2024届新高考数学小题微点特训35 圆锥曲线的综合问题含答案

微点特训•数学（新）

微点锁定目标，势必达成。

35.圆锥曲线的综合问题

特训完成日期：月日

［考点对点练］一保分必拿的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2.其中正

确的是（）

［考点一］直线与圆锥曲线的位置关系

A.①B.②C.③D.④

1.已知直线，：y=2z+3被椭圆C：q+y=l（a>〃>0）

22

6.在平面直角坐标系jcOy中，双曲线「一为■=1（a>0,

a-fr

截得的弦长为7,则下列直线：①y=2w—3;②y=2彳

心>0）的上支与焦点为F的抛物线）2=2/〃（户>0）交

+1;③y=—2/一3；④3，=—2才+3.其中被椭圆C截

得的弦长一定为7的有（）于A.3两点.若IAPI+I8FI=4|OFI,则该双曲线

A.1条B.2条C.3条D.4条的渐近线方程为.

2.（多选）过抛物线V=41的焦点F作直线交抛物线于［考点二］综合问题

A,B两点,M为线段AB的中点，则（）7.已知圆=/（=>0）与抛物线=2方交于A,B

A.以线段AB为直径的圆与直线工=一告相离两点，与抛物线的准线交于C,D两点，若四边形AB-

C。是矩形，则r等于（）

B.以线段BM为直径的圆与》轴相切

A.yB.V2C.yD.V5

C.当春=2同时.|AB|=?

8.已知点A是抛物线C：/=2py（/>>0）上任意一点.点

D.1ABI的最小值为4

。为坐标原点，若点夙0,一1）满足NABO445°,则/）

3.已知椭圆C：q+《=l（a>〃>0）的左、右焦点分别

的最大值为（）

A.2B.3C.4D.5

为F|,F?,且F?也是抛物线E：y2=2AHp>0）的焦

22

点，点A为C与E的一个交点，且直线AF|的倾斜角9.抛物线，2=8#的焦点F是双曲线'彳一5=

ab

为45°,则C的离心率为（）

>0）的一个焦点.AS,."）（”>0）为抛物线上一点，直

B.V2-1线AF与双曲线有且只有一个交点，若|AF|=8.则该

双曲线的离心率为（）

C.3-75D.V2+1

4.已知过双曲线£:：（一手=1的左焦点F的直线/与A.V2B.V3C.2D.V5

10.双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布•伯努

双曲线左支交于点A.6.过原点与弦AB中点D的直

利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系

线交直线上=一竽于点E,若4AEF为等腰直角三M为中，把到定点F|（一。，0）,尸2（。,0）距离之积等

于a2（a>0）的点的轨迹称为双纽线C.已知点Pl。，

角形，则直线/的方程可以为（）

的）是双纽线C上一点，下列说法中正确的有（）

A.上+（3—2企％+273=0

①双纽线经过原点O;②双纽线C关于原点O中

B..r-（3+2j2'）y-\-27T=0

心对称；③—④双纽线C上满足

C.J-+（3-272）3，-273=0

D.了+（3+2"号+2石=0|PF/=|PF2l的点尸有两个.

5.（多选）已知抛物线/=4y焦点为F,经过F的直线A.①②B.①②③C.②③D.②③④

交抛物线于A（_ri，»i）UzO2）•点A.B在抛物线H.（多选）.函数/（工）图象上不同两点A（xi，yi）,B

准线上的射影分别为A「B|.以下四个结论：①皿才2（工2，了2）处的切斜的斜率分别是电”即一144为人,8

两点间距离，定义卬（人，3）=牛忌」为曲线/（才）

=一4,②|AB|=，|+y2+l，③NA|FB|=£,④AB

・83

微点特训•数学（新）

…云寂又写百芝而商:扁簟；高而以示籥窗;…

①存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的

,•曲率”为常数；

②函数/（工）=Z3—工2+]图象上两点A与B的横

坐标分别为1,2.则“曲率"95,8）>伍；

③函数/（H）=a_r2+〃（a>0*eR）图象上任意两点

A.IABI•|CD|=1

A、B之间的“曲率A.B）42a；

B.\AB\•ICDl=4

④设A（jfi）,8（工2，y2）是曲线f（H）=e”上不同

C.IABI•ICDI的最小值为1

两点,且小一了2=1，若，•奴恒成立，则实

D.IASI•ICDI的最大值为4

数/的取值范围是（一8,1）,其中真命题为（）3.已知椭圆C与双曲线/一/=1有相同的左焦点入、

A.①B.②C.③D.®右焦点F2,点P是两曲线的一个交点，且7K-PF^

„2

12.设分别是椭圆Y+/=i的左、右焦点，若椭=0.过F?作倾斜角为45°的直线交C于A,B两点

（点A在工轴的上方），且就=入龟.则；I的值为

圆上存在一点P,使（7市+而）•而=0（0为坐标

（）

原点）.则ABPF2的面积是（）

A.4B.3C.2D,1A.3+73B.3+V2C.2+V3D.2+V2

224.过抛物线C：y=4j-焦点F的直线/与抛物线交于

13.已知双曲线三一%=13>0,。>0）的左，右焦点分

A.B两点，过A,B两点分别作抛物线C准线的垂线.

别为F|*F?.过右焦点F2的直线/交该双曲线的右垂足分别为M.N,若线段MN的中点为P,且线段

支于两点（M点位于第一象限），△MF/%的FP的长为4.则直线/的方程为（）

内切圆半径为Ri.△NF//的内切圆半径为七，且A.1+痣》一1=0

-

满足£=4.则直线/的斜率为B.j--TSy1=0

K2C.jc+-j3y—1=0或了一9'-1=0

22

14.在平面直角坐标系xOy中.椭圆与■+匕=1">3）D.73a--y—73=0或点r+y一e=0

uy

Ji

■>25.已知过椭圆定■+/=1的右焦点的直线/，斜率存在且

与为双曲线2一号=1（'”>°）有公共焦点B

与椭圆交于A.B两点,若AB的垂直平分线与上轴交

设P是椭圆与双曲线的一个交点.则△PFjFz的面于点则点M横坐标的取值范围为（）

积是.AB-，0

[素养提升练]一高分必抢-[°'t]'（f]

C.[0,卷）D-[-f'°）

一、单项选择题

r26.已知椭圆G与双曲线。2的焦点相同.离心率分别为

1.抛物线C|：/=2”（力>0）的焦点F是双曲线

c,e2,且满足/=信1,Fl,F2是它们的公共焦点*P

-，一=l（0V，M<l）的右焦点，点P是曲线Cl

是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若/BP&=

120°,则双曲线C?的离心率为（）

的交点.点Q在抛物线的准线上，△FPQ是以点P为

直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C2的离心率

为（）

A.72+1B.272+3

C.2710-3D.2710+3

2

2.已知圆Ct：（a—1）+7=1和抛物线。2：，2=41，过

Cl的圆心作直线，，与曲线G，G交于点A,B,C,D

A.V2B.73C.2D.-1-V2

（如图所示），则下列说法正确的是（）

•84

微点特训•数学（新）

7.点P（_ro，yo）（±o>O,yo>2）是抛物线/=2y上的C.ZXPAB的面积为［答题栏］

点,过点P作圆E:/+（y_］）2=］的两条切线分别

D.ZXPA6的边A8上的中线平行（或重合）于y轴型逊普

交上轴于B,C两点，切点分别为M.N,则△PBC面

三、填空题.1...

积的最小值为（）

10.已知抛物线=（立>0）的焦点为F.点、H2

A.4B.16C.12D.8

二、多项选择题（了o,4历卜o>■|■）是抛物线C上的一点，以H为§

8.发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线

圆心的圆交直线工=£于A、B两点（点A在点8的4-----

描绘成轨道有兴趣.像笛出尔卵形线一样，笛卡尔卵

75

形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而上方），若sin/HFA=（，则抛物线C的方程是

y—

产生更多的卵形曲线.卡西尼卵形线是由下列条件所7

定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为11.数学中有许多寓意美好的曲线.曲线C：（/+y2）3=8

常数.已知曲线C是平面内与两个定点F］（—1,0）和

4//被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）.

F/C.O）的距离的积等于常数的点的轨迹，

则下列命题中正确的是（）

A.曲线C过坐标原点

B.曲线C关于坐标原点对称

C.曲线C关于坐标轴对称

D.若点P在曲线C上,则△BPF2的面积不大于

给出下列三个结论：

J_2

2a①曲线C关于直线,=工对称；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1；

9.阿基米德（公元前287年-公元前212年是古希腊伟

大的物理学家、数学家、天文学家.他研究抛物线的求③存在一个以原点为中心、边长为戒的正方形，使得------

积法•得出一个著名的阿基米德定理.并享有“数学之曲线C在此正方形区域内（含边界）.4.........

神”的称号.抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围其中,正确结论的序号是5

成的三角形被称为“阿基米德三角形”,如图所示，在［真题体验练］一实战抢分包——

抛物线小二？？、,"〉。）上有两个不同的点A.B.坐标

1.（2021•全国甲卷.15）已知FJ,F2为椭圆C：m7___

分别为A（71，方），8（h2，北），以A,B为切点的切线

=1的两个焦点，P.Q为C上关于坐标原点对称的两.?.....

PA.PI3相交于点尸，给出以下结论,其中正确的为

点，且|PQl=lBFzl,则四边形PBQF2的面积为_g

（）

2.（2021•浙江卷.9）已知a"eR.”>>0,函数/（J-）=

2

aa?+"（_reR）,若f（s—f）,/（s）,/（s+，）成等比数-------

列,则平面上的点（s,r）的轨迹是（）

A.直线和圆B.直线和椭圆

C.直线和双曲线D.直线和抛物线

3.（2021•上海卷.11）已知抛物线：若

A.点尸的坐标是（可当，詈）

第一象限的A,B两点在抛物线上.焦点为F,\AF\=

B.APAB的边AB所在的直线方程为：（4+工2）工一2,IBF=4,\AI3=3,求直线AB的斜率

2»y-7g=。为,

85

微点特训•数学(新)

知，A到足莪而距看对AFi=4,设则x„+

3=4,所以0=4一言.因为A在抛物线上•所以丁=

2pi。=2p—券■)=8p—/.由A做/轴的垂线•垂

足为。，则|BC|=夕+4,在中•由勾股定理可

知，|AC|2+|BC|2=|AB|2,即城+(g+4)2=(“

—/)+(3+41=露/nV,整理得，3/—48/>+3.①5②4相［抛物线的定义.

x1W=6-1=5；

144=0,解得"=4或12.又因为当p=12时，4=4一故M(5,±2V^),N(5,0),S^M.V=4"*(5-1)*2宿=

与=4—6=—2V0,不符合题意，所以2=4.］

4右］

微点特训35圆锥曲线的综合问题

考点对点练——保分必拿

1.C［易知直线》=2口一3与直线/关于原点对称，直线.V

=—2彳一3与立线I关于7轴对称.直线丁=—2i+3鸟

直线/关于v轴对称.故由椭圆的对称性可知.有3条直

线被椭圆C极得的弦长一定为7.故选C.］

2.ACD［对于选项A,点M到准线#=一1的距离为

■y(IAFI+IBFI)=9|ABI,于是以线段AB为直径

的圆与直线工=—1一定相切•进而与直线工=—彳--

定相离：对于选项B.显然AI3中点的横坐标与十HM|

不一定相等，因此命题错误.

对于选项C,D,设A(4，M)，8(4，儿)♦直线AB方程为

>0),代入抛物线方程并整理得：/一2m/)y+/)2=o.则x=+1.联立直线与抛物线方程可得J——4=

0+»2=4〃i，v”=-4,工［I?=1，若设A(4Y,4a),则

△=4/犷—4p?=0.解得〃?=1,直线/：y=/+3■此时

B(--7，^-］，于是IAB|=1］+电+P=4〃+-T-2，

\4a-"4a"

32-2"y+力2=0,解得)=必将？=”代入直线方程.aJ

|AB|最小值为4；当点=2港可得弘=一22，4。=一2

解得/=£••所以点M(卷■，户卜则MF4轴.又直线I

(一-5-).所a2=4.|AB|=,^iiACD.］

\a)ZL

斜率为1,所以/MEF=?•所以/EMF=与；(2)由

443.B［由题意可得工=夕=，/一』.直线AF1的方程为

已知，力=6,则抛物线/=12工，则点E(—3,0),点F

(3,0),设直线/方程为3=归(/+3),代入抛物线方程y=/+e.联立(匕,解得N=c,y=2c.；•A(c,2c).

并整理得•后/+(6后一12)z+9k'=0.设点A(z।,I?=4tj-

24c2r24c2

qz,2代入椭圆方程可得：二f++=i,・・・\+FJ=I,化

y),点B(12,“)•由韦达定理5乃=下~=9,由AB_La"1/a"a-c

为：J+=1,化为：/—z+1=0,解得2

BF.得EB1BF.所以k•k=-1,即•J-26ee=3—

EKIIFOX-2

29，解得e=V2-l.］

1=—1,整理得,+y：=9•又玄:12公，所以^24.A［由C：l-t=l得其左焦点为F(-2痣,0),则由

o4

+12三一9=0,解得才2=3有一6,或.r2=—3底一6(合

题意可设/：彳=〃纥，一2点(徵金±7f).代入双曲线C的

去)，由71心=9,解得巧=3V5*+6,1AF\=为十多=

方程,消去了•整理得(〃/-2),/—4Emy+4=0.设

3疗+6+3=3疗+9,|BF\=双+§=3底—6+3=A(ii…)，凤］？，的)，由根与系数的关系,得y+%=

4疝〃.丁】十出_275m+必_"，(y】+贝)今/7

=^2'^-=—2273

34^—3,所以|AFI—IBF|=3底+9—(3底—3)

=12.］=^4金.即£>(3位，卒生］.••直线()D的方程为y

［真题体验练」一实战抢分

1.B［考查抛物线焦点坐标和点到直线的距离,属于基础

_〃？人_4向强_273(4732V3、

。+1|_-y-r-令工―—m'得m-即gy

题.4=-------------品。p=2.］

=273,、

72-----------m-0

・•・直线EF的斜率为一^-―一帆，・・・EF_L，，则

2.x=-y［由已知可设所以自》=2.为L

-竽+2痣

一1■.因此直线PQ的方程为：

必有IEFI=IAF|,告=，5+2商2+1

y-P=--1"卜一■§),令y=0.得工=］0,因此lFQi=.

=/(»/+l.)y3解得V=±4变-又普一斗=1，=

i>—^=2〃=6,0O4

一蜉..•.,”=±(3—2JF),从而直线/的方程为才+(3

所以c的准线方程为工=

-2j2)y-r2悟=0或(3—2晚)y+2-/3*=0,3

・176•

微点特训•数学（新）

5.ACD［抛物线x2=4y焦点为尸（0.1）,易知直线AB的10.B［设动点CCr.y）,由已

斜率存在，设直线AB为）=忘+1.知得到动点C的现迹方程

由I"?1得1一联_r—4=0./［（才-々尸+;/1

I才=4y,a'）iyi~\=a~

则①］+x=44,N、I以=—4,①正确；

2化简得（/+y）'=2a~（.x

I|=I+IBF|=J,+1十3+1=V十2+2,

ABAF।一/）,原点0（0,0）代入就

驾手正确；迹.方程，①显然成立；把（］,

FA=（尤i,-2）,F3=（a?，-2）,，FA•FB=©x2+4y）关于原点对称的点（一/，一丁）代入轨迹方程，②显然

=0•，启_L前.NAF%•，③正确；A3的中点到成立；

因为双纽线最高（低）点是轨迹方程与圆j-2-\~y2=a2相

抛物线的准线的距离交位置.两方程联立解得％=±乎成立•.,・一号<①）

4=~1"（lAAiI+IBB］|）=1（0+山+2）=9（3+1

•，③成立；由图知双纽线C上满足IPFJ=|PF?I

+3+1+2）=+（4工+4）》2.

的点P有一个，④不成立.］

当氏=0时取得最小值2.④正确.［11.AC［因当/（/）=2z时,心=却=2,曲率为0•是常

22数•故①是正确的；又因当耳=1,心=2时，A（l,l）.3

6.3，=土怎一［由双曲线的方程］一*=1（0>0,£>0）和

（2,5）也=3X12-2X1=1同=3X4-2X2=8•故中

22

__£_=i（A・B）=勺二后所以②是错误的:因

抛物线的方程y2=2px联立得«2b2，消元化简

\y=2px/(/)=2aw・故A(1]・/(1])),B(心，/(彳2))・A

2

得aJCZ—2plfJC~\~al/=0,设A(*,y),B(亚，北)，则2aHi,kB=2ax2.所以(f>(B)=扃人

+孙=衅•由抛物线的定义得IAFl+lBFl=4+______2abi—网I______

a:——,故③

la,]~x1/1+a"(无]+]2//1+42(©+电尸

£+必+多=可+天+6又因为\AF\+|BF|=4lOF|,2

JJ

正确成立；因IABI=yH-(ei—e2),kA=e',题=

所以a，++P=4X与，所以+"=2/>.化简得心.故外人.切=^^=lei—e—.所

Naa"IABI，i+(e1-e。一

2

=1,所以J=2,所以双曲线的渐近线方程为V以《1,所以@是错者的,故举AC.]_

b'12.DJg]^(OP-OR)-PK=(OP+F/))•PF；=

=±72J-.］

F\P•PR=0,所以PF[±PF,,ZF,PF2=90".设

7.C［由题意可得,抛物线的I（y

PFt!=zn,IPF,I=«.则，"+"=4,"「+，/=12,2，，?"

准线方程为］=一.画出图

9^=_1=4,mil=2,所以严)=十nifi=1.1

形如图所示.:山/

在=r2（r>0）中•当113.y［设圆（）］与的三边的切点分别为A・B.

X

=一:时，则有y=r-*I~\ldyy~_'C,如图

E2>

由y~=2▲'得1=］,代入

+/=/消去才整理得『+4/-4/=0.②

结合题意可得点A,D的纵坐标相等.故①②中的？

相等.

由①②两式消去丁得卜2—十/+4卜2一十）-4/=

令MA=MC=m,AE=BF1=〃，3F2=CF?=/，根据

。,整理得16r‘一8r2—15=0.解得/；或=~~r双曲线的定义可得｛:2二);(〃2+')=2*可得〃=〃

44

+c,由此可知，在W・QB_LN轴于b,同理

（舍去）,，厂=冬.［

O,B_Ll轴于B,・•・aO,•轴.过圆心()2作CO.的垂

我，垂足为D.易知直线,的倾斜角0与ZOdD大小

8.A［过点B作抛物线的一条切线•设切线方程为y=kx

21相等.不妨设Ri=4,&=1，则。2。1=5,0]D=3.所以

—1.切点坐标为M（孔，y））,由丁=片得_y'=—z,则根据勾股定理，QD=4,所以tan。=切

2PP

焉=2”。，14.61根据对称性，不妨设P在第一亲限.由题设可知

<y.-1,,解得6=三匹，,:NA3OW45。，:.k\I^F,|2=4(a2-9)=4(zw2+4)=4c2.即a2-/w2=13,

包rPa-c-=9・/一〃/=4.根据椭圆与双曲线的定义得

P(曾+器『记=]朦广+%在

^tan450=1・医仔>1,解得0V/><2一的最大值为(IPBI-.PF2|=2m(IPF,I-a—m

中，由余弦定理得eosZF,PF=叵然器就目

2.］°2

9.C［八（加.〃）（〃〉（）），直线AF与双曲线有且只有一个交(a+w)2+(a—m)'-4c'_a2+/一2/

点,所以直线AF与双曲线的渐近线平行.IAFI=8.F2(a-\-m)(a~m)a2—m

为抛物线的焦点，所以利=6,代入『=86，则n=\V3,(〃_——)一(<,_.)5re”./ryr)tr12

----------<------9---------=­♦所以，s»nrr=—,

即A⑹4叁）,心=*=点.所以♦=四.所以该a-m'io216