![2023年高考数学理一轮复习教学案第4章4-4简单的三角恒等变换_第1页](http://file4.renrendoc.com/view3/M01/1E/00/wKhkFmYLMuWAT5ZEAAFDEgzwWnI401.jpg)
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文档简介
4.4简单的三角恒等变换
【考试要求】
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式,并进行简
单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).
【知识梳理】
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S?«:sin2α=2sinαcosa.
(2)公式Cia-cos20=cos2cc-si1⅛=2cos2α-ι=ι-2sin%.
(3)公式T2a:tan2a=.2t^nɑ.
1-tan2a
2.常用的部分三角公式
(1)1—cosα=2sin与1÷cosα=2cos与(升幕公式)
(2)l÷sinα=(^sin^+cos郢.(升某公式)
.1—cosIa1+cos2a1—cos21
(3)si∏"α—2,cos(X—2tan2a=.(降哥公式)
1÷cos2a
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)
(I)若α为第四象限角,则sin20>0.(X)
(2)设:</3兀,且ICOSel=],那么Sinm的值为理5.(X)
(3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.(√)
(4)存在实数0,使tan2q=2tanα.(√)
【教材题改编】
1.sin15°cos15°等于()
1111
--B4C--D-
A.422
答案B
解析sin15ocos15。=BSill30。=;.
2.化简dl+cos4的结果是()
A.sin2B.—cos2
C.Λ∕2COS2D.一啦CoS2
答案D
解析因为+cos4=<2COS22,
又cos2<0,所以可得选项D正确.
4
3.已知Q是第二象限的角,tan(兀+2。)=—则tanɑ等于()
A.-乎B.2
C.—ɜD.—2
答案D
4
解析由tan(π+2«)=-ɜ,
/日C4
付tan2a=q,
C2tana4
又tan2a=-一;~丁=一£,
1—tanzaɔ
解得tana=—/或tana=2,
又。是第二象限角,所以tana=一:
题型一三角函数式的化简
例1(1)(2021•全国甲卷)若a£(0,。tan2a=?WQ,则Iana等于(
)
A近MMD逅
a15.5J3u'3
答案A
Sin2a2sinαcosα
解析方法一因为tan2a=
cos2a1—2sin2a
„ΛCOSa”…2SinI«cosacosa解得sinα=".因为α∈
且tan20=fj所以1—2SiMa=KT
sinaV15
所以cos
,tana=-c-o--s--a==Z15^.
2sina
2tanacosa2sin6tcosa2sinαcosaCoSa
方法二因为tan2a=且tanIa=
1—tan2asin⅛cos2a-sin2a1-2sin2α2—sina
cos2a
诉12sinacosaCoSa
1-2sin2a2-sina
解得sin[=1.因为α∈(θπ
√15sinay∣15
所以cosa—7,tana=-------
4cosa15'
2cos4χ-2cos2x÷^
(2)化简:
2tangxj∙sin2^r+^
答案2cos2x
2cos2x(cos2x-l)÷τ
解析原式=一
2tanH-ɪ)-s
^cos22x
Asinxλ1—cos^2x+^
cosɪ
2-
sinX2
∖cosΛ/
2cos22x
Cos2X-Sin2Ji
=2CoS2x.
【备选】
1.(2020・全国I)已知a∈(0,π),且3cos2。-8CoSa=5,则Sina等于()
B.∣C.∣
答案A
解析由3cos2«—8cosα=5,
得3(2cos2a-1)—8cosa=5,
即3cos26c-4cos«—4=0,
2
解得cosa=-1或cosa=2(舍A去).
又因为α∈(0,兀),所以Sina>0,
所以sina=y∣1—cos2α=
3.
2.已矢口0</π,贝IJ
ΛJ2÷2COSθ
答案一cosθ
因为O<ff<πf
所以0<∣<^,所以cos亨>0,
所以原式=—cosθ.
思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角,二看名,三看式子结构与特
征.
⑵三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式
子和三角函数公式之间的联系点.
跟踪训练1⑴2、1+sin4+42+2cos4等于()
A.2cos2B.2sin2
C.4sin2÷2cos2D.2sin2÷4cos2
答案B
解析2ΛJ1+sin4+*∖∕2+2cos4
=2"∖∕sin22÷2sin2cos2+cos22÷
√2+2(2cos22-l)
=2^J(sin2÷cos2)2+-∖∕4cos22
=2∣sin2+cos2∣÷2∣cos2∣.
••兀/C/
・2<2‹π,
.*.cos2<0,
Vsin2+cos2=√2sin^2÷^),0<2+^<π,
∙,∙sin2+cos2>0,
,原式=2(sin2+cos2)—2cos2=2sin2.
ι∖Mtan27.5o+l
⑵化间tan27.5°-7sin27.5°+cos27∙5°等于()
C.√3D.2
答案B
ftπff-,gɪtaM7.5°+1
解析原式-taM7.5°-8si∏27.5°+l
__________si∏27.5°+cos27.5°________
sin27.50-8sin27.5ocos27.5o÷cos27.5°
_1_1_2小
-I-2sin215o-cos300-3,
题型二三角函数式的求值
命题点1给角求值
例2(l)sin40o(tan10o-√3)^≠()
A.2B.-2C.ɪD.-1
答案D
解析sin40o∙(tan10o-√3)
=Sin40。.(普泊木)
Sin10。一√5cos10。
=Sin40o∙
cos10°
=sin40o∙
cos10°
2(cos60o∙sin10o-sin60o∙cos10°)
=sin40o∙
cos10°
2sin(10o-60o)
=Sin4。。.鼠方-
一2sin50。
=sin40o∙
cosIO0
-2sin40o∙cos40°
cos10°
-sin80°
cos10°
⑵COS20ocos40o∙cosIOO0=.
1
答案-
8
解析cos20o∙cos40o∙cosIOOo
=—COS20o∙cos40o∙cos80°
Sin20°∙cos20°∙cos40°∙cos80°
Sin20。
ISin40o∙cos40o∙cos80o
Sin20。
(Sin80o∙cos80°
sin20o
ɪsin160o
O
Sin20。
Qsin20o.
o_________1
Sin20。=—6
命题点2给值求值
例3(1)若COSe—α)=g,贝UCoS停+2,等于(
)
22
AwB.—g
17
CeD.一§
答案C
解析Vcos(^-α)=|.
⑵(2022.长春质检)已知sinfa-τ)÷√3cosQ=g,则sin(2a+^)等于(
)
2217
--
一C-D
A.3B.99
-9
答案D
1
解
析-
Sin3
ππ
--COS-4C
3in3^√3
1
-n
2S
命题点3给值求角
例4已知α,夕均为锐角,cosQ=邛ɪ,sin/?=中g,则COS2q=,2a~β=
套案~Z
口汞73
解析因为CoSa=邛,
所以cos2a=2cos2ct-1=斤.
又因为α,夕均为锐角,sin夕=唔,
.叵A13
所以SIna=十厂,CoSS=五,
4√3
因此sin2a=2sincccos
所以Sin(2α一夕)=sin2acos夕一cos20sinβ
4√3v13lv3√3√3
^7X147X14^2,
因为。为锐角,所以O<2αvτt.
兀
又cos2a>0,所以0<2a<2,
TTTT
又尸为锐角,所以一,<2α一尸V
又Sin(2。一尸)=彳,所以2。一夕=?
【备选】
,cos40°,ɪɔ,、
1.----------/的λa值为(z)
cos25o√1-sin40°
A.1B.√3C.√2D.2
答案C
cos2200-sin2200
解析原式=COS25°(CoS200—Sin20°)
CoS20°+Sin20°
cos250
-√2cos250β
一cos25°
2.已知A,B均为钝角,且sin2^+cos^A+∣^=5-√15
-,sinB=,则A+B等于()
答案C
解析因为解专+cos(A+§=‘哈三
斫NLCOSAIA立∙A5—仃
所以---2----÷2cosA-ɪsmA——而一,
曰口1由.λ5—行
即厂勺SnlA=F-,
解得SinA=乎,
因为A为钝角,
所以cosA=-∙∖∕l-sin2A=-
2√5
5.
由SinB=[4,且3为钝角,
得cosB=-y∣1—sin2β
3√Tθ
10•
所以cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
√5√ib-√2
510-2-
又A,B都为钝角,即A,B∈(5>π),
所以A+3∈(π,2π),
所以A+8=q-.
3.已知cos(e+;)=^^,OW(O,。贝IJSin(26一号=.
4-3也
答案
10
z、1+cos(20+yj](、4
解析由题意可得cos2(e+g=--------1—-=-⅛,cos(2e+g=-Sin2θ=~^,即sin26»
4
根据同角三角函数基本关系式,
3
可得cos2。=亍
由两角差的正弦公式,可得
sin2。CoSɜ-cos29Sinɜ
413v√34—3小
525210
思维升华(1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系,借
助南之间的联系寻找转化方法.
(2)给值(角)求值问题的一般步豚
①化简条件式子或待求式子;
②观察条件与所求之间的联系,从函数名称及角入手;
③将已知条件代入所求式子,化简求值.
跟踪训练2(1)(2019.全国H)已知αe(θ,∣),2sin2α=cos2a+l,则Sina等于()
ʌlB当C坐D.平
答案B
解析由2sin2«=Cos2a+l,得4sinC(CoSa=1—2sin2a÷1,即2sinacosa=1—sin2a.
因为a∈(θ,,),所以CoSa=y∕l-sin2%
所以2sinoc∖∣1—sin2a=1—sin2a,
解得sina=
5.
7rSTT
(2)(2021•全国乙卷)cos2j]-cos?适等于()
1
Aa,2B雪C坐D坐
答案D
因为CoS驾.π
解析=Sm运
所以cos2⅛-cos2⅛=cos2ττ-sin2ττ
14JLLJL乙ɪL
—cos
解析Vsin{x+≡J='
2
l+sin2x1
=~"2=5'
∙"∙sin2x^ɜ".
题型三三角恒等变换的综合应用
例5(2022-河南中原名校联考)已知函数√(x)=4cosXCOS(X+§—木.
(1)求KX)的单调递增区间;
⑵若以£0,3,且,/(a)=,,求cos2α.
解(Ivu)=4cosXCoSG+2)一小
=4cos(坐COSx-WSinJ-√5
=2√3cos2χ-2sinXCoSχ-y∣3
=Λ∕3(1+cos2x)—sin2x-y∣3
=√3cos2χ-sin2x
=2COS(2x+。
Tt
令2E—7τ<2x+wW2E(kWZ),
7ππ
解得hr—γ^WxWht一γ^(A∈Z),
所以7(x)的单调递增区间为[e—普,for—(⅛∈Z).
(2)由于αc[θ,I,
6
且式α)=g,
而Xft)=2cos(^2α÷^=∣,
所以cos^2α+^)=∣,
因为OWa芍TT,
所碟W2α+为目,
OOO
则"2α+衿
所以sin(2a+胃=34
5,
π
则cos2a=cosl^2α÷^j-旬
=COS(2a+§cos^+sinπ
6
-3χ√3+4χl
-5×2+5×2
3√5+4
IO,
【备选】
已知函数乎+小
KX)=SinlπCoSlA)
⑴求函数於)在区间[;,为上的最值;
(2)若COSe=,,多,2π),求/(2。+§的值.
解(1)由题意得
段)邛Sinlπ+当CoSlπ
A~x,
=正X,Sinl+日COSlπ
^2A~x,
*SinG一爸.
因为x≡[;,用,
所以x-⅛[+,⅛e]'
所以Sin(X—笥∈—半,1,
所以一半Sin(X一用)∈—乎,乎],
即函数y(x)在区间,,用上的最大值为小,最小值为一坐.
⑵因为COSe=之,Oe软,2π),
3
所以sinθ=-g
-24
所以sin20=2sin仇OS夕=一石,
cos20=cos20-sin20
1697
25^25^25,
乎sin(2<T)
=—/sin2。—COS2θ)
=;(CoS20—sin2θ)
思维升华(1)进行三甭恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系;
注意公式的逆用和变形使用.
22
(2)形如y=0sinx+bcosx化为y=y∣a+b∙sin(x+φ)9可进一步研究函数的周期性、单调性、
最值与对称性.
(XYχ∖
跟踪训练3(2022•云南曲靖一中质检)已知向量α=(cos3+sin5,2sin∕}b=
(CoS、一sin宗ʌ/ɜeos^j,函数/(x)=0∙5.
⑴求函数7U)的最大值,并指出7U)取得最大值时X的取值集合;
(2)若α,仅为锐角,cos(α+S)=Il,./(£)=,,求/卜+春)的值.
解(1)/(ɪ)=cos2^—sin2^+2√3sin^cos,
=cosx+√3sinx
=2SinG+g,
令x+^=^÷2⅛π(⅛∈Z),
得X=W+2∕τc,kGZ,
.∙√(x)的最大值为2,此时X的取值集合为卜卜=W+2E,⅛∈z
12
(2)由α,β为锐角,cos(α+.)=百,
得sin(α+S)=总
63
65,
.∙.∕(α+g=2sin(α+Wπ
3,
fπ,π
=2sιnlɔ-bɑ-ð
=2cos(α-*126
65^,
课时精练
1.己知tana=3,则cos(2a+,等于()
3c3-3一1
A.—2B.gC.—ʒDg
答案c
解析CoS(2a+今=—sin2a=~2sinacosa
-2Sinacosa
cos2α÷sin⅛
_—2tana_—2X3_3
1÷tan2a1+325,
2.(2022.遂宁模拟)己知ee(θ,∣),tan6>=√2,则cos2。等于(
)
*1
Tʌv•-√32DB.巫3C•」3LD×∙ɜ
答案C
COS2。一sin2。1-tan?。1
解析COS2。=COS2。一sin2。=
COS汨+Sin2。l+tan203,
3.(2022•成都双流中学模拟)tan67.5o-L⅛Q的值为()
[ano/.ɔ
A.1B.√2C.2D.4
答案C
*圻4____!_____sin67.5°_1_____Sin67.5°COS67.5°
解析tan67.5ς0―嬴67.5°=CoS67.5°-Sin67.5°=CoS67.5°-Sin67.5°
cos67.5°
sin267.5°-cos:67.5°
sin67.5ocos67.50
—cos135°
4.(2022•黑龙江大庆中学模拟)若CoS(30。一a)—Sina=J则sin(30。-2α)等于()
11
ʌ-ɜb∙-3
17
C.§D.—Q
答案D
解析由COS(30。一a)—SinQ=1
z≡√31.1
⅛2cosct_2sιna=3f
即cos(30。+Ct)=;,
所以sin(30o-2a)=cos(60o+2a)
=2cos2(30o+a)-1=2×ɑ-1
_7
=一甘
5.己知兀T)=T(I+cos2x)sin2Mχ∈R),则下列结论不正确的是()
A.«r)的最小正周期T=5
B.7U)是偶函数
C∙,Z(X)的最大值吟
D.yu)的最小值为上
答案D
解析∙∕yU)=;(1+cos2x)(1—cos2x)
=^(1—cos22x)
=WSin22X
=ξ(l-cos4x),
.β.χ-χ)=∣[1—cos4(—x)]
=∣(1-cos4x)=∕x),
_2π兀
142,
於)的最大值为《X2=1,
最小值为:义0=0,
O
故A,B,C正确,D错误.
6.下列各式中,值吗的是()
A.cos2γ^-sin2γ^
tan22.5°
βl-tan222.50
C.2sin2100cos2100
=COSq=坐,故A错误;
tan22,5o12tan22.5°
1-tan222∙5o=2,1-tan222.5o
=Itan45。=,故B正确;
2sin210ocos210°=2sin(180o+30o)cos(180°+30°)
sinɪr
…YCoS12°
解析原式=COS24。Sin12。
小COS12。-sin12。
cos240sin12ocos12°
2sin(600-12°)2sin480
~=I=&
ISin480WSin48°
8.若cos(^-α)=∣,贝IJsin2a=.
答案-⅜
97
=2X^T=-25'
π邛(Sina+cosα)=∣,
方法二
VcoslA~a
19
.∙.∕(1+sin2α)=2^,
97
sin2α=2Xχ-1=—苏
9.(2022-杭州模拟)己知函数J(X)=2cos⅛+2√3sinΛ∙COSX.
解⑴因为√(x)=2cos2χ+2小SinXCOSX
=l+cos2x+√3sin2x
=I÷2sin∣3,
=l+2sin
=l+2sin⅛l+l=2.
,cteI0'3,
得Sin(C(+§=不3a+
cosβ)=5`
5,
a+π
所以cosa=β)-l
6,
ππ技π
=CoS«+^jcos^÷sin^a+^jsin
666
4√3+3
=10
10.如图,点P在以AB为直径的半圆上移动,且AB=1,过点尸作圆的切线尸C,使PC=L
连接BC,当点P在什么位置时,四边形ABCP的面积等于:?
解设∕B4B=α,连接PB,如图.
:AB是圆的直径,ΛZΛPB=90o.
又AB=1,.∖PA=Cosa,
PB=sina.
YPC是圆的切线,ΛZBPC=a.
XPC=I,
:∙S四边形ABCP=S∙APB+S4BPC
=PB+/尸3・PCSina
=∣cosasina
=;Sin2α÷^(l—cos2a)
=^(sin2a-cos2α)+1
乎sin(2a-§,∣
由已知,
.β.sin^2α-
2,
又α∈(θ,予,
∙∙∙2α-f∈(-J.⅞).
Cππ
2a~4=4^
rr]
•••a=》故当点尸位于A8的垂直平分线与半圆的交点时,四边形ABCP的面积等于宏
11.(2022•昆明一中模拟)已知机=2SinI8。,若机2+〃=4,则------⅛=---等于()
nτ∖∣n
11
A.-4B.-2
1
=eɪ4D2
答案B
解析因为〃7=2SinI8°,∕√+〃=4,
所以H=4—∕H2=4-4sin218o=4cos218o,
1—2COS2153°
因此•tn∖∣n
-cos306°
2sin18o∙2cos18°
_—cos54°_-Sin36°_ɪ
=2sin36o=2sin36o=^2-
12.(2022.杭州模拟)“一gθwg'是''√5COS20—/in2峪上乎”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案A
■Q
解析由于cos2j—5Sin2Θ=2COS2。一
ɪsin20+枭苧,
得cos(20+§>;,
TTTT
所以一“πWOW五+∕cπ(k∈Z),
因此“一;WeW吉"是“√5cos20-%in2。》上甲”的充分不必要条件.
13.在平面直角坐标系Xo),中,角α的顶点为坐标原点,始边与K轴的非负半轴重合,终边
交单位圆。于点P(α,b)t且〃+/?=,,则cos(2a+:)的值是.
Mg24
答案一行
解析由任意角的三角函数的定义得,sin。=仇
cosa=a.
77
又a+b=^^9
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