互联网和信息化社会

11.2古典概型第十一章202211.2古典概型第十一章2022内容索引0102必备知识预案自诊关键能力学案突破03素养提升微专题13——数学建模(多方法求解)内容索引0102必备知识预案自诊关键能力学案突破03素养必备知识预案自诊必备知识预案自诊【知识梳理】

1.基本事件在一次试验中,我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果,它们是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描绘,这样的事件称为

.

2.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是

的.

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成

的和.

基本事件互斥基本事件【知识梳理】1.基本事件基本事件互斥基本事件3.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.(1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件

.

(2)等可能性:每个基本事件出现的可能性

.

4.古典概型的概率公式只有有限个相等3.古典概型只有有限个相等常用结论1.任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和.2.求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法.常用结论1.任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概【考点自诊】

1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)在一次古典概型试验中,其基本事件的发生一定是等可能的.(

)(3)掷一枚质地均匀的硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事件.(

)(4)在古典概型中,如果事件A中基本事件构成集合A,所有的基本事件构成集合I,那么事件A的概率为

.(

)(5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数,其和为5的概率是0.2.(

)√√×√√【考点自诊】1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误2.某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈,决定从妈妈喜欢的白色、黄色和紫色中随机选择两种颜色的毛线编织,那么这条围巾是由白色、紫色两种颜色的毛线编织的概率是(

)答案

B

解析

由题意,该同学选择的两种颜色的基本情况有:(白,黄),(白,紫),(黄,紫),共3种情况;其中满足要求的基本情况有1种,故所求概率为

.2.某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈,决定从妈妈喜欢的白色3.(2019全国3,3)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是(

)答案

D

解析

两位男同学和两位女同学排成一列,共有24种排法.两位女同学相邻的排法有12种,故两位女同学相邻的概率是.故选D.3.(2019全国3,3)两位男同学和两位女同学随机排成一列4.从集合A={1,3,5,7,9}和集合B={2,4,6,8}中各取一个数,那么这两个数之和除以3余1的概率是(

)答案

D

解析

从集合A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8}各取一个数,基本事件有(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(5,2),(5,4),(5,6),(5,8),(7,2),(7,4),(7,6),(7,8),(9,2),(9,4),(9,6),(9,8)共20个;其中两个数的和除以3余1基本事件有(1,6),(3,4),(5,2),(5,8),(7,6),(9,4)共6个,∴两个数的和除以3余1的概率为4.从集合A={1,3,5,7,9}和集合B={2,4,6,5.(2020江苏,4)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数和为5的概率是

.

5.(2020江苏,4)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2解析第1,2次向上的点数分别记为a,b,每个样本点记为(a,b),则所有的样本点为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)共36个,其中,点数和为5的样本点为(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),故所求概率为解析第1,2次向上的点数分别记为a,b,每个样本点记为(a,关键能力学案突破关键能力学案突破考点1古典概型的概率【例1】(1)《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题:齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛,齐王获胜的概率是(

)(2)(2020云南昆明一中高三月考)把分别写有1,2,3,4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人,每人至少一张,且若分得的卡片超过一张,则必须是连号,那么2,3连号的概率为(

)考点1古典概型的概率【例1】(1)《史记》卷六十五《孙子吴起答案

(1)A

(2)B

解析(1)因为双方各有3匹马,所以“从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛”的事件数为9种,满足“齐王获胜”的这一条件的情况为:齐王派出上等马,则获胜的事件数为3;齐王派出中等马,则获胜的事件数为2;齐王派出下等马,则获胜的事件数为1;故满足“齐王获胜”这一条件的事件数为6种,根据古典概型公式可得,齐王获胜的概率答案(1)A(2)B(2)分三类情况,第一类1,2连号,则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(12,3,4),(12,4,3),(3,12,4),(4,12,3),(3,4,12),(4,3,12),有6种分法;第二类2,3连号,则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(1,23,4),(4,23,1),(23,1,4),(23,4,1),(1,4,23),(4,1,23),有6种分法;第三类3,4连号,则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为(1,2,34),(2,1,34),(34,1,2),(34,2,1),(1,34,2),(2,34,1),有6种分法;共有18种分法,则2,3连号的概率为(2)分三类情况,第一类1,2连号,则甲、乙、丙三个人拿到的解题心得

求有关古典概型的概率问题的解题策略:(1)求古典概型的概率的步骤是:①判断本次试验的结果是否是等可能的,设所求的事件为A;②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m;③利用古典概型的概率公式

,求出事件A的概率.(2)对与顺序相关的问题处理方法为:若把顺序看作有区别,则在求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数时都看作有区别,反之都看作没区别.解题心得求有关古典概型的概率问题的解题策略:(3)基本事件个数的确定方法

(3)基本事件个数的确定方法对点训练1(1)在《周易》中,长横“”表示阳爻,两个短横“”表示阴爻,有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦,共有23=8种组合方法,这便是《系辞传》所说:“太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦”,有放回地取阳爻和阴爻一次有两种不同的情况,有放回地取阳爻和阴爻两次有四种不同的情况,有放回地取阳爻和阴爻三次有八种不同的情况,即为八卦.在一次卜卦中,恰好出现2个阳爻1个阴爻的概率是(

)对点训练1(1)在《周易》中,长横“”表示阳(2)一个盒中有形状、大小、质地完全相同的5张扑克牌,其中3张红桃,1张黑桃,1张梅花.现从盒中一次性随机抽出2张扑克牌,则这2张扑克牌花色不同的概率为(

)(2)一个盒中有形状、大小、质地完全相同的5张扑克牌,其中3答案

(1)C

(2)B

解析

(1)在一次卜卦中得到六爻,基本事件总数n=23=8,这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻包含的基本事件m=3,则这六爻恰好有2个阳爻1个阴爻的概率是(2)所有会出现的情况有(红1,黑1),(红1,梅1),(红2,黑1),(红2,梅1),(红3,黑1),(红3,梅1),(红1,红2),(红1,红3),(红2,红3),(黑1,梅1)共10种.其中符合花色不同的情况有(红1,黑1),(红1,梅1),(红2,黑1),(红2,梅1),(红3,黑1),(红3,梅1),(黑1,梅1),共7种,根据古典概型的概率公式得P=.故选B.答案(1)C(2)B考点2古典概型的交汇问题(多考向)考向1

古典概型与平面向量的交汇【例2】

连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈(0,]的概率是(

)考点2古典概型的交汇问题(多考向)考向1古典概型与平面向量答案

C

答案C解题心得

由两个向量的数量积公式,得出它们的夹角的余弦值的表达式,由夹角的范围得出点数m和n的关系m≥n,然后分别求m=n和m>n对应的事件个数,从而也清楚了基本事件的个数就是点数m和n组成的点的坐标数.解题心得由两个向量的数量积公式,得出它们的夹角的余弦值的表对点训练2把一颗骰子投掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b,向量m=(a,b),n=(1,-2),则向量m与向量n垂直的概率是(

)答案

D

对点训练2把一颗骰子投掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现考向2

古典概型与解析几何的交汇【例3】

(2020贵州贵阳一中高三月考)设a,b是从集合{1,2,3,4}中随机选取的数,则直线ax+by+4=0与圆x2+y2=2没有公共点的概率为

.

考向2古典概型与解析几何的交汇互联网和信息化社会解题心得直线与圆有公共点,即圆心到直线的距离小于或等于半径,由此得出a2+b2<8,则满足a2+b2<8的基本事件的个数就能求出来,从而转化成古典概型问题.解题心得直线与圆有公共点,即圆心到直线的距离小于或等于半径,对点训练3设集合A={x|x2-3x-10<0,x∈Z},从集合A中任取两个元素a,b,且ab≠0,则方程

表示焦点在x轴上的双曲线的概率为

.

对点训练3设集合A={x|x2-3x-10<0,x∈Z},从互联网和信息化社会考向3

古典概型与函数的交汇【例4】设a∈{2,4},b∈{1,3},函数f(x)=ax2+bx+1.(1)求f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数的概率;(2)从f(x)中随机抽取两个,求它们在(1,f(1))处的切线互相平行的概率.考向3古典概型与函数的交汇互联网和信息化社会解题心得

f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数可转化成开口向上的二次函数f(x)的图像的对称轴与x轴的交点的横坐标大于或等于-1,从而得出b≤a,从而不难得出b≤a包含的基本事件数.因此也就转化成了与概率的基本事件有关的问题.解题心得f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数可转化成开口对点训练4随机抛掷一枚质地均匀的骰子,记正面向上的点数为a,则函数f(x)=x2+2ax+2有两个不同零点的概率为(

)答案

D

对点训练4随机抛掷一枚质地均匀的骰子,记正面向上的点数为a,考点3古典概型与统计的综合问题【例5】

(2020云南德宏高三质检)共享单车进驻城市,绿色出行引领时尚.某市2019年对共享单车的使用情况进行了调查,数据显示,该市共享单车用户年龄分布如图1所示,一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”(20岁~39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类,将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用共享单车用户”,使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用共享单车用户”.已知在“经常使用共享单车用户”中有

是“年轻人”.考点3古典概型与统计的综合问题【例5】(2020云南德宏高(1)现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的分析,采用随机抽样的方法,抽取了一个容量为200的样本.请你根据题目中的数据,补全下列2×2列联表:根据列联表独立性检验,判断有多大把握认为经常使用共享单车与年龄有关?(1)现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的分析,参考数据:(2)以频率为概率,把共享单车用户按经常使用与不经常使用进行分层,用分层抽样的方法在(1)的200户用户中抽取一个容量为5的样本,从中任选2户,求至少有1户经常使用共享单车的概率.参考数据:(2)以频率为概率,把共享单车用户按经常使用与不解

(1)补全的列联表如下:∵a=100,b=20,c=60,d=20,即没有充分的理由认为经常使用共享单车与年龄有关.解(1)补全的列联表如下:∵a=100,b=20,c=(2)由(1)知,用分层抽样从经常使用共享单车的用户中抽取3户,记为1,2,3;从不常使用共享单车的用户中抽取2户,记为a,b;从中任选2户有如下基本事件:(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,3),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(a,b),共10种可能;其中至少有1户经常使用共享单车的有:(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,3),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),共9种可能,故所求概率为

.(2)由(1)知,用分层抽样从经常使用共享单车的用户中抽取3解题心得求概率与统计问题的一般步骤第一步:根据概率统计的知识确定元素(总体、个体)以及要解决的概率模型;第二步:将所有基本事件列举出来(可用树状图);第三步:计算基本事件总数n,事件A包含的基本事件数m,代入公式P(A)=;第四步:回到所求问题,规范作答.解题心得求概率与统计问题的一般步骤对点训练5(2020河北唐山高三月考)街道办在小区东、西两区域分别设置10个摊位,供群众销售商品.某日街道办统计摊主的当日利润(单位:元),绘制如下茎叶图.(1)根据茎叶图,计算东区10位摊主当日利润的平均数,方差;(2)从当日利润90元以上的摊主中,选出2位进行经验推介,求选出的2位摊主恰好东、西区域各1位的概率.对点训练5(2020河北唐山高三月考)街道办在小区东、西两区互联网和信息化社会素养提升微专题13——数学建模(多方法求解)素养提升微专题13数学建模主要体现在利用实际问题,正确列出基本事件,建立古典概率模型.古典概型中基本事件数的探求方法主要有:列举法、树形图法、列表法.数学建模主要体现在利用实际问题,正确列出基本事件,建立古典概方法1

列举法求解古典概型【例1】

已知国家某5A级大型景区对每日游客数量拥挤等级规定如下表:该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据:方法1列举法求解古典概型该景区对6月份的游客数量作出如图的(1)下面是根据统计数据得到的频率分布表,求a,b的值;(2)估计该景区6月份游客人数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩,求他这2天遇到的游客拥挤等级均为优的概率.(1)下面是根据统计数据得到的频率分布表,求a,b的值;(3)从5天中任选2天的选择方案有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种,其中游客拥挤等级均为优的有(1,4),(1,5),(4,5),共3种,故所求的概率为

.(3)从5天中任选2天的选择方案有(1,2),(1,3),(解题心得1.数学建模主要体现在利用实际问题,正确列出基本事件,建立古典概率模型.古典概型中基本事件数的探求方法主要有:(1)列举法;(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法;(3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.2.对于简单问题且基本事件数目不大的题目,一般采用列举法,列举时一定按一定的规则进行,做到不重不漏.解题心得1.数学建模主要体现在利用实际问题,正确列出基本事件对点训练1(2020广西防城港高三模拟)设连续抛掷骰子两次所得的点数x,y构成点M(x,y),则点M落在圆x2+y2=10内的概率为(

)答案

D

解析

连续抛掷骰子两次所得的点数x,y构成的点M(x,y)有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).共36个.其中落在圆x2+y2=10内的有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),共4个.故落在圆x2+y2=10内的概率为对点训练1(2020广西防城港高三模拟)设连续抛掷骰子两次所方法2

树形图法求解古典概型【例2】

在电视台举行的某比赛中,甲,乙,丙三位评委对选手的综合表现,分别给出“待定”或“通过”的结论.对于选手A,只有甲、乙两位评委给出相同结论的概率为

.

方法2树形图法求解古典概型解析

画出树状图来说明评委给出A选手的所有可能结果:由上可知评委给出A选手所有可能的结果有8种.对于A选手,“只有甲,乙两位评委给出相同结论”有2种,即“通过—通过—待定”“待定—待定—通过”,所以对于A选手“只有甲,乙两位评委给出相同结论”的概率是

.解析画出树状图来说明评委给出A选手的所有可能结果:解题心得1.本题是通过现实操作的过程建模成为古典概型的,列出树形图,按树枝数目求解基本事件的数目.2.树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法.在找基本事件个数时,一定要按顺序逐个写出:先(A1,B1),(A1,B2)…(A1,Bn),再(A2,B1),(A2,B2)…(A2,Bn),依次(A3,B1)(A3,B2)…(A3,Bn)…这样才能避免多写,漏写现象的发生.解题心得1.本题是通过现实操作的过程建模成为古典概型的,列出对点训练2“石头、剪刀、布”是广为流传的游戏,游戏时甲、乙双方每次出“石头”“剪刀”“布”三种手势中一种,规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”,同样手势不分胜负,假定甲、乙两人每次都是等可能地出这三种手势,则两人同种手势的概率为

.

对点训练2“石头、剪刀、布”是广为流传的游戏,游戏时甲、乙双解