工人，丙工厂有70名工人，现从中选取1人参加技术培训,

则不同的选法有（）

A.180种B.210种C.240种D.270种

【正确答案】B

【分析】根据分类加法计数原理求得正确答案.

【详解】依题意可知，不同的选法有80+60+70=21（）种.

故选：B

2.已知数列满足4=1，。向=击，若/=：，则W=（）

VtlJ

A.6B.5C.4D.3

【正确答案】D

【分析】通过递推公式逐个求解项，对照选项可得答案.

ɪ

【详解】因为q=「2，所以劣=!，-~~~y=~ɪr=~»

l+%-21+W1+15

4

210

&S10a,29_290

41+4；J巴29，l+a;ΓjOθ=94Γ

ɪH-----

25841

⅞2902

6-1+5―9412+*462902W5；

2

因为所以帆=3∙

故选：D.

3.已知XB(4p),且3E(X)=IOD(X),则〃=()

A.0.3B.0.4C.0.7D.0.8

【正确答案】C

【分析】根据二项分布期望、方差公式及已知列方程求〃即可.

【详解】由题设，E(X)=叩,D(X)=np(l-p),贝IJ3〃P=IO叩(l-p),

7

所以P=

故选：C

4.若卜+一）的展开式中所有项的系数之和为64,则展开式中的常数项为（）

A.15B.20C.28D.35

【正确答案】A

【分析】先根据所有项的系数之和求出〃，再利用通项公式可得常数项.

【详解】因为［/+g）的展开式中所有项的系数之和为64,所以2"=64,解得〃=6；

2,t

卜2+的通项公式为TM=C（χ2广，（XT丫=C*√-,0≤⅛≤6,⅛∈N,

令12-3%=0得％=4,所以常数项为C：=15.

故选：A.

5.甲、乙、丙3人准备前往A,B,C,。这4个景点游玩，其中甲和乙已经去过A景点，本次不再

前往A景点游玩，若每个人都至少选择1个景点但不超过3个景点游玩，则3人可组成的不同的游

玩组合有（）

A.735种B.686种C.540种D.465种

【正确答案】B

【分析】先确定甲乙的选择，再确定丙的选择利用分步计数原理和组合知识可求答案.

【详解】因为甲和乙已经去过A景点，本次不再前往A景点游玩，

所以两人可以从8,C,。这3个景点中，选择1个，2个或3个去游玩，

两人的选择方法均为：C；+C；+C；=3+3+l=7（种）；

而丙的选择方法有：C；+C：+C：=4+6+4=14（种）；

所以3人可组成的不同的游玩组合有：7x7x14=686（种）.

故选：B.

6.已知直线x=α（α>0）与函数/（x）=f,g（x）=—/的图象分别交于点A,β,则IABl的最小值

为（）

A.8B.10C.12D.16

【正确答案】C

【分析】由题设可得IABl=Y+/,利用三元基本不等式求其最小值，注意取值条件.

【详解】由题设，A（4,3）,B（a,-a2）,且α>0,

所以MBl="+°2=号+&+°223Jrq=I2,

aaaNaa

Q

当且仅当3="2,即4=2时等号成立，

a

综上，IABl的最小值为12.

故选：C

7.2022年卡塔尔世界杯是第二十二届国际足联世界杯，于当地时间2022年11月20日至12月18

日在卡塔尔境内5座城市中的8座球场举行.本届世界杯的赛制规定：从小组赛晋级的16支球队将

被自动分成8组，每组的2支球队比赛一场，获胜的球队晋级1/4决赛.若从小组赛晋级的16支球队

中选出4支球队，且恰有2支球队来自同一组，则不同的选择方法有（）

A.672种B.728种C.764种D.800种

【正确答案】A

【分析】首先考虑恰有2支球队来自同一组的选法，再确定另外2支不同组的选法，利用分步计数

乘法原理求出结果.

【详解】因为小组赛晋级的16支球队自动分成8组，从中选4支，2支球队来自同一组，

所以要先从8组中选一组，有C；种选法，这组两支球队全选，保证2支球队来自同一组;

再从剩余7组中选2组，每一组选1支球队，这2支球队来自不同组，有C；C；C；种选法,

所以不同的选择方法有CCC；C；=672种.

故选：A.

8.“杨辉三角”是中国古代数学家杨辉杰出的研究成果之一.如图，从杨辉三角的左腰上的各数出发,

引一组平行线，则在第12条斜线上，最大的数是（）

上第1条斜线

第2条斜线厂二二上第3条斜线

弟杀斜二第5条斜线

第4条斜线"二二3,二二t第7条斜线

641

第6条斜线十二二3'’101051

「615201561

A.35B.36C.56D.70

【正确答案】C

【分析】根据杨辉三角的规律再向下写出4行，找出第12条斜线上的数，比较大小可得答案.

【详解】杨辉三角第8行的数据为：1,

第9行的数据为：18285670562881,

第10行的数据为：193684126126843691,

第11行的部分数据为：11045……，

第12条斜线上的数为：I103656356,所以最大的数是56.

故选：C.

二、多选题

9.在某次数学测试中，学生的成绩X〜N(IoO,4)(。>0),则()

A.P(X>100)=0.5B.若。越大，则P(95<X<105)越大

C.P(X>80)=P(X<120)D.P(80<X<90)=P(120<X<130)

【正确答案】AC

【分析】根据正态曲线的对称性结合选项逐个分析可得答案.

【详解】因为X〜N(IOO所以P(X>100)=0.5,A正确；

当(τ=5时，P(95<X<105)≈0.6827,当b=2.5时，P(95<X<105)≈0.9545,B不正确；

因为80+120=2x100,所以P(X>80)=P(X<120),C正确；

根据正态曲线的对称性P(80<X<90)≈P(110<X<120),D不正确.

故选：AC.

10.已知(3-2Xy=4+"X+//++09χ9,则()

9

A.a0=3

l

B.al=-2×3°

9

C.al+a2++ag-2

D.展开式中所有项的二项式系数的和为2"

【正确答案】ABD

【分析】采用赋值法，分别令X=O和X=I可以判断选项A、C；根据二项式展开式的通项求得X的

系数，可以判断选项B；直接由展开式中所有项的二项式系数的和的知识就可以判断选项D.

【详解】令X=0,得％=39,所以A正确；

(3-2x)9展开式的通项为小=CX3』×(-2x)*,

令k=∖,得q=Cx38χ（-2）∣=-2x3"）,所以B正确；

令X=I,得。0+。1+%+1+〃9=1,又％=3lf,

所以4+见++⅜=1-39,所以C不正确；

展开式中所有项的二项式系数的和为C；+C；+C；++q=29,所以D正确.

故选：ABD.

三、单选题

11.已知。为常数，等差数列的前"项和S“满足S,,=/+”.q，则电023的值可能为（）

A.4045B.4046C.4047D.4048

【正确答案】AB

【分析】根据等差数列｛%｝的前〃项和5.满足S,,=∕+α∙4,,将前八项和公式和通项公式代入，求

得首项和公差即可.

【详解】解：因为。为常数，等差数列｛4｝的前〃项和5“满足S,,=∕+〃∙4,

d（d∖

所以5〃+14-5J〃=+adιτ+CIal-ad,

-=I

2

则∙q-^=”d,解得<

aax-ad=0

所以4?=4+（〃一l）d=2〃或4=t71+[n-Y）d=2n-∖

所以%（）23=4046或4045,

故选：AB

四、多选题

12.已知a=且,0=1口（1+2],。="（I+。）d=e2-2e,则（）

2eL4eJ2

A.d>a>cB.c>a>bC.d>a>bD.c>b>d

【正确答案】BC

【分析】设/(x)=In(I+x)-x,X>O,利用导数研究函数/(X)的单调性，再结合作差法和不等式

性质逐一验证各选项.

【详解】设f(x)=ln(l+x)-x,x>0,则广(X)=占-1=一+<0恒成立，

则“X)在(x,y)单调递减，可得/(x)<∕(0)=0,即ln(l+x)<x.

令X=；,贝IJfU)=ln[l+*]<3，且jLa="(2^^⑹>0,即上<立，故6<4;

4eUeJ(4eJ4e2e4e4e4e2e

因为6<e,则更<1,

2e2

又因为I=Ine<ln(l+e),则；<“(,),

所以@<_Ljn(l+e),即α<c.

2e22

to1+e2

因为l+e<e"则ln(l+e)<2,ap().<ι<e-2e,即c<d.

综上所述：b<a<c<d

故选：BC.

利用导数比较大小问题方法点睛：根据已知中式子的外形结构特征与导数结合起来，合理构造出相

关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题.

五、填空题

13.函数/(x)=2x-3COSX的图象在X=O处的切线方程为.

【正确答案】2x-y-3=0

【分析】求得切点坐标为(0,-3),切线的斜率α=2,由点斜式即可得切线方程.

【详解】解：因为"x)=2x-3COSX,/(O)=-3CoSO=-3,

所以切点坐标为(0,-3),

又因为/'(x)=2+3sinx,

所以/'(0)=2+3Sino=2,

所以切线的斜率k=2,

所以切线方程为：y-(-3)=2(x-0),即y=2x-3.

故2x-y-3=0

14.某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道A类试题，8道5类试题，12道C类试题，学生

从中任选1道试题作答，学生甲答对ARC这3类试题的概率分别为:，ɪ,!•若学生甲答对了所

246

选试题，则这道试题是8类试题的概率为.

【正确答案】ɪ

【分析】利用全概率公式及条件概率公式计算可得.

【详解】设学生选1道A类试题为事件A,学生选1道5类试题为事件8,学生选1道C类试题为事件

C,

设学生答对试题为事件C,则与(A)=，:，.=!，P⑻=，：S=LP(C)=，产=£,

''4+8+126''4+8+123'74+8+122

P(QIA)=;,P(DTB)=XP(DIe)=:，

所以P(O)=

v76234264

ɪɪ

所以P(B∣0=需1=平=(

4

尾

六、双空题

15.一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯内放入一个圆柱形铁块后，水面刚好和铁块的

上底面齐平，如图所示.已知该水杯的底面圆半径为6cm,铁块底面圆半径为3cm,放入铁块后的

水面高度为6cm,若从r=0s时刻开始，将铁块以IcmZs的速度竖直向上匀速提起，在铁块没有完

全离开水面的过程中，水面将(填“匀速”或“非匀速”)下降；在f=3s时刻，水面下降的速度

【正确答案】匀速ʌ

【分析】由圆柱形铁块竖直向上匀速提起，可得水面匀速下降；根据已知得出水面高度H与时刻，的

函数关系，通过导数求瞬时速度.

【详解】设在铁块没有完全离开水面的过程中，水面高度为“，铁块离开水面的高度为/?,

则水和铁块的体积为πx62×6=π×62×H+π×32×Λ,即24=4〃+〃①.

铁块距离杯底的高度为6+f=H+〃②.

由①②可得"=一5+6.令函数"r)=-gf+6,则/⑺=T.

故水面将匀速下降，下降的速度为gcm/s.

故匀速；ɪ.

七、填空题

16.已知定义域为R的偶函数"x)满足"l-x)=f(l+x),且当xe[0,l]时，/(x)=x,若将方程

/(x)=Iog向IM"eN")实数解的个数记为凡，则」一++-----=.

aa

∖2的"3〃2022。2023

【正确答案】盟

4046

【分析】由条件分析得函数的周期性，结合对称性作出草图，分析两函数的交点个数，得出数列通

项，裂项相消求和即可.

【详解】由题意可得/(r)=/(X)=/(Jx)=∕(x7)=∕(x+l)nT=2,

方程/(x)=log,,tl∣x∣(∕7∈N*)的实数解个数，即两函数的交点个数，

不难发现y=IogeW也是偶函数，所以两函数的交点是关于纵轴对称的，

这里只分析X>O的情况.

结合条件作出两函数简要图象如下：

当〃=2时，

Z-ZʌJ=Iog3∣x∣

∖O7X

此时有4个交点，即生=4,

当w=3时,

y=f^y=}og4∖x∖

X

此时有6个交点，即的=6,以此类推，可知为二2〃,

ιfIIfl]}I11___1VlOH

故-----=7-------↑»即---+----++-------4U^2023j^4046

aaaa

∏n+∖4(〃n+∖Jala2a2cι320222023

故答案为•黑

八、解答题

17.已知数列｛%｝的前八项和为S,,,4=3,且S,,=%_3"-;3〃.证明:

(1)｛%｝是等差数列；

I1112

(2),—H----1----F•+—<―

StS2S3Sn3-

【正确答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)根据4,S”的关系得出4,6τ的关系，再利用等差数列的定义证明;

(2)先求出S“，再利用裂项相消法进行证明.

【详解】(1)证明：因为S,,="/*]”,

当〃22时，S,i=(〃—1)「(—)；3(〃T)；

两式相减可得a,l=Sn-Se=nan-"_(„-1)4一+3(〃T)，

整理可得4,-=3,

又4=3,故｛%｝是以3为首项和公差的等差数列.

(2)证明：由(1)可知％=3+(〃-l)x3=3”,

所以S,,=?3；3〃)+

12

SJl3n(n+∣)

I111

所以R+不+3++τr

ɔɪ»3

1±ɪ2

-++++<-

，

邑3

52

18.从1,2,3,4,5,6中任取5个数字，随机填入如图所示的5个空格中.

ABCDE

(1)若填入的5个数字中有1和2,且1和2不能相邻，试问不同的填法有多少种？

(2)若填入的5个数字中有1和3,且区域A,B,C中有奇数，试问不同的填法有多少种？

【正确答案】(1)288

(2)468

【分析】(1)应用分步计数，从其余4个数选3个数全排，再把1和2插入其中求结果.

(2)应用间接法，先求出有1和3且区域A,B,C中无奇数的填法数，再求出所有可能的填法数,

然后作差即可得结果.

【详解】(1)首先从其它4个数中任选3个并作全排有A：=24种，

3个数中共有4个空，将1和2插入其中两个空有A：=12种，

所以共有24×12≈288种填法.

(2)若区域A,B,C中无奇数，则其它三个数只能为2、4、6且在区域A,B,C上，

所以，共有A；A；=12种，

从2、4、5、6任选3个数有C：种，再把5个数全排有A；种，共有C：A；=480种，

综上，填入的5个数字中有1和3且区域A,B,C中有奇数，共有480-12=468种.

19.等比数列｛q｝的前〃项和为S.,已知4=1,且34-1必,S3成等差数列.

⑴求｛α,J的通项公式；

(2)若¾+1=2叫，数歹(J｛4｝的前〃项和工,•

【正确答案】（1）4=4"T

328+6〃

⑵小豆

9×4,,^'

【分析】（1）根据等差中项可得公比，利用等比数列的通项公式可得答案;

（2）先通过即求出"，再利用错位相减法求和，可得

【详解】（1）设等比数列｛4｝的公比为4,因为34-I,与与成等差数列，

所以2a3=3a2-1÷S3=4%-1+4+%,

因为4=1,所以。3=4〃2，BP^=—=4,

所以q=""i=4"τ.

(2)由(1)得α用=4",因为%=23,所以4"=2*=22π，

所以。也=2〃，即％=7=产；

T_2462n

7L=不+不+不十行’

1246In

4^4r+4r+4τ+47,

两式相减可得3:<=2+不2+不2•+不2++布2-F2n

111In

=2J1Λ1+不+不++产卜F

_88+6〃

^3~3×4w

328+6〃

所以

9×4z,^,

20.已知函数/(x)=e*-X.

⑴求/（x）的极值;

⑵若"x）≥E+“恒成立，求。的取值范围.

【正确答案】（1）极小值为1,无极大值

(2)α≤1

【分析】(1)求导，利用导数求解单调性即可求解极值，

(2)将恒成立问题转化成求函数最值问题，构造函数，利用导数求解最值.

【详解】(1)由/(x)=e=x得f'(x)=e'-l,

令e-l>O=x>O,故〃x)在(0,+8)单调递增，令e*-l<0nx<0,故/(x)在(+8,0)单调递减,

故当X=O时，/(x)取极小值，且极小值为/(0)=1,故极大值，

(2)由八同2工+。恒成立可得r/。-二恒成立，

66

32■>

记g(x)=eJX-土,则/(χ)=e*T-土，令MX)=g<χ)=e*T-土,则(X)=e'一问(力，

由(1)知：/?’(X)在X=O处取极小值也是最小值，且最小值为1,故〃(x"M0)=l,

因此〃(X)=g'(x)在R上单调递增，且g'(0)=0,故当x>0时，g'(x)>0,g(x)单调递增,当XVO

时，g'(x)<O,g(x)单调递减，故当x=0时，g(x)取极小值也是最小值1,故α≤l

21.某单位组职员上进行排球娱乐比赛，比赛规则如下：比赛实行五局三胜制，任何一方率先赢下

3局比赛时比赛结束，每一局比赛获胜方得2分，失败方得1分，甲，乙两队相互打比赛己知甲队

每一局获胜的概率均为

⑴求甲、乙两队3局结束比赛的概率；

(2)记比赛结束时甲队的得分为"，求〃的分布列和期望.

【正确答案】(1)；

⑵E⑺喈

【分析】(1)由题意可知，分为甲连赢三局与或甲连输三局，即可得到结果;

(2)根据题意可得〃的可能取值为3,5,6,7,8,然后分别求出其对应的概率，然后由期望的计算公式

即可得到期望.

【详解】Q)根据题意可知，若甲、乙两队3局结束比赛，则甲赢三局或甲输三局,

所以P=MMZklxLI

3333333

故甲、乙两队3局结束比赛的概率为g.

(2)根据题意可知,〈的可能取值为3,5,6,7,8,

PM=7)=C∙

216

P(1=8)=C%X—=—

381

所以"的分布列为

H35678

1283216

ΓD

2727278?8?

―C1U2右8r32C16535

则E(γ)=3χ-----∏5×-----F6×—+7×----F8×——=-----

\"272727818181

22.已知函数/(x)=XlnX-％-α,α∈R;

⑴若/(X)无零点，求”的取值范围；

⑵若/(x)有两个相异零点对三，证明：^∙χ2<ι.

【正确答案】(l)a<—1

(2)见解析

【分析】(1)