2023-2024学年重庆市数学九年级第一学期期末试题

2023-2024学年重庆市数学九年级第一学期期末试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，在443。与44。E中，NAC8=NAEO=90。，ZABC=ZADE,连接5。、CE,若AC：BC=3：4,则

BD：CE为（）

A.5：3B.4：3C.君：2D.2：若

2.在同一平面上，外有一定点P到圆上的距离最长为10,最短为2,贝卜。的半径是（）

A.5B.3C.6D.4

3.如图，已知AB是OO的直径，点P在B的延长线上，PD与OO相切于点D,过点B作PD的垂线交PD的延长

线于点C.若。。的半径为1.BC=9,则PA的长为（）

A.8B.473C.1D.5

4.如图，3c是。。的直径，点4、。在。。上，若NAZ>C=48°,则NAC8等于（）度.

C.46D.50

5.下列函数的图象，不经过原点的是（）

3x3

A.y=—B.y=2x2C.y=（x-1）2-1D.y=—

2x

6.关于二次函数》=必+4》-5,下列说法正确的是（）

A.图象与y轴的交点坐标为（0,5）B.图象的对称轴在y轴的右侧

C.当xV-2时，y的值随x值的增大而减小D.图象与x轴的两个交点之间的距离为5

7.已知关于x的方程好+3工+的0有一个根为-2,则另一个根为（）

A.5B.-1C.2D.-5

8.在中，AC^BC,ZACB=90°,CDVAB,垂足为D,则下列比值中不等于sinA的是（)

CBCD

c.D.

ABCB

9.方程*2+5x=0的适当解法是（)

A.直接开平方法B.配方法

C.因式分解法D.公式法

10.sin30°等于（）

石B1V2

A.C.D.

3222

11.方程（X+1）2=4的解是（)

A.xi=-3,xz=3B.XI=-3,X2=lC.Xl=-1,X2=lD.X1=1,Xz=3

12.如图，在△ABC中,CD平分NACB交AB于点D,过点D作DE〃BC交AC于点E,若NA=54。，/B=48。，则

NCDE的大小为（）

A.44°B.40°C.39°D.38°

二、填空题（每题4分，共24分）

13.已知线段a=4,b=16,则a,b的比例中项线段的长是.

14.如图，C,。是抛物线y=3（x+1）2-5上两点，抛物线的顶点为E,C£）〃x轴，四边形A5CZ）为正方形，AB

边经过点E,则正方形ABC。的边长为

15.如图，在。中，弦A5=4,点C在AB上移动，连结0C,过点C作。，OC交。于点。，则CD的最

大值为.

16.某服装店搞促销活动，将一种原价为56元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价

的百分率相同，现售价为31.5元，设降价的百分率为x,则列出方程是.

17.已知扇形的圆心角为120。，弧长为6兀，则它的半径为.

18.一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是.

三、解答题（共78分）

19.（8分）已知:二次函数为y=X?-x+7〃，

（1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；

（2）心为何值时，顶点在x轴上方；

（3）若抛物线与V轴交于A,过A作A5〃x轴交抛物线于另一点3,当5AA°B=4时，求此二次函数的解析式.

20.（8分）快乐的寒假临近啦！小明和小丽计划在寒假期间去镇江旅游.他们选取金山（记为4）、焦山（记为B）、

北固山（记为C）这三个景点为游玩目标.如果他们各自在三个景点中任选一个作为游玩的第一站（每个景点被选为第

一站的可能性相同），请用“画树状图”或“列表”的方法求他俩都选择金山为第一站的概率.

21.（8分）随机抽取某小吃店一周的营业额（单位：元）如下表：

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合计

54068064064078011101070

(1)分析数据，填空:这组数据的平均数是元，中位数是元，众数是元.

(2)估计一个月(按30天计算)的营业额,星期一到星期五营业额相差不大，用这5天的平均数估算合适么？简要说明理

由.

22.(10分)如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A(0,3)、B(1,0),其对称轴为直线1：x=2,过点A作

AC〃x轴交抛物线于点C,NAOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO,当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大

值；

(3)如图②，F是抛物线的对称轴1上的一点，在抛物线上是否存在点P使APOF成为以点P为直角顶点的等腰直角

三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

23.(10分)在平面直角坐标系中，抛物线丫=欧2+6*+2经过点(—2,6),(2,2).

(1)求这条抛物线所对应的函数表达式.

(2)求y随x的增大而减小时x的取值范围.

24.(10分)某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、

“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题:

初二年级参力「中国诗词大蹇〜初二年级参加“中国诗词大赛〜

比赛成绩条形统计图比赛成绩扇形统计图

(1)扇形统计图中“优秀”所对应的扇形的圆心角为度，并将条形统计图补充完整.

(2)此次比赛有三名同学得满分，分别是甲、乙、丙，现从这三名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大

赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丙的概率.

25.（12分）如图是由两个长方体组成的几何体，这两个长方体的底面都是正方形，画出图中几何体的主视图、左视

图和俯视图.

26.近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛.如图，无人机从A处观测得某建筑物顶点。时俯角为30。，继续水

平前行10米到达3处，测得俯角为45。，已知无人机的水平飞行高度为45米，则这栋楼的高度是多少米？（结果保

留根号）

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、A

_74g5

【解析】因为NAC5=90。，AC：5c=3：4,则——=-因为NAC5=NAEO=90。，ZABC=ZADE,^/\ABC

AC3

hADE,^—=—,NZMEuNBAC,则NZM8=NEAC,贝KEAC,—.故选A.

ADAECEAC3

2、D

【分析】由点P在圆外，易得到圆的直径为10-2,然后计算圆的半径即可.

【详解】解：•••点P在圆外

二圆的直径为10-2=8

二圆的半径为4

故答案为D.

本题考查了点与圆的位置关系，关键是根据题意确定圆的直径，是解答本题的关键.

3、C

【分析】连接OD,利用切线的性质可得NPDO=90。，再判定APDOSAPCB,最后再利用相似三角形的性质列方程解

答即可.

【详解】解：连接DO

C

•・・PD与。O相切于点D,

/.ZPDO=90°,

VBC1PC,

・・・NC=90。，

.\ZPDO=ZC,

ADO//BC,

AAPDO^APCB,

.DO_PO_6_2

BC~PB~9~39

、nLtx+62

设PA=x,则-----=一,

x+123

解得：x=l,

,\PA=1.

故答案为c.

本题考查了圆的切线性质以及相似三角形的判定与性质,证得△PDOSAPCB是解答本题的关键.

4、A

【分析】连接AB,由圆周角定理得出NBAC=90。，ZB=ZADC=48°,再由直角三角形的性质即可得出答案.

【详解】解：连接AB,如图所示：

A

YBC是。。的直径，

:.ZBAC=90°,

VZB=ZADC=48°,

:.ZACB=90°-ZB=42°；

故选：A.

本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

5、D

【分析】根据函数图象上的点的坐标特征可以知道，经过原点的函数图象，点（0,0）一定在函数的解析式上；反之,

点（0,0）一定不在函数的解析式上.

【详解】解：A、当x=0时，y=0,即该函数图象一定经过原点（0,0）.故本选项错误；

B、当x=0时，y=0,即该函数图象一定经过原点（0,0）.故本选项错误；

C、当x=0时，y=0,即该函数图象一定经过原点（0,0）.故本选项错误；

D、当x=0时，原方程无解，即该函数图象一定不经过原点（0,0）.故本选项正确.

故选：D.

本题考查了函数的图象，熟悉正比例函数,二次函数和反比例函数图象的特点是解题关键.

6、C

【分析】通过计算自变量为0的函数值可对A进行判断；利用对称轴方程可对B进行判断；根据二次函数的性质对C

进行判断；通过解x2+4x-5=0得抛物线与x轴的交点坐标，则可对D进行判断.

【详解】A、当x=0时，y=x?+4x-5=-5,所以抛物线与y轴的交点坐标为（0,-5）,所以A选项错误；

4

B、抛物线的对称轴为直线x=-不=-2,所以抛物线的对称轴在y轴的左侧，所以B选项错误；

C、抛物线开口向上，当x<-2时，y的值随x值的增大而减小，所以C选项正确；

2

D、当y=0时，x+4x-5=0,解得xi=-5,x2=l,抛物线与x轴的交点坐标为（-5,0）,（1,0）,两交点间的距

离为1+5=6,所以D选项错误.

故选：C.

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a^O）与x轴的交点坐标问题转化为解

关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.

7、B

【分析】根据关于X的方程x2+3x+a=0有一个根为-2,可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个

根的值，本题得以解决.

【详解】•••关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为-2,设另一个根为m,

3

..-2+m=—

19

解得，m=-l,

故选B.

8、D

【分析】利用锐角三角函数定义判断即可.

CB

【详解】在RtAABC中，sinA=—,

AB

.A上CD

在RtaACD中，sinA=——，

AC

VZA+ZB=90°,ZB+ZBCD=90°,

；.NA=NBCD,

*“»BD

在Rtz^BCD中，sinA=sinZBCD=——，

CB

故选：D.

此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.

9、C

【分析】因为方程f+5x=0中可以提取公因式x,所以该方程适合用因式分解法.因式分解为x(x+5)=0,解得x=0

或x=5用因式分解法解该方程会比较简单快速.

【详解】解：,.,x2+5x=0,

'.x(x+5)=0,

贝!Jx=0或x+5=0,

解得：》=0或*=-5,

故选：C.

本题的考点是解一元二次方程.方法是熟记一元二次方程的几种解法，也可用选项的四种方法分别解题，选择最便捷的

方法.

10、B

【解析】分析：根据特殊角的三角函数值来解答本题.

详解：sin30°=—.

2

故选B.

点睛：本题考查了特殊角的三角函数值，特殊角三角函数值的计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题

为主.

11,B

【解析】利用直接开平方的方法解一元二次方程得出答案.

【详解】（x+1）2=4

则x+l=±2,

解得：xi=-l-2=-3,X2=T+2=1.

故选B.

此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键.

12、C

【解析】根据三角形内角和得出/ACB,利用角平分线得出NDCB,再利用平行线的性质解答即可.

【详解】VZA=54°,NB=48。，

/.ZACB=180°-54°-48°=78°,

VCD平分NACB交AB于点D,

AZDCB=—x78°=39°,

2

；DE〃BC,

.•.NCDE=NDCB=39。，

故选C.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质等，解题的关键是熟练掌握和灵活

运用根据三角形内角和定理、角平分线的定义和平行线的性质.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、1

【分析】设线段a,b的比例中项为c,根据比例中项的定义可得c2=ab,代入数据可直接求出c的值，注意两条线段

的比例中项为正数.

【详解】解：设线段a,b的比例中项为c,

是长度分别为4、16的两条线段的比例中项，

•*.c2=ab=4xl6,

,\c2=64,

，c=l或-1（负数舍去），

，a、b的比例中项为1；

故答案为：1.

本题主要考查了比例线段.掌握比例中项的定义，是解题的关键.

24

14、—

5

【分析】首先设ABnCDnAOMBCna,再根据抛物线解析式可得E点坐标，表示出C点横坐标和纵坐标，进而可得

c2

方程吆--5-4=-5,再解即可.

24

【详解】设ABMCDMAOnBCna,

•.•抛物线y=9(x+1)2-5,

6

・•・顶点E(-l,-5),对称轴为直线x=-L

•♦•C的横坐标为1,。的横坐标为-1，

22

•.•点C在抛物线y=9(X+1)2-5上，

6

••.C点纵坐标为3(--1+1)2-5=—-5,

6224

点坐标为(-1,-5),

点纵坐标为-5,

,:BC=a,

.5/

・•---~5~u——5,

24

24

解得：-9。2=0(不合题意，舍去)，

24

故答案为：.

此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、正方形的性质.

15、2

【分析】连接OD,根据勾股定理求出CD,利用垂线段最短得到当OC,AB时，OC最小，根据垂径定理计算即可;

【详解】如图，连接OD,

B

D

c

VCD±OC,

.\ZDCO=90°,

：,CD=y]OD2-OC2=7r2-OC2，

当OC的值最小时，CD的值最大，OCLAB时，OC最小，此时D、B两点重合，

/.CD=CB=-AB=2,即CD的最大值为2；

2

故答案为：2.

本题主要考查了勾股定理，垂径定理，掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键.

16、56(1—%)2=31.1

【分析】根据题意，第一次降价后的售价为56(1-X),第二次降价后的售价为56(1-力2,据此列方程得解.

【详解】根据题意，得：

56(1-%)-=31.1

故答案为：56(1—无丫=31.1.

本题考查一元二次方程的应用，关键是理解第二次降价是以第一次降价后的售价为单位“1”的.

17、1

K兀R

【分析】根据弧长公式L=—求解即可.

180

【详解】

180

.180x6^-

・・R=-----------=1.

120»

故答案为1.

本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：L=——.

180

18、1

【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案.

【详解】解：x2-7x+10=0

(x-2)(x-5)=0,

解得：xi—2,X2—5,

故等腰三角形的腰长只能为5,5,底边长为2,

则其周长为：5+5+2=1.

故答案为：1.

本题考查因式分解法解一元二次方程，需要熟悉三角形三边的关系以及等腰三角形的性质.

三、解答题(共78分)

1(\4/72-1A1

19、(1)抛物线开口方向向上，对称轴为直线x=一,—，—：一;(2)m>—；(3)y-x2-x+8或y-x2-x-8

2124J4

【分析】(1)根据二次函数的性质，即可判定其开口方向、对称轴以及顶点坐标；

(2)令顶点坐标大于0即可；

(3)首先得出点A坐标，然后利用对称性得出AB,再根据面积列出等式，即可得出加的值，即可得出二次函数解析

式.

【详解】⑴。=1>°，

,抛物线开口方向向上；

-11

对称轴为直线x=——=-

2x12

4xl.m-(-l)i4m-1

43d4

r一,工,(14加一口

顶点坐标为

4/72—1

(2)顶点在工轴上方时，空一>0

4

解得加〉!

(3)令尤=0,贝！jy=m,

所以，点A(0,m),

轴，

点关于对称轴直线％对称，

2

AB=—x2=1,

2

•■•5AAOB=||W|XL=4

解得m=±8.

...二次函数解析式为,=X2_尤+8或

此题主要考查二次函数的性质的综合应用，熟练掌握，即可解题.

20、“画树状图”或“列表”见解析；P(都选金山为第一站)=1.

【分析】画树形图得出所有等可能的情况数，找出小明和小丽都选金山为第一站的情况数，即可求出所求的概率.

【详解】画树状图得:

开始

ABC

4\/K4\

ABCABCABC

•••共有9种等可能的结果，小明和小丽都选金山为第一站的只有1种情况，

：.P(都选金山为第一站)

9

本题考查的是用列表法或树状图法求概率.树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情

况数与总情况数之比.

21、(1)780,680,640；(2)不合适，理由见解析

【分析】(1)根据平均数、中位数、众数的定义，即可得解;

(2)根据数值和平均数之间的差距即可判定.

540+680+640+640+780+1110+1070

【详解】(1)这组数据的平均数是=780元,

7

从小到大排列为：540、640、640、680、780、1070,1110,则其中位数是680元,

众数是640元.

(2)不合适

理由：星期一到星期五的日平均营业额相差不大，但是与周六和周日差距较大，

平均数受极端值影响较大，所以不合适.

此题主要考查统计的相关概念，数据波动以及离散程度的相关知识，熟练掌握，即可解题.

22、(1)y=x、4x+3.(2)当m=2时，四边形AOPE面积最大，最大值为(3)P点的坐标为：Pi(也回，匕好),

2822

Dr3-751+e、_(5+百1+石、_.5-451-V5.

r2\------------------,-------------r3\---------------,--------------)fr4X----------------9---------)•

222222

【解析】分析：(1)利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；

(2)设P(m,m2-4m+3),根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面

积，利用配方法可得其最大值；

(3)存在四种情况：

如图3,作辅助线，构建全等三角形，证明AOMPg^PNF,根据OM=PN列方程可得点P的坐标；同理可得其他图

形中点P的坐标.

详解：(1)如图1,设抛物线与x轴的另一个交点为D,

由对称性得：D(3,0),

设抛物线的解析式为：y=a(x-1)(x-3),

把A(0,3)代入得：3=3a,

a=l,

二抛物线的解析式；y=x2-4x+3；

；OE平分NAOB,ZAOB=90°,

:.ZAOE=45°,

AAOE是等腰直角三角形，

:.AE=OA=3,

/.E(3,3),

易得OE的解析式为：y=x,

过P作PG〃y轴，交OE于点G,

AG(m,m)，

/.PG=m-(m2-4m+3)=-m2+5m-3,

；・S四边形AOPE=SAAOE+SAPOE,

11

=—x3x3+—PG*AE,

22

91.、

=—+—x3xz(-m2+5m-3),

22

3,15

二・一〃//+—m，

22

=-(m--)2+—,

228

3

V--<0,

2

.•.当m=—5时，S有最大值是75:

28

,交轴于交于

1(3)如图3,过.P作MN_Ly轴yM,1N,

；图3

1

•••△OPF是等腰直角三角形，月,OP=PF,

易得AOMPg△PNF,

.\OM=PN,

VP(m,m2-4m+3),

则-m2+4m-3=2-m,

解得：或三5,

22

...p的坐标为(立5,匕好）或（匕旦

2222

如图4,过P作MN_Lx轴于N,过F作FM_LMN于M,

同理得AONPg△PMF,

APN=FM,

则-m2+4m-3=m-2,

解得：X=*或巳立

22

p的坐标为（上叵，匕好）或（三二后，生5）；

2222

综上所述，点p的坐标是：（正5,匕好）或（三5,匕，I）或（处5,匕好）或（三二5,¥苴）.

22222222

点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的

方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题.

1,

23、（1）y=-x-x+2,（2）V随工的增大而减小时无<1.

【解析】⑴把（-2,6）,（2,2）代入解析式，解方程组求出a、b的值即可；⑵根据⑴中所得解析式可得对称轴,

a>0,在对称轴左侧y随x的增大而减小根据二次函数的性质即可得答案.

【详解】⑴•••抛物线丫=2*2+6*+2经过点（-2,6）,（2,2）.

,f4a-2b+2=6,

14〃+2b+2=2.

1

（2——