2024年湖北省十堰市茅箭区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年湖北省十堰市茅箭区中考数学一模试卷一、选择题（共10题，每小题3分，共30分。在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）﹣2的相反数是（）A．2 B．﹣2 C． D．2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．正方形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．平行四边形3．（3分）下列各式计算正确的是（）A．2﹣3＝ B．|﹣1.7|＝1.7﹣ C．＝± D．＝﹣14．（3分）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（）A．大量反复抛一均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次 B．连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上 C．连续抛一均匀硬币2次必有1次正面朝上 D．通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的5．（3分）如图，是一副三角尺拼成的图案，则∠AEB＝（）A．90° B．75° C．100° D．60°6．（3分）如图，AB，CD是⊙O的两条直径的中点，连接BC，则∠CDE的度数为（）A．22° B．32° C．34° D．44°7．（3分）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，它的一个外角∠1＝（）A．45° B．60° C．110° D．135°8．（3分）方程＝的解为（）A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝﹣4 D．x＝49．（3分）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．410．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2cx+c的图象经过点A（a，c），B（b，c），且满足0＜a+b＜2．当﹣1≤x≤1时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（）A．n＝﹣3m﹣4 B．m＝﹣3n﹣4 C．n＝m2+m D．m＝n2+n二、填空题（共5题，每小题3分，共15分）11．（3分）分解因式：x2y﹣y3＝．12．（3分）一次函数y＝kx﹣1的函数值y随x的增大而减小，当x＝2时，写出一个符合条件的y的值为．13．（3分）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱；每人出7钱，还缺3钱，设合伙人数为x人，可列方程为．14．（3分）如图，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是．15．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点，延长ED'，交BC于点F．若AB＝15，则tan∠EFC的值是．三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（6分）计算：．17．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．连结BF．求证：四边形ADBF是矩形．18．（6分）某工厂计划购买甲、乙两种型号机器人，让它们协助人们进行垃圾分类．已知用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元19．（8分）4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格）（单位：分）：七年级八年级平均数7.557.55中位数8c众数a7合格率b85%学成绩统计表根据以上信息，解答下列问题：（1）写出统计表中a，b，c的值；（2）若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数；（3）从平均数、中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义．20．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，垂足为A．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，BC＝5．（1）若OA＝8，求k的值：（2）连接OC，若BD＝BC，求OC的长．21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，连接CD，∠BDC＝∠BAD．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若tan∠BED＝，AC＝9，求⊙O的半径．22．（10分）某超市在“元宵节”来临前夕，购进一种品牌元宵，每盒进价是20元，根据以往销售经验发现；当售价定为每盒25元时，每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种元宵的每盒售价不得高于38元，如果超市想要每天获得不低于2000元的利润23．（11分）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．理解：（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为；证明：（2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，AM，CN相交于点D．求证：四边形ABCD是对余四边形；探究：（3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想24．（12分）如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，并说明理由；（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标，请说明理由．

2024年湖北省十堰市茅箭区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10题，每小题3分，共30分。在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）﹣2的相反数是（）A．2 B．﹣2 C． D．【解答】解：﹣2的相反数是2，故选：A．2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．正方形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．平行四边形【解答】解：A、正方形是轴对称图形，符合题意；B、等边三角形是轴对称图形，不符合题意；C、等腰直角三角形是轴对称图形，不符合题意；D、平行四边形是中心对称图形不是轴对称图形．故选：A．3．（3分）下列各式计算正确的是（）A．2﹣3＝ B．|﹣1.7|＝1.7﹣ C．＝± D．＝﹣1【解答】解：∵2﹣3，∴选项A不正确；∵|﹣1.7|＝，∴选项B不正确；∵，∴选项C不正确；∵，∴选项D正确．故选：D．4．（3分）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法错误的是（）A．大量反复抛一均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次 B．连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上 C．连续抛一均匀硬币2次必有1次正面朝上 D．通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的【解答】解：A、大量反复抛一均匀硬币，故A正确；B、连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上；C、连续抛一均匀硬币2次可能1次正面朝上；D、通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的；故选：C．5．（3分）如图，是一副三角尺拼成的图案，则∠AEB＝（）A．90° B．75° C．100° D．60°【解答】解：如图，由图可知∠ACB＝30°，∠DBC＝45°，∵∠AEB＝∠DBC+∠ACB，∴∠AEB＝30°+45°＝75°．故选：B．6．（3分）如图，AB，CD是⊙O的两条直径的中点，连接BC，则∠CDE的度数为（）A．22° B．32° C．34° D．44°【解答】解：连接OE，∵OC＝OB，∠ABC＝22°，∴∠OCB＝∠ABC＝22°，∴∠BOC＝180°﹣22°×2＝136°，∵E是劣弧的中点，∴＝，∴∠COE＝×136°＝68°，由圆周角定理得：∠CDE＝∠COE＝，故选：C．7．（3分）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，它的一个外角∠1＝（）A．45° B．60° C．110° D．135°【解答】解：∵正八边形的外角和为360°，∴每一个外角为360°÷8＝45°．故选：A．8．（3分）方程＝的解为（）A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝﹣4 D．x＝4【解答】解：去分母得：2x+2＝x，解得：x＝﹣8，经检验x＝﹣2是分式方程的解，故原方程的解是x＝﹣2．故选：A．9．（3分）关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则b2﹣2（1+2c）＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b4﹣4c＝0，∴b8＝4c，∴b2﹣7（1+2c）＝b8﹣4c﹣2＝5﹣2＝﹣2．故选：A．10．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2cx+c的图象经过点A（a，c），B（b，c），且满足0＜a+b＜2．当﹣1≤x≤1时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（）A．n＝﹣3m﹣4 B．m＝﹣3n﹣4 C．n＝m2+m D．m＝n2+n【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2cx+c的图象与x轴交于A（a，c），c）两点，∴图象开口向下，对称轴为直线，∵0＜a+b＜2，∴5＜c＜1，∴当﹣1≤x≤6时，函数的最大值是x＝c时所对应的函数值，∴m＝﹣c2+2c8+c＝c2+c，n＝﹣1﹣6c+c＝﹣c﹣1，∴m＝n2+n故选：D．二、填空题（共5题，每小题3分，共15分）11．（3分）分解因式：x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y）．【解答】解：x2y﹣y3＝y（x5﹣y2）＝y（x+y）（x﹣y）．故答案为：y（x+y）（x﹣y）．12．（3分）一次函数y＝kx﹣1的函数值y随x的增大而减小，当x＝2时，写出一个符合条件的y的值为﹣3（答案不唯一）．【解答】解：∵一次函数y＝kx﹣1的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0，∴k＝＜0，当x＝2时，y＜﹣5，不妨y＝﹣3（答案不唯一）．故答案为：﹣3（答案不唯一）．13．（3分）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱；每人出7钱，还缺3钱，设合伙人数为x人，可列方程为5x+45＝7x+3．【解答】解：设合伙人数为x人，依题意，得：5x+45＝7x+4．故答案为：5x+45＝7x+5．14．（3分）如图，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是．【解答】解：根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，选取D、C，所作三角形是等腰三角形，故P（所作三角形是等腰三角形）＝；故答案为：．15．（3分）如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点，延长ED'，交BC于点F．若AB＝15，则tan∠EFC的值是．【解答】解：连接AF，如图，∵四边形ABCD为正方形，AB＝15，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝15，根据折叠的性质可得，AD＝AD′＝15，∠D＝∠AD′E＝90°，∴AB＝AD′，∠AD′F＝90°，在Rt△ABF和Rt△AD′F中，，∴Rt△ABF≌Rt△AD′F（HL），∴BF＝D′F，∵DE＝10，∴D′E＝DE＝10，CE＝CD﹣DE＝15﹣10＝5，设BF＝D′F＝x，则CF＝BC﹣BF＝15﹣x，在Rt△EFC中，CE2+CF3＝EF2，∴54+（15﹣x）2＝（10+x）2，解得：x＝7，∴BF＝3，∴CF＝12，∴tan∠EFC＝＝，故答案为：．三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（6分）计算：．【解答】解：＝﹣2+2﹣1+2＝3．17．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．连结BF．求证：四边形ADBF是矩形．【解答】证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF＝DC，又∵D是BC的中点，∴AF＝BD＝DC，∴四边形ADBF是平行四边形，在△ABC中，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴平行四边形ADBF是矩形．18．（6分）某工厂计划购买甲、乙两种型号机器人，让它们协助人们进行垃圾分类．已知用360万元购买甲型机器人和用480万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为140万元【解答】解：设甲型机器人每台x万元，根据题意，可得：，解得：x＝60，经检验，x＝60是原分式方程的解，140﹣60＝80（元），答：甲型机器人的单价为60万元/台；乙型机器人的单价为80万元/台．19．（8分）4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格）（单位：分）：七年级八年级平均数7.557.55中位数8c众数a7合格率b85%学成绩统计表根据以上信息，解答下列问题：（1）写出统计表中a，b，c的值；（2）若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数；（3）从平均数、中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义．【解答】解：（1）由扇形统计图可得，a＝8，b＝1﹣20%＝80%，由频数分布直方图可得，八年级成绩中4分有3人，6分有2人，8分有4人，10分有8人，故中位数是c＝（7+8）÷8＝7.5，由上可得，a＝3，c＝7.5；（2）600×85%＝510（人），答：估计该校八年级学生成绩合格的人数大约为510人；（3）根据中位数可知七年级学生成绩好于八年级学生成绩（答案不唯一）．20．（8分）如图，在△ABC中，AC＝BC，垂足为A．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，BC＝5．（1）若OA＝8，求k的值：（2）连接OC，若BD＝BC，求OC的长．【解答】解：（1）作CE⊥AB，垂足为E，∵AC＝BC，AB＝8，∴AE＝BE＝4．在Rt△BCE中，BC＝2，∴CE＝＝＝3，∵OA＝8，∴C点的坐标为：（7，4），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，∴k＝7×4＝20，（2）设A点的坐标为（m，0），∵BD＝BC＝3，AB＝8，∴AD＝3，∴D，C两点的坐标分别为：（m，（m﹣3．∵点C，D都在反比例函数y＝，∴3m＝4（m﹣7），∴m＝12，∴C点的坐标为：（9，4），∴OC＝＝．21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，D、E是⊙O上的两点，连接CD，∠BDC＝∠BAD．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若tan∠BED＝，AC＝9，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°，∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠ODB，∵∠BDC＝∠A，∴∠BDC+∠ODB＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥CD，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠ADB＝90°，tan∠BED＝，∴，∵∠DCB＝∠ACD，∠BDC＝∠BAD，∴△BDC∽△DAC，∴＝，∵AC＝9，∴，∴CD＝6，∴，∴BC＝6，∴AB＝AC﹣BC＝9﹣4＝2．∴⊙O的半径为．22．（10分）某超市在“元宵节”来临前夕，购进一种品牌元宵，每盒进价是20元，根据以往销售经验发现；当售价定为每盒25元时，每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种元宵的每盒售价不得高于38元，如果超市想要每天获得不低于2000元的利润【解答】解：（1）根据题意，y＝250﹣10（x﹣25）＝﹣10x+500；（2）每天销售的利润P＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250，∴当x＝35时，P取得最大值，答：当每盒售价定为35元时，每天销售的利润P（元）最大；（3）根据题意得，﹣10（x﹣35）2+2250＝2000，解得：x＝30或x＝40，∴当30≤x≤40时，每天的销售利润不低于2000元，又∵x≤38，∴30≤x≤38，在y＝﹣10x+500中，y随x的增大而减小，∴当x＝38时，y最小值＝﹣10×38+500＝120，即超市每天至少销售元宵120盒．23．（11分）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．理解：（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为90°或270°；证明：（2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，AM，CN相交于点D．求证：四边形ABCD是对余四边形；探究：（3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想【解答】（1）解：∵四边形ABCD是对余四边形，∴∠A+∠C＝90°或∠A+∠C＝360°﹣90°＝270°，故答案为：90°或270°；（2）证明：∵MN是⊙O的直径，点A，B，∴∠BAM+∠BCN＝90°，即∠BAD+∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是对余四边形；（3）解：线段AD，CD和BD之间数量关系为：AD2+CD2＝BD7，理由如下：∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠ADC＝30°，∵AB＝BC，∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，如图3所示：∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°∴BF＝BD，AF＝CD，∴△BFD是等边三角形，∴BF＝BD＝DF，∵∠ADC＝30°，∴∠ADB+∠BDC＝30°，∴∠BFA+∠ADB＝30°，∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，∴60°+30°+∠AFD+∠ADF