2023年中考数学训练：旋转综合压轴题（线段问题）

2023年中考数学专题训练:旋转综合压轴题(线段问题)

1.如图，等腰直角三角形/8C中，AB=BC,ZABC=90o,点。是A3边上的中点，

点E是平面内一点，连接。E,将。£,将OE绕着点。逆时针旋转90。，得到。连

接∕¾,FE,BE.

Sl

(1)如图1,若点E在线段AC上，AE=3EC,AB=4,求Z)EF的面积；

(2)如图2,若E点在直线BC下方，点G是AC中点，连接。G,EG,EC,若

NCEF=ZAFD,求猜想线段AF,BE,CE的长度关系，并证明你的结论.

(3)如图3,在(2)的条件下，作点E分别关于直线BC和AB的对称点M、N,连接MN,

EF

MD,ND,当S△皿N=2SASEC时，直接写出丁的值.

AF

2.如图，将ABC的边AB绕点A逆时针旋转得到线段AD,连接30.

(1)如图1,连接co,若/340=90°,ZADC+ZABC=∖80o,AC=7√2-BC=A,

求CO的长；

(2)如图2,点E在BD上,且满足BC=OE,连接AE,点尸为A3上一点，连接。尸

交AE于点〃，若NBOP=NBC4,ZADB+ZABC=180°,求证ΛM=EM;

2

(3)如图3,若/840=120。，NAC8=60。，A8=9,点尸在直线AC上且满足AP=]8C,

将_钻尸沿虚线GH折叠使得点P的对应点P落在AB上，连接PP'与折痕GH交于点。,

请直接写出BP最小时，点。到AB的距离.

3.如图，已知一ABC中，AB=AC,NBAC=90。，点。是一ABC所在平面内一点，连

接AD,BD,CD.

(2)如图2,点。为,√1BC内部一动点，将线段8。绕点8逆时针旋转90。得到线段BF,

连接CF,点G是线段C。的中点，连接AG,猜想线段AG,CF之间存在的位置关系

和数量关系，并证明你的猜想；

(3)如图3,点C关于直线A3的对称点为点C',连接AC',BC',点。为AABC内部

一动点，连接C'C∙若∕BDC=9θo,且8C=8,当线段C'。最短时，直接写出qAS的

面积.

4.综合与探究

在一ΛBC中，AB=AC,/C4B的角度记为α.

②

试卷第2页，共10页

(1)操作与证明；如图，点D为边BC上一动点,连接AO,将线段Ao绕点A逆时针

旋转角度α至AE位置，连接。E,CE.求证：BD=CE;

(2)探究与发现：如图□,若c=90。，点。变为BC延长线上一动点，连接AD将线段AO

绕点A逆时针旋转角度α至AE位置，连接OE,CE.可以发现：线段BO和CE的数

量关系是;

(3)判断与思考；判断(2)中线段8。和CE的位置关系，并说明理由.

5.已知四边形ABCD中，ABYAD,BCLCD,AB=BC,ZABC=nθ",

NMBN=60",NMBN绕B点、旋转,它的两边分别交4),DC(或它们的延长线)于E、

F.

(1)当NMBN绕B点旋转到AE=CF时(如图1),求证：AE+CF=EF.

(2)当NMBN绕8点旋转到AEHe尸时，在图2种情况下，求证：AE+CF=EF.

(3)当/M8N绕B点旋转到AfNC尸时，在图3种情况下上述结论是否成立？若成立,

请给予证明；若不成立，线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想,

不需证明.

6.在“ABC中，NBAC=90。，AB=AC,点。为8C边上一动点，连接AO,将AZ)绕

着D点逆时针方向旋转90。得到DE,连接AE.

AP

图3

(1)如图1,A"L8C,点。恰好为CH中点，AE与BC交于点G,若AB=4,求AE的

长度；

(2)如图2,DE与AB交于点F,连接BE,在BA延长线上有一点P,NPCA=NEAB,

求证：AB=AP+五BD;

(3)如图3,DE与AB交于点F,且A3平分NE4D,点A/为线段AF上一点，点N为线

段AD上一点，连接DM,MV,点K为DM延长线上一点，将沿直线8K翻折

至..8E)K所在平面内得到ABQK,连接。Q,在Λ/,N运动过程中，当QM+MN取得

最小值，且N。KQ=45"时，请直接写出空的值.

7.在AABE和aCf>E中，ZABE=ZDCE=90o,AB=BE,CD=CE.

(1)连接A。、BC,点、M、N分别为A。、BC的中点，连接MN,

口如图1,当&E、C三点在一条直线上时，MN与BC数量关系与位置关系是.

口如图2,当等腰用CDE绕点E顺时针旋转时，口中的结论还成立吗？如果成立，请证

明你的结论；如果不成立，请说明理由.

(2)如图3,当等腰RLa)E绕点E顺时针旋转时，连接AC、BD,点、P、Q分别为

BD,AC的中点，连接PQ,若AB=I3,8=5,则P。的最大值是.

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8.如图，等边□∕8C与等腰三角形匚Ef)C有公共顶点C,其中口ECC=120°,AB=CE

=2限,连接BE,尸为BE的中点，连接P。、AD

图3

(1)为了研究线段“。与PO的数量关系,将图1中的EoC绕点C旋转一个适当的角度,

使CE与。重合，如图2,请直接写出/。与尸。的数量关系;

(2)如图1,(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由;

(3)如图3,若148=45。，求Z1R4。的面积.

OO

9.在ElZBC中，90<□JS∕1C<120,将线段绕点/逆时针旋转120。得到线段/，

连接CD

(1)如图1,若“8=8,□4BC=45o,BA∖ΔCD,延长84CD交于点K,求四边形/BCZ)

的面积；

(2)如图2,点E是CZ延长线上一点，点G是ZE的中点，连接BE,8G,点厂在线段

NC上，点〃在线段BG上，连接，/，若BG=GF,HF=BE,GA=GH,IHACB=

QEBG+UABC,求证：BC+CD=∙βAC;

(3)如图3,在(1)的条件下，点P是线段2C上的一个动点，连接OP,将线段。尸绕

点。逆时针旋转45。得到线段DP,连接/P,5P,点M是H48P内任意一点，点ρ在

运动过程中，/M+8M+PM是否存在最小值；若存在，请直接写出：+8M+PM的最

小值；若不存在，请说明理由.

10.如图1,在等腰三角形ABC中，ZA=120o,AB=AC,AD=AE,连接8E,点M、

N、P分别为£>E、BE、BC的中点.

⑴观察猜想：图1中，点。、E分别在边A8、ACl.,线段M0、NP的数量关系是

ZMNP的大小为

(2)探究证明：把VAOE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置,连接MP、BD、CE,

图1中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

11.【问题情境】如图1,点E为正方形ABa)内一点，AE=2,BE=4,NAE8=90。，

将直角三角形4组绕点A逆时针方向旋转α度(0≤α≤18()o),点8、E的对应点分别

为点8'、E1.

图1图2图3

(1)【问题解决】如图2,在旋转的过程中，点9落在了AC上，求此时CB'的长；

(2)【问题解决】若。=90。，如图3,得到AWE(此时8'与。重合)，延长BE交B1E'

于点F,

口试判断四边形AEEE'的形状，并说明理由；

口连接CE,求CE的长；

(3)【问题解决】在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，求线段CE长度的取

值范围.

12.如图1,在RtABC中，ZC=90o,AC=BC=8,点。、E分别在边/C、ABh,

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AD^DE^-AB,连接DE.将V4)E绕点/顺时针方向旋转，记旋转角为凡

图1图2备用图

BF

⑴晌题发现「当。=0°时，—

BE

□当6=180°时，—=

BE

(2)［拓展研究］试判断：当0。“<360。时，节的大小有无变化？请仅就图2的情形给

出证明;

(3)［问题解决］当VAZ)E旋转至8、D、E三点共线时，线段CZ)的长为

13.【发现奥秘】

备用图2

⑴如图1,在等边三角形ABC中，A5=2,点E是AfiC内一点，连接AE,EC,BE,

分别将AC,EC绕点C顺时针旋转60。得到。CFC,连接AaoF,EF.当B,E,F,D

四个点满足.时，3E+AE+CE的值最小，最小值为.

【解法探索】

⑵如图2,在ABC中，NACB=90。,4C=8C,点尸是ABC内一点，连接尸AP8,PC,

请求出当PA+PB+PC的值最小时ZBCP的度数，并直接写出此时24:PB:PC的

值.(提示：分别将PC,AC绕点C顺时针旋转60。得到。CEC,连接尸E>,DE,AE)

【拓展应用】

⑶在一ASC中，NACB=90o,NBAC=30o,BC=2,点、P是.ABC内一点，连接PA,PB,PC,

直接写出当E4+PB+PC的值最小时，PA-PB.PC的值.

14.综合与实践

问题情境：数学活动课上，老师向大家展示了一个图形变换的问题.如图1∙将正方形

纸片428折叠，使边42,4。都落在对角线NC上，展开得折痕∕E,AF,连接Ef试

判断AAE尸的形状.

独立思考：

(1)请解答问题情境提出的问题，并写出证明过程.

实践探究：

(2)如图2.将图1中的2E4尸绕点Z旋转，使它的两边分别交边8C,CO于点P,Q,

连接尸0.请猜想线段5P,PQ,。。之间的数量关系，并加以证明.

问题解决：

(3)如图3.连接正方形对角线80，若图2中的NPA。的边/P,2。分别交对角线8。

于点M,N,将图3中的正方形纸片沿对角线8。剪开,如图4所示.若BM=7,DN=24,

求的长.

15.学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：

“如图1,在正方形NBC。中，□E4F=45o,求证：EF=BE+DF.,,

小明同学的思路：四边形/8CZ)是正方形，□4B=4D,L8=U/OC=90。.

把「H8E绕点/逆时针旋转到“OE的位置，然后证明AAFE=AAFEf,从而可得

EF=EF.

EF=ED+DF=BE+DF,从而使问题得证.

图1图2图3图4

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(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：

如图2,在四边形/88中，AB=AD,QB=DD=90o,ZEAF=^ZBAD,直接写出ER

BE,Z)F之间的数量关系.

(2)【应用】如图3,在四边形/8CD中，AB=AD,□5+□Z)=180o,ZEAF=^BAD,

求证：EF=BE+DF.

(3)【知识迁移】如图4,四边形/8PC是、。的内接四边形，BC是直径，AB=AC,请

直接写出P5+PC与/P的关系.

16.如图1,将等腰直角三角形/E尸绕着正方形/88的顶点N顺时针旋转，已知正方

形的边长为石，AE=^Aβ.

(1)如图2,连接。E,BF,在旋转过程中，线段8厂与。E的数量关系是,位置关

系是.

(2)如图3,连接CF,在旋转过程中，求CF的最大值和最小值；

(3)如图4,延长BF交。E于点G,连接CG,若Z)G:GB=I:3,求GC的长.

17.将正方形NBCD绕点/逆时针旋ɑ到正方形G.

G

G

D

DD

H

H'H

EE

B

B

B

图3

Sl

图2

(1)如图1,当0°<α<90。时，瓦`与8相交与点从求证：DH=EH-,

(2)如图2,当0。<&<90。，点尸、D、8正好共线时,

口求口/必度数;

□若正方形488的边长为1,求CH的长:

(3)连接。E,EC,FC.如图3,正方形ZEFG在旋转过程中，是否存在实数机使/0

=DE2+mFC2-EC2总成立?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

18.在AABC与AADE中，连接。C,点M、N分别为OE和3C的中点，MN与BD所

在直线交于点P.

备用图

(1)【观察猜想】

如图口,若AB=AC,AD=AE,ABAC=ΛDAE=ωo,MN与的数量关系是

，ZBPM=

(2)【类比探究】

如图□,若AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°,请写出MN与BD的数量关系

与NWW的度数，并就图［的情形说明理由;

(3)【解决问题】

如图□,ZBAC=ZDAE=90°,ZACB=ZAED=30o,3AD=AB=6,将MDE绕点A

进行旋转，当点。落在AABC的边所在直线上时，请直接写出MN的长.

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