2024年高考数学一轮复习 函数的概念与性质（解析版）

1、函数的概念：一般地，设A,3是非空的数集，如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对

应关系了,在集合8中都有唯一确定的y和它对应，那么就称3为从集合A到集合8的一个函

数，记作y=A.

2、函数的三要素：

(1)在函数y=/(x),xcA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;

(2)与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛/U)|xGA｝叫做函数的值域。显然，值域是集合B

的子集.

(3)函数的对应关系：y-f(x),x^A.

3、相等函数与分段函数

(1)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等

的依据.

(2)分段函数：在函数定义域内，对于自变量x取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称

为分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部

分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交。

知识点2函数的单调性

1、单调函数的定义

设函数Kx)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值七,马，

当花<%2时，都有/"(Xi)<y(x2)，那么就说函数m)在区间D上是单调递增函数。

当尤1<%2时，都有/'(匹)>/"(%2)，那么就说函数必劝在区间D上是单调递减函数。

单调性的图形趋势(从左往右)

2、函数的单调区间

若函数>=介)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y=*劝在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D

叫做y=外幻的单调区间.

【注意】

(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，

故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开.

(2)单调区间。u定义域/.

(3)遵循最简原则，,单调区间应尽可能大；

(4)单调区间之间可用“，”分开，不能用“U”，可以用“和”来表示；

3、函数单调性的性质

若函数/(%)与g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：

(1)/(x)与/(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.

(2)f(x)与-/(%)的单调性相反.

(3)当。＞0时，至(%)与/(%)单调性相同；当。＜0时，/(X)与/(x)单调性相反.

(4)若/(防沙，则/(x)与乂府具有相同的单调性.

(5)若/(x)恒为正值或恒为负值，则当。＞0时，/(x)与上一具有相反的单调性；

于(x)

当。＜0时，/(%)与具有相同的单调性.

/(X)

(6)/(%)与g(x)的和与差的单调性(相同区间上)：

简记为：/+/=/;(2)'+、=、；(3)/-\=7;(4)X-/=、.

(7)复合函数的单调性：对于复合函数y=/[g(x)],

若t=g(尤)在区间(a,b)上是单调函数，且y=/⑺在区间(g(a),g(b))或(g(b),g(a))上是单调函数

若t=g(x)与y=/⑺的单调性相同，则y=/[g(x)]为增函数

若/=8(尤)与y=K。的单调性相反，则y=/[g(x)]为减函数.简称“同增异减”.

知识点3函数的奇偶性

1、函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都

偶函数关于y轴对称

有/(-X)=/(X),那么函数/(X)是偶函数

如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有

奇函数关于原点对称

/(—%)=—/(%),那么函数了(%)是奇函数

2、函数奇偶性的几个重要结论

(1)/(x)为奇函数o/(x)的图象关于原点对称；/(x)为偶函数0f(x)的图象关于y轴对称.

(2)如果函数/(x)是偶函数，那么f(x)=/(W).

(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即/(x)=0,XGD,其中定义域。是关于原点对称的

非空数集.

(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.

(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于

原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.

知识点4函数的周期性

1、周期函数的定义

对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有/(x+T)=/(x),那

么就称函数/(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

2、最小正周期：如果在周期函数/(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做了(x)

的最小正周期.

知识点5函数的对称性

1、关于线对称

若函数y=/(x)满足/(”+无)=/(6-X),则函数y=/(x)关于直线尤=土也对称，特别地，当。=6=0时，

2

函数y=/(x)关于y轴对称，此时函数y=/(X)是偶函数.

2、关于点对称

若函数、=/。)满足〃24-同=»-/(%),则函数y=/(x)关于点⑷b)对称，特别地，当<2=0,b=0

时，f(x)=-f(-x),则函数y=/(x)关于原点对称，此时函数/(x)是奇函数.

I,•=n

[方法技巧J

一、求函数定义域的依据

函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围

1、分式的分母不能为零.

2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即祗(其中〃=2左，左eN*)中xNO,

奇次方根的被开方数取全体实数，即祗(其中“=2左+l#eN*)中，xeR.

3、零次幕的底数不能为零，即一中XW0.

4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交

集。

【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“U”连接。

【典例1】(2023•全国•高三专题练习)函数J(x)=ln(x+l)+G斤的定义域为()

A.(-00,-1)B.(-1,1]C.[1,+8)D.(一8,一l)u[l,+8)

【答案】C

fx+1>0

【解析】由题得解得X21；

x-l>0

所以函数的定义域为[I,+8).故选：c

【典例2】（2023•全国•高三对口高考）函数y=-x的定义域是（）

Ig（smx）

A.[-4,4]B..1]，4C.[-4,-TI）（0,7i）D.[-4,-兀）.（。个]■，兀

【答案】D

16-x2>0-4<x<4

【解析】>=晾有意义满足'

sinx>0，即2kn<x<兀+2防i,(keZ),

lg(sinx)w0712

%w—+2fai

2

解得口[-4,-兀）口[0仁卜?,兀），故选：D

二、函数解析式的四种求法

1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法.

（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；

（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；

（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

2、换元法：主要用于解决已知/（g（x））的解析式，求函数的解析式的问题

（1）先令g（%）=r,注意分析r的取值范围；

（2）反解出X,即用含/的代数式表示X；

（3）将/口（力）中的无度替换为才的表示,可求得了（f）的解析式,从而求得了（%）。

3、配凑法：由已知条件/但（可）=网"，可将尸（%）改写成关于g（x）的表达式，

然后以x替代g（x）,便得了（%）的解析式.

4、方程组法：主要解决已知"%）与/（-尤）、f的方程，求了（九）解析式。

例如：若条件是关于“X）与/（f）的条件（或者与彳口）的条件,

可把X代为-X（或者把X代为工）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出/（%）

X

【典例1】（2023•全国•高三专题练习）若/（X）是R上单调递减的一次函数，且/[〃x）]=4尤-1,则

〃力=.

【答案】-2x+l

【解析】因为"％)是R上单调递减的一次函数，所以可设/5)=区+优左〈0),

所以f[f(x)]=k-f(x)-^-b=k(kx+b)+b=k2x+kb+b,

又因为(切=4xT,所以Fx+如+6=4X一1恒成立，

=4

所以77z「因为左<0,所以左=—2,b=\.

[kb+b=-l

所以f(x)=-2x+l.故答案为：—2x+l

【典例2】(2023•全国•高三专题练习)(多选)下列关于函数解析式的叙述中，正确的是()

A.f(y/x+l^=x+2-Jx,则

B.若f(x)+2/(f)=-x+l,则/(x)=x+g

C.若一次函数f(x)满足/■(/(x))=4x+3,则/(x)=2x+l

D.若奇函数/(%)满足当%>0时，f(x)=x—,则当％<0时，f(x)=——x

XX

【答案】AB

【解析】对于A,7(石+1)=(«+1『-1,且6+121,所以〃力=/一1,血1,A正确;

对于B,由/(%)+2/(-x)=-x+1得/(-%)+2/(%)=x+1,

/(x)+2/(-x)=-x+l解得/(x)=x+；，

联立B正确;

“f)+2/(x)=x+l

对于C,^f(x)=ax+b,贝Ijf(/(x))=a(ax+Z?)+6=4x+3,即p2尤+°匕+匕=4;<:+3,

所以\a2加—4〜解得\"a=12或\ci=-—23,所以〃,、*2x+l或仆,、)=3-3,C错误;

=*,D错

对于D,尤<0时，-x>0,且函数为奇函数，所以/。)=一/(一刈=一

误,

故选:AB.

三、求函数值域的七种方法

1、单调性法：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性可快速求出函数的最值(值域).

(1)若函数y=/(x)在区间[a,加上单调递增，则ymax=A6)，Jmin=/(a).

(2)若函数y=/(x)在区间[a,切上单调递减，则ymax=Aa)，ymia=fib).

(3)若函数y=/(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)

值.函数的最大（小）值是整个值域范围内的最大（小）值.

2、图象法：作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形

结合.

（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便

于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域.

（2）“X）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后

确定靠下（或靠上）的部分为该“X）函数的图象，从而利用图象求得函数的值域.

3、配方法：主要用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围.

4、换元法：换元法是将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元/代替，将解析式化归

为熟悉的函数，进而解出最值（值域）.

（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围.

（2）换元的作用有两个：

①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即

可“消灭”根式，达到简化解析式的目的.

②可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理

5、分离常数法：主要用于含有一次的分式函数，

形如y=竺心或y=+"+e（a,C至少有一个不为零）的函数，求其值域可用此法

cx+dcx+d

以丁=竺心为例，解题步骤如下：

cx+d

第一步，用分子配凑出分母的形式，将函数变形成y=@+—的形式，

ccx+d

第二步，求出函数丁=—J在定义域范围内的值域，进而求出丁=竺心的值域。

cx+dcx+d

nx~+hx+c

6、判别式法：主要用于含有二次的分式函数，形如：y=-------------

ax+ex+j

将函数式化成关于x的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数y的取值范围，即得函数的值域。应

用判别式法时必须考虑原函数的定义域，并且注意变形过程中的等价性。

另外，此种形式还可使用分离常数法解法。

7、导数法：对可导函数/（x）求导，令/（x）=0,求出极值点，判断函数的单调性：

如果定义域时闭区间，额函数的最值一定取在极值点处或区间端点处；

如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。

【典例1】（2022秋・上海.高三校考阶段练习）函数y=在［1,2］上的值域为.

【答案】［0,31］

【解析】y=x—在［1,2］上为增函数，

11o

则>=彳-：在［1,2］上的最小值为y=l-l=O,最大值为y=2-1=全

33

即ye［O,/］.故答案为：［0,万］.

【典例2】（2023•全国•高三专题练习）y=x+j2x-l的值域为

【答案】；，+，）

【解析】设〃=岳二1（x2：）,贝IJx=l±二（〃20）,

22

+〃—（〃NO）

、八（〃+i）21

〃之0,:.y=^——>-

-22

故函数y=x+J2x-1的值域为g,+©）.故答案为：g，+°°）

2+7r+3

【典例3】（2023•全国•高三专题练习）当无>-1时，求函数y=r的最小值.

X+1

【答案】2&

【解析】因为x>-l,所以x+l>0,

x2+2x+3(x+1)+22[J??2-；—

y=---------=---------=x+14-----22j(x+l)x----=2yl2，

x+1x+1x+1v7x+1

2

当且仅当x+l=-即工=应-1时，等号成立，

所以函数y=一+2尤+3的最小值为2后.

X+1

QrI1C

【典例4］（2。23・全国•高三课时练习）函数仆）=占内的值域为（）

A.B.-QC.-y,4D.以上答案都不对

【答案】C

【解析】设题中函数为y=/（x）,则yx2+（3y_8）x+4y-15=0,

当y=0时，x=-^~•

8

当时，视其为关于x的二次方程，

--＜y＜4

判别式A=（3y-8）2-4y（4y-15）N0n7一~,

"0

综上，故值域为-学4.故选：C.

四、单调性定义的等价形式及应用

1、函数在区间[a,3上是增函数：

O任取，且九1＜%2，都有了（九1）一/（工2）＜。；

O任取玉,冗2£[。，⑸，且MW%，—""）＞0；

%]~X2

O任取西,％2£用，且再。九2，（再一九2）[/（尤1）—/（%2）]＞°；

M-x

O任取尤J/£[，"，且MW%，2>0.

2、函数/（x）在区间[a*]上是减函数：

O任取%J%£口力]，且毛＜%2，都有/（%）-/（%）＞0；

O任取再，％£[。，⑸，且再。九2，—""）＜0；

匹~X2

。任取再,％且毛。九2,（七一9）[/（再）—/（"＜。；

。任取九1，冗2w[a，。]，且不力巧，-————--；＜0.

fM-fM

【典例1】（2023•甘肃张掖校考模拟预测）已知函数/（X）的定义域为R,/（元-1）的图象

关于点（1，。）对称，"3）=0,且对任意的西,x,e（e,0）,玉片尤2,满足"“）—"…）＜。，则不等式

x2-xl

（x—i）/a+i）2o的解集为（）

A.（F,1]32，+功B.H，-l]u[0,l]C.H，-1]U[1,2]D.H，-1]U[2,+＜X＞）

【答案】C

【解析】/(x-1)的图象关于点(1,0)对称，的图象关于点(0,0)对称，

是定义在R上的奇函数，

对任意的4,无,€(-<»,0),X产马，满足"")<0,

%一项

f(X)在(-8,0)上单调递减，所以/(X)在(0,+8)上也单调递减，

又"3)=0所以/(一3)=0,且/(0)=0,

所以当xe(y,-3)u(O,3)时，/(x)>0；当x«—3,0)。(3,+8)时,/(x)<0,

所以由(I"-』。可得/Ho或后工3或

解得TMXM-I或".2,即不等式(x—l)/(x+l”。的解集为故选：C.

【典例2】(2023•河南商丘・商丘市实验中学校联考模拟预测)已知/(x)是定义在R上的奇函数，/(3)=0,

若V立,%«。，口)且工产马满足山上巫口>0,则不等式/、)+2/(一)<0的解集为()

再一入2X

A.(^o,—3)(3,+oo)B.(—3,0)I(0,3)C.(―3,0)u(3,+co)D.(―<x),—3)u(0,3)

【答案】A

【解析】因为V%,%e(0,+8)且无।.满足了卜,)一♦(々)>0，则/⑺在(。,+⑹上单调递增，

x{-x2

因为了⑺是定义在R上的奇函数，且/(3)=0,则/(-3)=0,/(X)在(-8,0)上单调递增，

由,/(」x)_+2八/(-_%)_<o,彳得曰4'(x、)〉八。，

尤

当x>0时，由〃x)〉0=〃3),得x>3,当x<0时，由/(x)<0=7'(—3),得X<一3,

所以原不等式的解集为(-8，-3)口(3,+8).故选：A

【典例3](2022秋•河南驻马店•高三校联考期中)已知函数〃x)=aln(x+l)+d,在区间(2,3)内任取两

个实数毛，巧，且占工々，若不等式〃属)一"％)>i恒成立,则实数。的取值范围为()

x1-x2

A.[-9,+oo)B.[-7,+co]C.[9,+oo)D.[7,+oo]

【答案】A

【解析】不妨设玉>%,则"*)一"")>1等价于

Xy—%2

即8卜)=/(耳-*在(2,3)上单调递增，

也即8'(力=噩+2无-120在(2,3)上恒成立.

由函数的定义域知，%>-1,所以/-2/一犬+1在(2,3)内恒成立,

由于二次函数、=-21-彳+1在(2,3)上是单调递减函数，

故-2f—x+l<—2x22-2+1=-9,

/.a>-9,.•・〃£[-9,+00).故选：A.

五、常见奇函数、偶函数的类型及应用

1、/(%)="+〃一'(〃>。且4。0)为偶函数；

2、f(^x)=ax-a~x(〃>。且♦。0)为奇函数；

ax-a~xa2x-]

3、/(x)=-------——(〃>。且〃W。)为奇函数;

ax+axax+1

b-Y

4、/(x)=k)g"-------(。>0且awO力HO)为奇函数；

5、/(x)=log°Rx?+1±x)(a>0且a2O)为奇函数;

6、/(1=麻+4+版—可为偶函数;

7、/(%)=辰+a一同一耳为奇函数；

【典例1】(2022秋•重庆沙坪坝•高三重庆一中校考阶段练习)下列函数中，是奇函数且在(0,+©)上单调递

减的是()

A.y=2B./=包^c.j1=1g^4x2+1-2x^D.y=^—^—

【答案】C

【解析】A选项：〃r)=2=/(x),不是奇函数，故A选项错误；

B选项：〃­)=回二"=*=包三=〃引，不是奇函数，故B选项错误；

-x-xX

C选项：因为“X)的定义域为R,

且/(-x)+/(x)=1g^4x2+1+2xj+1g^4x2+l-2JCj=1g(4x2+1-4x2)=Igl=0,

.../(x)是奇函数.设,〃乂+1-2X=".：+2X，

因为"J4x'+2x在(°,+8)上单调递减，V=坨/在(0,+8)上单调递增，

由复合函数单调性知，/(X)在(。,+8)上单调递减，故C选项正确;

因为y=e*,y=-:在(。,+8)上都单调递增,

D选项：

所以〃x)在(0,+8)上单调递增，故D选项错误，故选：C.

【典例2】(2023・四川成都・校考模拟预测)“°=1”是“函数〃x)=1g(J尤2+/_q是奇函数，，的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当函数“力=3(五2+片一尤)为奇函数,

则/(x)+/(-%)=1g[\lx2+a--+1g^x2+a2+=1ga2=0,解得a=±l.

所以“a=l”是“函数〃x)=lg(石不7-x)为奇函数”的充分不必要条件.故选：A.

六、函数周期性的常用结论及应用

(。是不为0的常数)

(1)若/(x+a)=/(x),则T=a;(2)若“x+a)=f(x-a),则T=2a;

1

(3)若/(%+。)=—/(光)，则T=2a;(4)若/卜+。)=,贝UT=2a;

/(x)

(5)若〃x+a)=-为，贝UT=2a;

(6)若/(X+a)=/(%+/?),贝!]T=|a-Z?|(a^b);

[

【典例1】(2023.黑龙江佳木斯・佳木斯一中校考模拟预测)定义在R上的函数/■(%)满足〃x)=

〃x+4)

且当xe[0,4),/(x)=x+l,贝|/(2023)=

【答案】1/0,25

【解析】由/(可=71岛可得八"4)=冗'，所以小+8)="百=/(6,

故为周期函数，且周期为8,

/(2°23)=/(-1)=苏•=；,故答案为：!

【典例2】(2023•广东梅州・统考三模)已知函数〃x)是定义在R上的奇函数，为偶函数，且

=则|〃一10)|+|〃一9)|++|〃0肛|〃1)|++|/(9)|+|f(10)|=()

A.10B.20C.15D.5

【答案】A

【解析】因为函数因(1-2x)为偶函数,所以析(l-2x)=/(l+2x),

所以函数的图象关于x=l对称，

又因为了⑺是定义在R上的奇函数，所以〃l-2x)=-〃2xT),

即/(l+2x)=_/(2xT),gp/(x+l)=-/(x-l),则〃x+2)=-/(x),

那么I”尤+2)卜卜/(尤)|=|〃刈，所以2是函数[(刈的一个周期,

因为〃x)是定义在R上的奇函数，所以"0)=0,且/(-1)=1,

所以I——10)|=|/(-8)卜=|/(8)|=|/(10)|=0,|/(-9)|=|/(-7)|==|/(7)|=|/(9)|=1,

所以|〃一10)|+|〃-9)|++|/(0)|+|/(1)|++，(9)|+/(10)|=10.故选:A

易混易错

易错点1求复合函数定义域时忽视"内层函数的值域是外层函数的定义域"

点拨：在复合函数中，外层函数的定义域是内层函数的值域，求复合函数定义域类型为：

1、己知/(x)的定义域为A,求/(g(£»)的定义域，其实质是g(x)的取值范围为A,求x的取值范围；

2、已知/(g(x))的定义域为6,求/(组的定义域，其实质是已知/(g(x))中的x的取值范围为5,求

g(x)的范围(值域)，此范围就是/(%)的定义域.

3、已知/'(g(x))的定义域，求/(〃(£))的定义域，要先按(2)求出/(%)的定义域.

【典例1】(2023•全国•高三专题练习)函数/(-2x+l)的定义域为[-2』，则〃x-1)的定义域为.

【答案】[0,6]

【解析】由于函数/(—2x+l)的定义域为[—2,1],贝|一2%+14一1,5],

所以函数的定义域为[-1,5],

则函数〃彳一1)中x—le[—1,5],

所以xe[0,6],即〃x—1)的定义域为[0,6].故答案为：[0,6].

则函数-x-gj的定义域

【典例2】(2023•高三课时练习)己知函数/(x)的定义域为

【解析】因为函数y=/(x)的定义域为

所以在函数丫=/卜一工一1]中,-上炉-K解得联…或1"符,

【典例3】(2023•全国•高三专题练习)已知函数7•(无六石二？，g(x)=2x+l,则函数y=/[g(H]的定

义域为.

【答案】卜"3翥1~

【解析】解法1：由函数/(尤)=乒2，贝IJ满足4一一20,可得—2VxV2,

即函数“X)的定义域为[-2,2],

□1

对于函数y=/[g(x)],令一2Wg(x)W2,即一2V2X+1W2,

「31~

即函数y=/[g(%)]的定义域为-于5.

解法2：由/(%)="-炉,g(%)=2x+l,

可得/[g(%)]=,4-(2%+1)2=V-4x2-4x+3,

令TxJ4x+320,解得-白尤Kg,所以f[g(x)]的定义域为一不行.

「31一

故答案为：-不大.

易错点2忽略二次型式子中最高项的系数为0

点拨：在二次型函数丁=。f+6%+。中，当awO时为二次函数，其图象为抛物线；当a=O,bwO时为

一次函数，其图象为直线。在处理此类问题时，应密切注意/项的系数是否为0,若不能确定，应分类讨

论，另外有关三个“二次”之间的关系的结论也是我们应关注的对象。

【典例1】（2023•全国•高三专题练习）若函数〃尤）=/丁一的定义域为R,则实数〃，的取值范围是

7mx-x+2

（）

A.1,+8)B.AD-[0，i

【答案】B

【解析】由题意可知，函数/（x）=I；的定义域为R,

yjmx-x+2

所以不等式〃V-x+2>0在R上恒成立.

当m=0时，当x=4时，T+2=—2<0,

所以不等式-彳+2>0在R上恒成立显然不成立，

m>0]

当加HO时，则满足｛,、2，解得相

A=(-l)-4x2xm<08

综上，实数冽的取值范围是（j+s

.故选：B.

【典例2】（2023•全国•高三专题练习）函数〃x）=lg（，/+收+1）的定义域为R,则实数机的取值范围

是.

【答案】［0,4）

【解析】由函数〃引=坨（后+收+1）的定义域为R,得WxeR,2+团+1>0恒成立.

当机=0时，1>0,成立；

一fm>0,

当加。0时，需满足<2/八于是。<机<4.

［m-4m<0,

综上所述，加的取值范围是［0,4）.故答案为：［0,4）.

易错点3判断函数奇偶性时忽视定义域

点拨：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。如果不具备这个条件，一定是非奇非偶函数。

在定义域关于原点对称的前提下，如果对定义域内任意X都有/(-%)=-/(X),则/(X)为奇函数；如果

对定义域内任意X都有/(-X)=f(x),则/(%)为偶函数，如果对定义域内存在/使/(-Xo)丰-/(x0),

则“X)不是奇函数；如果对定义域内存在,使/(-，则“X)不是偶函数。

【典例1】(2023•全国•高三专题练习)函数/(x)=(l+x)旧］的奇偶性为()

A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数

【答案】C

【解析】由函数“X)=(1+x)J个的定义域可得三20,

则］(1+比1-加。—《1,

［尤W-1

由于定义域不关于原点对称，故/(X)为非奇非偶函数.故选：C.

【典例2】(2023•全国•高三专题练习)判断下列函数的奇偶性.

x—2

(2)/(x)=lg(4-x2)；

(3)/(x)=y/x2-1+yjl-x2；

(4)/(X)=H+2%+U>0

［x2+2x—l,x<0

【答案】(l)非奇非偶函数；(2)偶函数；(3)偶函数；(4)奇函数

【解析】(1)原函数的定义域为卜2},关于原点不对称，

从而函数/(X)为非奇非偶函数.

(2)由4-尤2>0得—2<x<2,即函数的定义域是卜卜2Vx<2},

关于原点对称.又)=1g(4-(-疗)=ig(4—f)=

因此函数是偶函数.

(3)/(x)的定义域为{-M},关于原点对称.

又/(一1)=/(1)=0,/(-1)=-/(1)=0,所以〃x)既是奇函数又是偶函数.

(4)如图，作出函数的图象，由奇函数的图象关于原点对称的