2023年新高考数学大一轮复习 直线与圆

直线与圆

［考情分析］1.和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，多以

选择题、填空题形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中

高难度.

考点一直线的方程

【核心提炼】

1.已知直线Z：4x+4y+G=0（4,氏不同时为零），直线4：4x+4y+C=0（4,氏不同

时为零），则4旦=0,且4G—4GW0,，_1心=44+6抠=0.

|Zxo+为b+C\

2.点户（荀，%）到直线/：4r+6y+C=0（46不同时为零）的距离d=

Ic-d

3.两条平行直线1i：4r+8y+G=0,4:公十分+C=0（46不同时为零）间的距离d=m?+©•

例1⑴若直线71：x+"+6=0与»（己-2）x+3y+2a=0平行，则，与乙间的距禺为

解析由乙〃/2得(a—2)d=lX3,且aX2dW3X6,

2

解得乃=-1,Ji：x—y+6=0,/：x—y+-=0,

o

「・与，2间的星巨禺d=不—.

W+-13

⑵直线ax+y+3a—1=0恒过定点N,则直线2x+3y—6=0关于点儿对称的直线方程为

()

A.2x+3y—12=0B.2x+3p+12=0

C.2x—3y+12=0D.2入一3/—12=0

答案B

解析由ax+y+3a—1=0可得a(x+3)+y—1=0,

fx+3=0,

令|1八可得x=—3,y=l,

[y—1=0,

AM-3,1).

设直线2x+3p—6=0关于点N对称的直线方程为2x+3p+c=0(cW—6).

1

|—6+3—6||—6+3+c|

“[4+9—14+9'

解得c=12或c=—6(舍去).

.•.所求直线方程为2x+3y+12=0.

易错提醒解决直线方程问题的三个注意点

(1)求解两条直线平行的问题时，在利用45一/血=0建立方程求出参数的值后，要注意代

入检验，排除两条直线重合的可能性.

(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直,

而截距式方程即不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线.

(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.

跟踪演练1(1)已知直线/经过直线71：x+y=2与72：2x-y=\的交点，且直线1的斜率

9

为一勺，则直线/的方程是(

A.-3x+2y+l=0B.3x—2y+l=0

C.2x+3y—5=0D.2才一3?+1=0

答案C

fx+y=2,

解析解方程组°

[2x-

所以两直线的交点为(1,1).

因为直线/的斜率为一2*

o

9

所以直线1的方程为y-1=—5(x—1),

0

即2x+3y—5=0.

(2)已知直线/i：Ax—p+4=0与直线L：x+Ay—3=0(AW0)分别过定点4B,又h人相

交于点必则|例|・|圾的最大值为.

25

答案万

解析由题意可知，直线A：y+4=0经过定点/(0,4),直线心：x+Ay—3=0经过定

点庾3,0).

易知直线A：4x—y+4=0和直线心：x+Ay—3=0始终垂直，又〃是两条直线的交点，所

以MALMB,

所以|例「+|如|2=|/8「=25,故|也|•|加*万

当且仅当I例|=|圾-时取“=”

2

考点二圆的方程

【核心提炼】

1.圆的标准方程

当圆心为(a,6),半径为r时，其标准方程为(x—a)?+(y—⑹2=合，特别地，当圆心在原点

时，方程为，+/=之

2.圆的一般方程

3+/+以+砂+6=0,其中〃+1一4^o,表示以(一呆一名为圆心，y万+f—4户为半径的

圆.

例2(1)(2018•天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为

答案x+/~2x=0

解析方法一设圆的方程为3+y尸=0.

・・,圆经过点(0,0),(1,1),(2,0),

"分=0,[D=~2,

・・.{2+D+E+F=0,解得<£=0,

、4+2〃+分=0.[F=0.

•二圆的方程为？+/—2x=0.

方法二画出示意图如图所示，

y

A

01BX

则△力6为等腰直角三角形，

故所求圆的圆心为(1,0),半径为1,

所求圆的方程为(X—1)?+/=1,

即/+7—2矛=0.

⑵已知圆，与x轴相切于点7(1,0),与y轴正半轴交于两点4M3在4的上方)，且|朋

=2.则圆「的标准方程为.

答案(X—iy+(y—4”=2

解析设圆心以a,6),半径为r,

•••圆C与x轴相切于点7(1,0),

r=|b\.

又圆。与p轴正半轴交于两点,

Z?>0,则b=r,

3

V|^|=2,：.2=2yjr~l,

•*.r=y[2,

故圆c的标准方程为(x—1尸+5—镜)2=2.

规律方法解决圆的方程问题一般有两种方法

⑴几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.

⑵代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.

跟踪演练2(1)(2020•全国II)若过点⑵1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x—y

—3=0的距离为()

答案B

解析由题意可知圆心在第一象限，设为(a,6).

•.•圆与两坐标轴都相切，

a=b,且半径r=a,

・,•圆的标准方程为(x—乃)2+(y—a)2=次

•・,点⑵1)在圆上，・•・(2—3¥+(1—4=才,

.•.才一6a+5=0,解得a=l或3=5.

当a=l.时，圆心坐标为(1,1),

此时圆心到直线2x—y—3=0的距离为

12X1-1-312^5

气24Tk5；

当a=5时，圆心坐标为(5,5),

此时圆心到直线2x—y—3=0的距离为

2X5-5-312^5

气24T干5・

综上，圆心到直线2x—y—3=0的距离为挛.

(2)已知46分别是双曲线C：1的左、右顶点，尸(3,4)为C上一点，则△用6的外

接圆的标准方程为.

答案/+(y-3)2=10

916

解析・・・尸(3,4)为。上一点，・・・一一万=1,

m2

4

解得力=1,则8(1,0),.\kpB=-=2f

4

心的中点坐标为⑵2),

心的中垂线方程为y=—[(x—2)+2,

令x=0,则尸3,

设外接圆圆心为欣0,t),

则”(0,3),r=|颇|=加不？=45，

...△以8外接圆的标准方程为/+5—3)2=10.

考点三直线、圆的位置关系

【核心提炼】

1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法

(1)点线距离法.

(2)判别式法：设圆C-.(x—a)2+(y—t>)2=r,直线7：/x+4r+C=0(1+##0),方程组

|x—a2+y~b2=r,

消去y,得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为/,则直线与圆相离=/〈0,直线与

圆相切=/=0,直线与圆相交o/>0.

2.圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离.

例3⑴已知直线1：x+ay—l=0(aeR)是圆C：/+/—4x—2y+l=0的对称轴，过点A(~

4,a)作圆C的一条切线，切点为氏则等于()

A.2B.4y[2C.6D.2710

答案C

解析由题意，得圆c的标准方程为(X—2)2+5—1)2=4,知圆。的圆心为C(2,1),半径为

2.

方法一因为直线,为圆，的对称轴，所以圆心在直线，上，则2+a—1=0,解得a=—1,

所以|加三I第—18。2=[(-4-2)2+-4=36,所以=6.

方法二由题意知，圆心在直线/上，即2+a—1=0,解得a=—1,再由图知，\AB\=6.

(2)(2020•全国I)已知。肱x+y-2x-2y~2^,直线h2x+y+2=0,户为/上的动

点，过点户作。〃的切线用，PB,切点为46,当|阿•最小时，直线期的方程为()

A.2x—y—l=0B.2x+y—1=0

C.2x—y+l=0D.2x+p+l=0

答案D

5

解析。〃：(X—1)?+(y—1)2=4,

则圆心。〃的半径为2.

如图，由题意可知冏吐力6,

四边形用奶=51〃/|,\AB\

=\PA\•\AM\=1\PA\,

：.|PM\•\AB\=4|序I

=”/|冏/|J.

当|掰|•|A3|最小时，[翻最小,此时局人/.

故直线冏/的方程为y—1=1(A—1),

即x—2y+1=0.

[A-2y+l=0,—

由得

〔2x+y+2=0,[y=0,

.•.?(一1,0).

又：直线x=-1,即必与。〃相切，

.•.必J_x轴,PALMA,；.4(一1,1).

又直线46与，平行，

设直线AB的方程为2x+y+/=0W2),

将^4(—1,1)的坐标代入2x+y+〃=0,得1.

直线AB的方程为2x+y+1=0.

规律方法直线与圆相切问题的解题策略

直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切

线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式.过圆外一点求解切线段长的问题，可先

求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算.

跟踪演练3(1)已知点〃是抛物线/=2x上的动点，以点〃为圆心的圆被y轴截得的弦长

为8,则该圆被x轴截得的弦长的最小值为()

A.10B.4事C.8D.2y/15

答案D

6

解析设圆心《会aj,

而产=(1y+(1)=・+16，

:圆〃与x轴交于46两点，

/.|AB\=2yJr-a=2yj^+16—a2

=yja-4a+64=yj~a—2~2+60

2M=2标.

(2)若圆x+y=4与圆f+y+ax+Zap—9=0(d>0)相交，公共弦的长为2镜，则a=

答案号

\x+炉=4,

解析联立两圆方程z,z,,…

|/+/+ax+2oay—9=0,

可得公共弦所在直线方程为ax+2ay—5=0,

故圆心(0,0)到直线ax+2ay—5=0的距离为

|-5乖,、

后^=a⑷。)-

故2r2?-用2=2$,解得4=|,

因为a〉0,所以a=邛.

专题强化练

一、单项选择题

1.过点4(1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()

A.y-x=\B.y+x=3

C.2x—y=0或x+y=3D.2x—y=0或y—x=l

答案D

2—0

解析当直线过原点时，可得斜率为广=2,

1—U

故直线方程为p=2x,即2x—y=0,

当直线不过原点时，设方程为三+上=1,

a-a

7

19

代入点（1,2）可得---=1,解得a=-1,

aa

方程为x—y+l=O,

故所求直线方程为2x—y=Q或y—x=l.

2.若直线x+（l+㈤y—2=0与直线以x+2y+4=0平行，则r的值是（）

-3

A.IB.-2C.1或一2D.--

答案A

解析由两直线平行的条件可得一2+〃+B=0,

・••加=-2（舍）或m=l.

3.已知圆/+/+2必才+2_7+4A=0关于y=x对称，则A的值为（）

A.-IB.IC.±1D.0

答案A

解析化圆/+产+2入r+2p+4A=0为（x+A?）—（y+l）2^^4—4A+1.

则圆心坐标为（一片一1）,

•••圆X2+/+2«1+2_7+44=0关于p=x对称，

・•・直线y=x经过圆心，

—A2=—1,得4=±1.

当4=1时，A4—4^+1<0,不合题意，

k=-1.

4.（2020•厦门模拟）已知圆G/+/-4x=0与直线1相切于点尸（3,小）,则直线1的方

程为（）

A.3x—45y—6=0

B.x—\[3y—6=0

C.x+/y—4=0

D.x+/y—6=0

答案D

解析圆G/+/—4了=0可化为（x—2尸+/=4,则圆心以2,0）,

直线/T的斜率为总,=展9=第，

Z一JV

Y1LPC,则直线，的斜率为

,1

・••直线/的点斜式方程为y—十=-3（x—3）,化为一般式得x+十y—6=0.

8

5.(2020•长沙模拟)已知直线1过点A(a,0)且斜率为1,若圆/+/=4上恰有3个点到1

的距离为1,则a的值为()

A.3小B.±372

C.±2D.±y/2

答案D

解析直线1的方程为尸x—a,即x一厂a=0.圆上恰有三个点到直线1的距离为1,可知

圆心到直线的距离等于半径的一半，即三=1，a=土@.

6.已知点户为圆a(X—l)2+(y—2)2=4上一点，A(0,-6),6(4,0),则|行+无|的最大

值为()

A.-J26+2B.标+4

C.2-J26+4D.2^26+2

答案C

解析取的中点2(2,-3),

则汤+崩=2历，\PA+PB\=\2PD\,

又由题意知，圆。的圆心。的坐标为(1,2),半径为2,

I曲的最大值为圆心C(l,2)到2(2,—3)的距离d再加半径r,

又d="l+25=^26,d+r=y[^>+2,

/.12PD\的最大值为2标+4,

即|PA^PB\的最大值为2m+4.

7.(2020•北京市陈经纶中学月考)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出

了圆的另一种定义：平面内，到两个定点46距离之比是常数4(4>0,的点〃的轨

迹是圆，若两定点48的距离为3,动点〃满足|扬|=2|雄则〃点的轨迹围成区域的面

积为()

A.兀B.2兀C.3兀D.4兀

答案D

解析以/为原点，直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则6(3,0).设〃(x,y),依

题意有，]近十北尸2,化简整理得，/+/-8^+12=0,即(x—4尸+/=4,则〃点

7x—32+y

的轨迹围成区域的面积为4”.

8.(2020•辽宁省大连一中模拟)已知圆C：/+y=4,直线1：x—y+6=0,在直线，上任

取一点户向圆C作切线，切点为4B,连接46,则直线A6一定过定点()

9

22'

丁3B.(1.2)

4£

C.(-2,3)

3*3

答案A

解析设点尸(刘，为),则刘一%+6=0.过点尸向圆。作切线，切点为4B,连接/氏以"

为直径的圆的方程为x(x—xo)+y(y—%)=0,

又圆GV+/=4,作差可得直线A6的方程为x«)+期=4,将为=荀+6,代入可得

x+y=0,

(x+y)刘+6y—4=0,满足，

6y—4=0

故直线45过定点(一］,gj.

二、多项选择题

9.集合力={(x,y)|x+y=4},{(x,y)\(JT—3)2+(y—4)2=/},其中r〉0,若/A6中

有且仅有一个元素，则r的值是()

A.3B.5C.7D.9

答案AC

解析圆x+y2=4的圆心是。(0,0),半径为7?=2,圆(x—3)?+(y—4)?=封的圆心是。⑶4),

半径为r,|OC\=5,当2+r=5,r=3时，两圆外切，当—2|=5,r=7时，两圆内切，

它们都只有一个公共点，即集合AC6中只有一个元素.

10.下列说法正确的是()

A.直线x—y—2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2

B.点尸(0,2)关于直线y=x+1的对称点为P'(1,1)

C.过皿荀，/，Pz(xz,㈤两点的直线方程为匚匹=匚生

yi—yi苞一xi

D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y—2=0

答案AB

解析选项A中直线x—y—2=0在两坐标轴上的截距分别为2,-2,所以围成的三角形的

面积是2,所以A正确；选项B中分'的中点色工，在直线旷=才+1上，且尸(°，2)，

P,(1,1)两点连线的斜率为一1,所以B正确；选项C中需要条件4力■，X2#x”所以C错

误；选项D中还有一条截距都为0的直线y=x,所以D错误.

11.已知圆G：(x+6)2+(y—5)2=4,圆C：(^-2)2+(y-l)2=l,M,"分别为圆G和C

上的动点，尸为x轴上的动点，贝1掰+|加的值可以是()

10

A.6B.7C.10D.15

答案BCD

解析圆G关于x轴的对称圆G为（x—2产+（了+1）2=1,圆心G（2,-1）,々=1,点“关

于x轴的对称点N在圆G上，又圆G的圆心4（-6,5）,h=2,|掰+|朋=|阿+

PN|2|PCi|—11+|PCa|-zs=|PCi+|PC、\—32|C\Ci|-3="\j2+6——1—5'—3

=7,|阴+|网的取值范围是［7,+8）.

12.已知点/是直线_/：x+y—4=0上一定点，点户，0是圆/+4=1上的动点，若

的最大值为90°,则点/的坐标可以是（）

A.（0,木）B.（1,72-1）

C.（巾,0）D.（V2-1,1）

答案AC

解析

如图所示，坐标原点。到直线Ax+y—镜=0的距离咨卞=1,则直线/与圆/+/

=1相切，由图可知，当/R40均为圆f+/=l的切线时，/以0取得最大值，连接能

0Q,由于/为0的最大值为90°,且/"。=/4?。=90°,\OP\=\OQ\=1,则四边形相。0

为正方形，所以1M=/|阴设4（3书—t）,由两点间的距离公式得IM=

q干+一t—,=小,整理得「一筐大=o,解得力=。或因此，点/的坐标为（0,

©或（低0）.

三、填空题

13.若直线1：；+、=l（a>0,6〉0）经过点（1,2）,则直线，在x轴、y轴上的截距之和的最小

值是.

答案3+2/

解析因为直线1-.-+T=1（a>0,6>0）经过点（1,2）,所以所以a+b=（a+6），■+,

abab\abj

=3+g+*3+24，当且仅当@=镜+1,6=2+班时等号成立.所以直线在x轴、y轴

上的截距之和的最小值是3+2嫡.

11

14.已知。。：V+/=l.若直线了=履+2上总存在点只