2023年高考数学一轮复习（全国版文） 第2章 指数与指数函数

指数与指数函数

【考试要求】1.理解有理数指数基的含义，了解实数指数辕的意义，掌握指数基的运算性质.

2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象3理解指数函数的单调性、特

殊点等性质，并能简单应用.

【知识梳理】

1.根式

(1)如果那么工叫做。的〃次方根，其中〃>1,且

(2)式子犯叫做根式，其中〃叫做根指数，。叫做被开方数.

(3)(也)"=4

当〃为奇数时，q/=2，

「[a,a20,

当〃为偶数时，

[—a,a<0.

2.分数指数累

tn

正数的正分数指数基，加=亚(〃>0,m,〃GN*,n>l).

1i

正数的负分数指数嘉，a"=—m,“eN*,«>1).

an

0的正分数指数塞等于(L0的负分数指数幕没有意义.

3.指数幕的运算性质

arcf=cTl^3丁=/；(abY=arb'(a>0,b>0,r,sGR).

4.指数函数及其性质

⑴概念：函数丫=优(“>0,且叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R,

a是底数.

(2)指数函数的图象与性质

a>\0«/<1

图象

定义域R

值域(0,+8)

性质过定点(0,1),即x=0时，y=l

当x>0时,y>l；当x<0时，y>l；

当xvO时，0勺<1当心>0时，0勺<1

在(一8,+8)上是增函数在(-8,+8)上是减函数

工常用结论，

1.指数函数图象的关键点(0,1),(1,a),(一1,5)

2.如图所示是指数函数(1方=日,(2)尸怪,(3)y=cS(4)y=旨的图象,贝(Ic>d>l>a>b>0,即

在第一象限内，指数函数y=“'(">0且a#1)的图象越高,底数越大.

r思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

⑴[(—4)4=—4.(X)

(2)262''=2而.(X)

(3)函数)，=32,与)，=2'*i都不是指数函数.(V)

(4)^am<a'\a>0,且aWl),则〃?<〃.(X)

工教材改编题】

1.化简[而存.的结果为()

A.5B.小

C.一小D.-5

答案B

_323231

解析原式=(存户=(5§户=5^=55=#.

2.函数/(x)=aLi+2(a>0且aWl)的图象恒过定点_____

答案(1,3)

1_1_3

3.已知ci—j,b—[g)，c=(万)，则Q，b，

C的大小关系是________

答案c<b<a

解析•・b=(1)'是R上的减函数，

••・鼠钎也即…

_3

又cjiyv*，

c<b<a.

题型一指数幕的运算

例1(1)(2022•沧州联考)2——@4ab_)——_(a>0>/,>0)=,

(0.1)-9.疔3户

8

答案-

5

33_3

2.4鼻丁万，8

解析原式=

335,

10层广

33

——r-+%2—3

⑵若炉+X2=3(x>0),则,:、=

X"-\rX~—2

较口享荥-3

解析由/+x2=3,

两边平方，得x+无-1=7,

再平方得/+/2=47,

・3+—-2=45.

£」

=(#+x2)(x—1+x-1)

=3X(7-1)=18.

尤2+x2-3」

,\2+九一2_2万

t教师备选1

（2022・杭州模拟）化简J"叱I(«>0,6>0)的结果是()

2C

A也

aBbc-f吟

答案B

Ja%?正济_a2b•小公

解析

-i~iTh_—~n~r

(凉炉)九:2(出店)4.履5.6

,-1a

=疝-A-

思维升华（1）指数蕊的运算首先将根式、分数指数森统一为分数指数赛，以便利用法则计算,

还应注意：

①必须同底数赛相乘，指数才能相加.

②运算的先后顺序.

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.

C.a6D.a3

答案B

解析原式==Jr?

答案兀+8

21

解析原式=(23r-l+|3-n|+(26)5=4-1+兀-3+2三无+8.

题型二指数函数的图象及应用

例2⑴函数)，=三研0<〃<1)的图象的大致形状是()

答案D

rzrv，X>0,

解析因为y=^=rc且0<"1,

W［一心x<0,

所以根据指数函数的图象和性质，

当xC(O,+8)时函数是减函数；

当xG(—8,0)时函数是增函数，

所以函数在(0,+8)上单调递减，在(一8,0)上单调递增，故选D.

⑵若函数yu)=0-2|-6有两个零点，则实数b的取值范围是.

答案(0,2)

解析在同一平面直角坐标系中画出>=|2，-2|与y=b的图象，如图所示.

...当0口<2时，两函数图象有两个交点，从而函数人无)=|2工一2|一人有两个零点.

.•北的取值范围是(0,2).

【教师备选，

在同一直角坐标系中，指数函数二次函数y=o?一云的图象可能是()

答案B

解析指数函数)，的图象位于x轴上方，据此可区分两函数图象.二次函数)，="小—法

-(ax—b)x,有零点，0.

A,B选项中，指数函数y=(§>.在R上单调递增，故故A错误，B正确.

C,D选项中，指数函数在R上单调递减，故0(<1,故C,D错误.

思维升华(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通

过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.

(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.

跟踪训练2(1)(2022•陕西汉台中学月考)己知函数式x)=a—4)(x-b)(其中a>b)的图象如图所

示，则函数8(箝=/+6的图象是()

答案A

解析由图象可知，

所以函数g(x)—aK+b是减函数，

g(0)=l+A0,所以选项A符合.

(2)函数的图象如图所示，其中小〃为常数，则下列结论正确的是()

A.a>\,b<0

B.h>0

C.b>0

D.0<«<l,人<0

答案D

解析由式X)="L"的图象可以观察出，

函数人x)=〃「〃在定义域上单调递减，

所以0<a<l.

又所以一比>0,即从0.

题型三指数函数的性质及应用

命题点1比较指数式的大小

例3(1)(2022・永州模拟)若a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>c>aD.a>c>b

答案B

解析:函数y=，在R上是减函数,

又；号函数y=x在（0,+8）上单调递增,

0,,

,/.0<a<b<1,

而函数y=，是R上的增函数，

；.c=°=l,:.c>b>a.

（2）（2020•全国H）若2,—2，<3r[3N则（）

A.ln（y—x+l）>0B.ln（y—x+l）<0

C.ln|jc-3i>0D.ln|A-y|<0

答案A

解析设函数/）=2、一3二

因为函数y=2,与>=一3一，在R上均单调递增，所以«r）在R上单调递增.

原式等价于2A-3-v<2v-3-\

即危）勺CO，所以x<y,即y—x>0,所以A正确，B不正确.

因为仇一Y与1的大小关系不能确定，所以C,D不正确.

命题点2解简单的指数方程或不等式

例4（1）（2022•长岭模拟）已知），=4，-32，+3的值域为[1,7],则x的取值范围是（）

A.[2,4]B.（一8,0）

C.（0,1）U[2,4]D.（—8,0]U[l,2]

答案D

解析•.1=4，-3-2*+3的值域为[1,7],

...1W4X-30+3W7.

或2W2*W4.

.'.xWO或1WxW2.

⑵当04<1时，方程且。#1）有解，则实数a的取值范围是.

答案（4,+°°）

解析依题意，当xe（o,§时，y="与有交点，作出的图象，如图，

d>\,

所以，ji解得a>4.

黯>2,

命题点3指数函数性质的综合应用

例5已知函数凡r）=2'-叫"为常数），若兀v）在区间[2,+8）上单调递增，则m的取值范围

是.

答案（一8,4]

解析令f=|2x-刑，贝I]f=|2x一刑在区间怪+8)上单调递增，在区间(一8,日上单调递

减.而y=2,是增函数，所以要使函数/)=2&-阑在[2,+8)上单调递增，则有与《2,

即mW4,所以机的取值范围是(-8,4].

1教师备选，

1.下列各式比较大小不正确的是()

答案A

解析..5=*为增函数，.故A不正确;

2为减函数，

24

・'.(/J=2''故B正确；

V>1,而£(0,1)，

・•・，故C正确；

32

・”母为减函数，<(|j

又y=/在(0,+8)上单调递增,

322

陪„卜图,故D正确•

2.(2022・泸州模拟)已知函数次x)=e」若加一2)+而)W0,则实数。的取值范围是

答案[-2,1]

解析因为危)="5，定义域为R,

其一;1)=5工一春=看一^=一%),

所以y(x)=e*T为奇函数.

又因为外)=F一看在R上为增函数，

所以42)十人/)忘0.火。-2)

W—X«2)=>/(a-2)W./(—a2),

即Q—2W一层，。2+〃—2<0,

解得一2WaWl.

思维升华(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，

比较大小还可以借助中间量.

(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最

值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.

跟踪训练3⑴设小，”GR,则"％</'是"陟-”>1”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案C

解析

即俘)f®,

??<0,/.m<n.

故"〃?<"”是"自"厂">1”的充要条件.

/[xax2-4x+3

⑵已知函数,若/(x)有最大值3,则a的值为.

答案1

解析令我0=加-4x+3,

♦.求x)有最大值3,

；.g(x)有最小值一1,

卜>0,

则L-4解得“=1.

1,

a

课时精练

421

1.(2022・佛山模拟)已知4=2?,b=43,c=5"则()

A.c<h<aB.a<b<c

C.b<a<cD.c<a<b

答案A

422

解析因为〃=23=4"6=45,

22

所以a=>4S=b,

2_L］

因为b=4工=(46声=4096行,

1_L_L

c=5l=(55卢=3125百，则b>c.

综上所述，a>b>c.

2.若函数7(x)="-b的图象如图所示，则()

A.a>l,b>\B.a>\fi<h<\

C.0<。<1,b>\D.0<〃<l,0<b<l

答案D

解析根据图象，函数一人是单调递减的，

所以指数函数的底数〃w(0,l),

根据图象的纵截距，令x=0,y=l—/?£(0,1),

解得6G(0,1),

即qW(0,l),go』).

3.下列函数中，与函数y=2'—2］的定义域、单调性与奇偶性均一致的是()

A.y=sinxB.y=x3

C.>=&D.y=k>g”

答案B

解析y=2，-2，是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数，y=sinx不是单调递增函数,

不符合题意；

是非奇非偶函数，不符合题意；

y=logK的定义域是(0,+°°),不符合题意；

y=T是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数，符合题意.

4.(2022•福建三明一中检测)函数/)="(a>0,aW1)在区间［1,2］上的最大值是最小值的2倍,

则〃的值是()

A.1或点B］或2

C.1D.2

答案B

解析当”>1时，函数单调递增，

/(X)max=2/(X)min，

・\/(2)=贺1)，

，〃2=2〃，•*.67=2；

当Ov4Vl时，函数单调递减，

火工)max=4(%)min，

・\/(1)=贺2),.e.tz=2«2,*.a=y

综上所述，4=2或4=；.

5.函数丫="一：3>0,且〃W1)的图象可能是()

答案D

解析当«>1时，>=炉一(为增函数，且在y轴上的截距为0<1—%1,此时四个选项均不对；

当0<“<1时，函数y="—5是减函数，且其图象可视为是由函数)，=优的图象向下平移黑>1)

个单位长度得到，选项D适合.

6.(2020・新高考全国I)基本再生数Ro与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本

再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠

肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：/(f)=e"描述累计感染病例数/⑺随时间f(单位：天)的

变化规律，指数增长率r与Ro,T近似满足Ro=l+rT.有学者基于已有数据估计出R)=，T

=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(In2^)()

A.天B.天C.天D.天

答案B

解析由岛=1+〃；Ro=,7=6,

,口Ro—1—1

得

由题意，累计感染病例数增加1倍，

则/(f2)=2/(/1),即eft38'2=2e°3初，

所以eO.38”2f)=2,即(f2—m=ln2,

匕匕〜In2

所以ti-t\=---七仁

1

7.已知a>0,b>0,则

答案1

1

解析

&

211

(加"

_1_L_L1

不质.”.田

_[5

_L」」11_5

=^236.^326=1

T

*〃Wx＜0,

8.已知函数兀0=的值域是[—8,1],则实数。的取值范围是

一『+2x,0WxW4

答案[-3,0)

解析当0WxW4时，/x)W[-8,l],

当aWxvO时，y(x)e一崇，-1),

所以一表一1)[-8,1],

即一8W—/<—1,即一3W“<0.

所以实数”的取值范围是[—3,0).

9.己知函数段)="砥其中〃，b为常数,且。＞0,〃W1)的图象经过点A(l,6),5(3,24).

(1)求/U)的解析式；

(2)若不等式七}+(}＞一

川，0在(-8,1]上恒成立，求实数〃?的取值范围.

解(1)因为y(x)的图象过点41,6),8(3,24),

ba=6,

所以,3=24.所以〃=4,

又。>0,所以〃=2,b=3.

所以加)=32，.

(2)由(1)知〃=2,b—3,

则当xe(—8,i］时，

01''+(9'—小》。恒成立，

即mWQ}+(W>在(-8,1］上恒成立.

又因为y=(；>与y=(g>在(―8,1］上均单调递减，所以y=(T)+g)在(―8,1］上也单

5-

-

调递减，所以当尸1时，y=@}+G>有最小值焉，所以，后|,即根的取值范围是(一6

-

10.已知定义域为R的函数人幻="一(左一I)"""/〉。且aWl)是奇函数.

⑴求实数攵的值；

(2)若11)<0,判断函数人x)的单调性，若人序-2)+见力)>0,求实数机的取值范围.

解(1)・・・凡1)是定义域为R的奇函数，

・\A0)=a°一(A—l)a0=l-(A—l)=0,

:.k=2,

经检验％=2符合题意，・・・Z=2.

=ax-a~x(a>0且aWl),

•・7U)<o，

1-I

..a—~<0,又a>0,且aWl,

0<6t<1,

而>=〃在R上单调递减，y=〃r在R上单调递增，

故由单调性的性质可判断兀x)=〃一/、在R上单调递减，

不等式大加2—2)+«〃2)>0

可化为月病一2)次—jn),

..."及一2<一即//z2+w-2<0,

解得一2<m<1,

，实数加的取值范围是(一2,1).

11.已知Ovzvbvl,则()

A.(1-a)*>(1-«)*

b

B.(l-a)*>(l-tz)2

C.(l+a)fl>(l+/?)*

D.

答案D

解析因为0<”1,所以0<l—4<1,

所以)，=(1一4户是减函数，又0<Xl,

所以?仇历专，

所以a*,(1—a)yi-a)Z,

所以A,B均错误；

又1<1+a〈l+J,

所以(1+a)y1+b)a<(\+b)b,

所以C错误；

因为0<1—b<\—a<\,

所以—〃»>(1汽所以D正确.

12.(2022•南京模拟)若直线y=2a与函数y="一l|(a>0,且aWl)的图象有两个公共点，则a

的取值范围是()

A.(0,Ju(l,+°°)B(0,0

C.Q,1)D.(1,+8)

答案B

解析①当a>l时，由图象得

；a>l,...此种情况不存在；

②当0<〃<1时，由图象得0<2a<l,

V0<a<\,A0<a<2-

13.(2022・西安模拟)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的

美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设XGR,用㈤表示不超过x的最大整数，则y=[x]

称为高斯函数，也称取整函数，例如：[一]=-4,[]=2.已知於尸WIT则函数产[/W]

的值域为()

A.|0}B.{-1,0}

C.{-2,-1,0}D.{-1,0,1}

答案C

e"-11

解析於尸0叶厂万

eA+l-2_]

=ex+l~2

=—二+1

e”+l十2'

VeA>0,.,.eA+l>l,

2

A0<<2,

eA+1

2

12<一+]<0,

・小)仁

伏》］为一2或一1或0.

14.如果函数了=消+2"-1(。>0,。工1)在区间［-11］上的最大值是14,则。的值为.

答案3或g

解析令/=f,则、=4为+2〃-1

=尸+21-1=(/+1)2—2.

当a>\时，因为xG［—1,1］,

'1'

所以卢匕，可，

又函数y=(f+l)2—2在5，上单调递增，

所以ymax=(a+l)2—2=14,

解得4=3(负值舍去).

当0<41<1时，因为XG［—1,1］，

「r

所以户［0,-J,

又函数丫=。+1)2—2在［a,J上单调递增，

则ymax=(