2023年高考数学理一轮复习教学案第4章4-4简单的三角恒等变换

4.4简单的三角恒等变换

【考试要求】

能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简

单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).

【知识梳理】

1.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)公式S?«：sin2α=2sinαcosa.

(2)公式Cia-cos20=cos2cc-si1⅛=2cos2α-ι=ι-2sin%.

(3)公式T2a：tan2a=.2t^nɑ.

1-tan2a

2.常用的部分三角公式

(1)1—cosα=2sin与1÷cosα=2cos与(升幕公式)

(2)l÷sinα=(^sin^+cos郢.(升某公式)

.1—cosIa1+cos2a1—cos21

(3)si∏"α—2，cos(X—2tan2a=.(降哥公式)

1÷cos2a

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(I)若α为第四象限角，则sin20>0.(X)

(2)设:</3兀，且ICOSel=],那么Sinm的值为理5.(X)

(3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.(√)

(4)存在实数0,使tan2q=2tanα.(√)

【教材题改编】

1.sin15°cos15°等于()

1111

--B4C--D-

A.422

答案B

解析sin15ocos15。=BSill30。=；.

2.化简dl+cos4的结果是()

A.sin2B.—cos2

C.Λ∕2COS2D.一啦CoS2

答案D

解析因为+cos4=<2COS22,

又cos2<0,所以可得选项D正确.

4

3.已知Q是第二象限的角，tan(兀+2。)=—则tanɑ等于()

A.-乎B.2

C.—ɜD.—2

答案D

4

解析由tan(π+2«)=-ɜ,

/日C4

付tan2a=­q,

C2tana4

又tan2a=-一;~丁=一£,

1—tanzaɔ

解得tana=—/或tana=2,

又。是第二象限角，所以tana=一：

题型一三角函数式的化简

例1(1)(2021•全国甲卷)若a£(0,。tan2a=?WQ，则Iana等于(

)

A近MMD逅

a15.5J3u'3

答案A

Sin2a2sinαcosα

解析方法一因为tan2a=

cos2a1—2sin2a

„ΛCOSa”…2SinI«cosacosa解得sinα=".因为α∈

且tan20=fj所以1—2SiMa=KT

sinaV15

所以cos

,tana=-c-o--s--a==Z15^.

2sina

2tanacosa2sin6tcosa2sinαcosaCoSa

方法二因为tan2a=且tanIa=

1—tan2asin⅛cos2a-sin2a1-2sin2α2—sina

cos2a

诉12sinacosaCoSa

1-2sin2a2-sina

解得sin[=1.因为α∈(θπ

√15sinay∣15

所以cosa—7,tana=-------

4cosa15'

2cos4χ-2cos2x÷^

(2)化简:

2tangxj∙sin2^r+^

答案2cos2x

2cos2x(cos2x-l)÷τ

解析原式=­一

2tanH-ɪ)-s

^cos22x

Asinxλ1—cos^2x+^

cosɪ

2-

sinX2

∖cosΛ/

2cos22x

Cos2X-Sin2Ji

=2CoS2x.

【备选】

1.(2020・全国I)已知a∈(0,π),且3cos2。-8CoSa=5,则Sina等于()

B.∣C.∣

答案A

解析由3cos2«—8cosα=5,

得3(2cos2a-1)—8cosa=5,

即3cos26c-4cos«—4=0,

2

解得cosa=-1或cosa=2(舍A去).

又因为α∈(0,兀)，所以Sina>0,

所以sina=y∣1—cos2α=

3.

2.已矢口0</π,贝IJ

ΛJ2÷2COSθ

答案一cosθ

因为O<ff<πf

所以0<∣<^,所以cos亨>0,

所以原式=—cosθ.

思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特

征.

⑵三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式

子和三角函数公式之间的联系点.

跟踪训练1⑴2、1+sin4+42+2cos4等于()

A.2cos2B.2sin2

C.4sin2÷2cos2D.2sin2÷4cos2

答案B

解析2ΛJ1+sin4+*∖∕2+2cos4

=2"∖∕sin22÷2sin2cos2+cos22÷

√2+2(2cos22-l)

=2^J(sin2÷cos2)2+-∖∕4cos22

=2∣sin2+cos2∣÷2∣cos2∣.

••兀/C/

・2<2‹π,

.*.cos2<0,

Vsin2+cos2=√2sin^2÷^),0<2+^<π,

∙,∙sin2+cos2>0,

，原式=2(sin2+cos2)—2cos2=2sin2.

ι∖Mtan27.5o+l

⑵化间tan27.5°-7sin27.5°+cos27∙5°等于()

C.√3D.2

答案B

ftπff-,gɪtaM7.5°+1

解析原式-taM7.5°-8si∏27.5°+l

__________si∏27.5°+cos27.5°________

sin27.50-8sin27.5ocos27.5o÷cos27.5°

_1_1_2小

-I-2sin215o-cos300-3,

题型二三角函数式的求值

命题点1给角求值

例2(l)sin40o(tan10o-√3)^≠()

A.2B.-2C.ɪD.-1

答案D

解析sin40o∙(tan10o-√3)

=Sin40。.(普泊木)

Sin10。一√5cos10。

=Sin40o∙

cos10°

=sin40o∙

cos10°

2(cos60o∙sin10o-sin60o∙cos10°)

=sin40o∙

cos10°

2sin(10o-60o)

=Sin4。。.鼠方-

一2sin50。

=sin40o∙

cosIO0

-2sin40o∙cos40°

cos10°

-sin80°

cos10°

⑵COS20ocos40o∙cosIOO0=.

1

答案-

8

解析cos20o∙cos40o∙cosIOOo

=—COS20o∙cos40o∙cos80°

Sin20°∙cos20°∙cos40°∙cos80°

Sin20。

ISin40o∙cos40o∙cos80o

Sin20。

(Sin80o∙cos80°

sin20o

ɪsin160o

O

Sin20。

Qsin20o.

o_________1

Sin20。=—6

命题点2给值求值

例3(1)若COSe—α)=g,贝UCoS停+2,等于(

)

22

AwB.—g

17

CeD.一§

答案C

解析Vcos(^-α)=|.

⑵(2022.长春质检)已知sinfa-τ)÷√3cosQ=g，则sin(2a+^)等于(

)

2217

--

一C-D

A.3B.99

-9

答案D

1

解

析-

Sin3

ππ

--COS-4C

3in3^√3

1

-n

2S

命题点3给值求角

例4已知α,夕均为锐角，cosQ=邛ɪ,sin/?=中g,则COS2q=,2a~β=

套案~Z

口汞73

解析因为CoSa=邛，

所以cos2a=2cos2ct-1=斤.

又因为α,夕均为锐角，sin夕=唔，

.叵A13

所以SIna=十厂，CoSS=五，

4√3

因此sin2a=2sincccos

所以Sin（2α一夕）=sin2acos夕一cos20sinβ

4√3v13lv3√3√3

^7X147X14^2,

因为。为锐角，所以O<2αvτt.

兀

又cos2a>0,所以0<2a<2,

TTTT

又尸为锐角，所以一,<2α一尸V

又Sin（2。一尸）=彳，所以2。一夕=?

【备选】

,cos40°,ɪɔ,、

1.----------/的λa值为(z)

cos25o√1-sin40°

A.1B.√3C.√2D.2

答案C

cos2200-sin2200

解析原式=COS25°(CoS200—Sin20°)

CoS20°+Sin20°

cos250

-√2cos250β

一cos25°

2.已知A,B均为钝角，且sin2^+cos^A+∣^=5-√15

-,sinB=,则A+B等于()

答案C

解析因为解专+cos(A+§=‘哈三

斫NLCOSAIA立∙A5—仃

所以---2----÷2cosA-ɪsmA——而一,

曰口1由.λ5—行

即厂勺SnlA=F-，

解得SinA=乎，

因为A为钝角,

所以cosA=-∙∖∕l-sin2A=-

2√5

5.

由SinB=[4，且3为钝角,

得cosB=-y∣1—sin2β

3√Tθ

10•

所以cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

√5√ib-√2

510-2-

又A,B都为钝角，即A,B∈(5>π),

所以A+3∈(π,2π),

所以A+8=q-.

3.已知cos(e+;)=^^,OW(O,。贝IJSin(26一号=.

4-3也

答案

10

z、1+cos(20+yj](、4

解析由题意可得cos2(e+g=--------1—-=-⅛,cos(2e+g=-Sin2θ=~^,即sin26»

4

根据同角三角函数基本关系式,

3

可得cos2。=亍

由两角差的正弦公式，可得

sin2。CoSɜ-cos29Sinɜ

413v√34—3小

525210

思维升华（1）给值（角）求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借

助南之间的联系寻找转化方法.

（2）给值（角）求值问题的一般步豚

①化简条件式子或待求式子；

②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；

③将已知条件代入所求式子，化简求值.

跟踪训练2（1）（2019.全国H）已知αe（θ,∣）,2sin2α=cos2a+l,则Sina等于（）

ʌlB当C坐D.平

答案B

解析由2sin2«=Cos2a+l,得4sinC（CoSa=1—2sin2a÷1,即2sinacosa=1—sin2a.

因为a∈（θ,，），所以CoSa=y∕l-sin2%

所以2sinoc∖∣1—sin2a=1—sin2a,

解得sina=

5.

7rSTT

(2)(2021•全国乙卷)cos2j]-cos?适等于()

1

Aa，2B雪C坐D坐

答案D

因为CoS驾.π

解析=Sm运

所以cos2⅛-cos2⅛=cos2ττ-sin2ττ

14JLLJL乙ɪL

—cos

解析Vsin{x+≡J='

2

l+sin2x1

=~"2=5'

∙"∙sin2x^ɜ".

题型三三角恒等变换的综合应用

例5(2022-河南中原名校联考)已知函数√(x)=4cosXCOS(X+§—木.

(1)求KX)的单调递增区间；

⑵若以£0,3,且,/(a)=,，求cos2α.

解(Ivu)=4cosXCoSG+2)一小

=4cos(坐COSx-WSinJ-√5

=2√3cos2χ-2sinXCoSχ-y∣3

=Λ∕3(1+cos2x)—sin2x-y∣3

=√3cos2χ-sin2x

=2COS(2x+。

Tt

令2E—7τ<2x+wW2E(kWZ),

7ππ

解得hr—γ^WxWht一γ^(A∈Z),

所以7(x)的单调递增区间为[e—普，for—(⅛∈Z).

(2)由于αc[θ,I,

6

且式α)=g,

而Xft)=2cos(^2α÷^=∣,

所以cos^2α+^)=∣,

因为OWa芍TT，

所碟W2α+为目,

OOO

则"2α+衿

所以sin(2a+胃=34

5,

π

则cos2a=cosl^2α÷^j-旬

=COS(2a+§cos^+sinπ

6

-3χ√3+4χl

-5×2+5×2

3√5+4

IO,

【备选】

已知函数乎+小

KX)=SinlπCoSlA)

⑴求函数於)在区间［；，为上的最值；

(2)若COSe=,，多，2π),求/(2。+§的值.

解(1)由题意得

段)邛Sinlπ+当CoSlπ

A~x,

=正X，Sinl+日COSlπ

^2A~x,

*SinG一爸.

因为x≡[;,用,

所以x-⅛[+,⅛e]'

所以Sin(X—笥∈—半，1,

所以一半Sin(X一用)∈—乎，乎],

即函数y(x)在区间，，用上的最大值为小，最小值为一坐.

⑵因为COSe=之,Oe软，2π),

3

所以sinθ=-g

-24

所以sin20=2sin仇OS夕=一石，

cos20=cos20-sin20

1697

25^25^25,

乎sin(2<T)

=—/sin2。—COS2θ)

=；(CoS20—sin2θ)

思维升华(1)进行三甭恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系;

注意公式的逆用和变形使用.

22

(2)形如y=0sinx+bcosx化为y=y∣a+b∙sin(x+φ)9可进一步研究函数的周期性、单调性、

最值与对称性.

(XYχ∖

跟踪训练3(2022•云南曲靖一中质检)已知向量α=(cos3+sin5,2sin∕}b=

(CoS、一sin宗ʌ/ɜeos^j,函数/(x)=0∙5.

⑴求函数7U)的最大值，并指出7U)取得最大值时X的取值集合；

(2)若α,仅为锐角，cos(α+S)=Il,./(£)=,,求/卜+春)的值.

解(1)/(ɪ)=cos2^—sin2^+2√3sin^cos,

=cosx+√3sinx

=2SinG+g,

令x+^=^÷2⅛π(⅛∈Z),

得X=W+2∕τc,kGZ,

.∙√(x)的最大值为2,此时X的取值集合为卜卜=W+2E,⅛∈z

12

(2)由α,β为锐角,cos(α+.)=百，

得sin(α+S)=总

63

65,

.∙.∕(α+g=2sin(α+Wπ

3,

fπ,π

=2sιnlɔ-bɑ-ð

=2cos(α-*126

65^,

课时精练

1.己知tana=3,则cos(2a+,等于()

3c3-3一1

A.—2B.gC.—ʒDg

答案c

解析CoS（2a+今=—sin2a=~2sinacosa

-2Sinacosa

cos2α÷sin⅛

_—2tana_—2X3_3

1÷tan2a1+325,

2.（2022.遂宁模拟）己知ee（θ,∣）,tan6>=√2,则cos2。等于（

）

*1

Tʌv•-√32DB.巫3C•」3LD×∙ɜ

答案C

COS2。一sin2。1-tan?。1

解析COS2。=COS2。一sin2。=

COS汨+Sin2。l+tan203,

3.（2022•成都双流中学模拟）tan67.5o-L⅛Q的值为（）

[ano/.ɔ

A.1B.√2C.2D.4

答案C

*圻4____!_____sin67.5°_1_____Sin67.5°COS67.5°

解析tan67.5ς0―嬴67.5°=CoS67.5°-Sin67.5°=CoS67.5°-Sin67.5°

cos67.5°

sin267.5°-cos：67.5°

sin67.5ocos67.50

—cos135°

4.（2022•黑龙江大庆中学模拟）若CoS（30。一a）—Sina=J则sin（30。-2α）等于（）

11

ʌ-ɜb∙-3

17

C.§D.—Q

答案D

解析由COS（30。一a）—SinQ=1

z≡√31.1

⅛2cosct_2sιna=3f

即cos（30。+Ct）=；,

所以sin（30o-2a）=cos（60o+2a）

=2cos2(30o+a)-1=2×ɑ-1

_7

=一甘

5.己知兀T)=T(I+cos2x)sin2Mχ∈R),则下列结论不正确的是()

A.«r)的最小正周期T=5

B.7U)是偶函数

C∙,Z(X)的最大值吟

D.yu)的最小值为上

答案D

解析∙∕yU)=；(1+cos2x)(1—cos2x)

=^(1—cos22x)

=WSin22X

=ξ(l-cos4x),

.β.χ-χ)=∣[1—cos4(—x)]

=∣(1-cos4x)=∕x),

_2π兀

142，

於)的最大值为《X2=1,

最小值为:义0=0,

O

故A,B,C正确，D错误.

6.下列各式中，值吗的是()

A.cos2γ^-sin2γ^

tan22.5°

βl-tan222.50

C.2sin2100cos2100

=COSq=坐,故A错误;

tan22,5o12tan22.5°

1-tan222∙5o=2,1-tan222.5o

=Itan45。=,故B正确；

2sin210ocos210°=2sin(180o+30o)cos(180°+30°)

sinɪr

…YCoS12°

解析原式=COS24。Sin12。

小COS12。-sin12。

cos240sin12ocos12°

2sin(600-12°)2sin480

~=I=&

ISin480WSin48°

8.若cos(^-α)=∣,贝IJsin2a=.

答案-⅜

97

=2X^T=-25'

π邛(Sina+cosα)=∣,

方法二

VcoslA~a

19

.∙.∕(1+sin2α)=2^,

97

sin2α=2Xχ-1=—苏

9.(2022-杭州模拟)己知函数J(X)=2cos⅛+2√3sinΛ∙COSX.

解⑴因为√(x)=2cos2χ+2小SinXCOSX

=l+cos2x+√3sin2x

=I÷2sin∣3,

=l+2sin

=l+2sin⅛l+l=2.

,cteI0'3,

得Sin(C(+§=不3a+

cosβ)=5`

5,

a+π

所以cosa=β)-l

6,

ππ技π

=CoS«+^jcos^÷sin^a+^jsin

666

4√3+3

=10

10.如图，点P在以AB为直径的半圆上移动，且AB=1,过点尸作圆的切线尸C,使PC=L

连接BC,当点P在什么位置时，四边形ABCP的面积等于:？

解设∕B4B=α,连接PB,如图.

:AB是圆的直径，ΛZΛPB=90o.

又AB=1,.∖PA=Cosa,

PB=sina.

YPC是圆的切线，ΛZBPC=a.

XPC=I,

:∙S四边形ABCP=S∙APB+S4BPC

=PB+/尸3・PCSina

=∣cosasina

=；Sin2α÷^(l—cos2a)

=^(sin2a-cos2α)+1

乎sin(2a-§,∣

由已知,

.β.sin^2α-

2，

又α∈(θ,予,

∙∙∙2α-f∈(-J.⅞).

Cππ

2a~4=4^

rr]

•••a=》故当点尸位于A8的垂直平分线与半圆的交点时，四边形ABCP的面积等于宏

11.(2022•昆明一中模拟)已知机=2SinI8。，若机2+〃=4,则------⅛=---等于()

nτ∖∣n

11

A.-4B.-2

1

=eɪ4D2

答案B

解析因为〃7=2SinI8°,∕√+〃=4,

所以H=4—∕H2=4-4sin218o=4cos218o,

1—2COS2153°

因此•tn∖∣n

-cos306°

2sin18o∙2cos18°

_—cos54°_-Sin36°_ɪ

=2sin36o=2sin36o=^2-

12.(2022.杭州模拟)“一gθwg'是''√5COS20—/in2峪上乎”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

■Q

解析由于cos2j—5Sin2Θ=2COS2。一

ɪsin20+枭苧，

得cos(20+§＞；,

TTTT

所以一“πWOW五+∕cπ(k∈Z),

因此“一；WeW吉"是“√5cos20-%in2。》上甲”的充分不必要条件.

13.在平面直角坐标系Xo)，中，角α的顶点为坐标原点，始边与K轴的非负半轴重合，终边

交单位圆。于点P(α,b)t且〃+/?=,,则cos(2a+：)的值是.

Mg24

答案一行

解析由任意角的三角函数的定义得，sin。=仇

cosa=a.

77

又a+b=^^9