高中数学一轮复习 函数的最值

第2.4章函数的概念与性质

2.4.5函数的最值

鳖课程要求了修♦求心中有敷

1理解函数最值的概念;

高中要求

2掌握求常见函数的最值的方法;

3基础知识SKSM,■立完整知识体系

函数的最值

一般地，设函数y=/(久)的定义域为/,如果存在实数M满足：

(1)VxeI,都有/(x)<M；(2)3x06I,使得f(%o)=M；

那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.(最小值类似定义)

简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值.

【例1】下图为函数y=/(%)，xe［—4,7］的图象，指出它的最大值、最小值.

解析观察函数图象可以知道，图象上最高点坐标为(3,3),最低点坐标为(-1.5,-2),所以当x=3时，函

数丫=f(X)取得最大值=3；当X=-1,5时，取得最小值ymin=-2.

【例2】求函数〃>)=2x+1在区间［3,6］上的最大值和最小值.

解析函数/(x)=2x4-1在区间［3,6］上递增，则f(3)</(x)<f(6),

所以最大值=/(6)=13,最小值/(久)7n讥=/(3)=7.

腌^经典例题从典例中见解建能力

【题型1】求函数最值

【典题1】已知函数/(x)=岩，其定义域是［-8,-4),则下列说法正确的是()

557

A./(%)有最大值］无最小值B./(%)有最大值w，最小值不

77

C./(%)有最大值？，无最小值D./(%)有最大值2,最小值1

解析函数"%)=答1=2+高

5

即有/(%)在［-8,-4)递减，则久=-8处取得最大值，且为石，

由X=-4取不到，即最小值取不到.

故选：A.

【典题2】已知函数/(%)=x2+lx—af+1,xeR,aeR.

(1)当a=l时，求函数/(%)的最小值；(2)求函数/(%)的最小值为g(a).

解析(1)/0)=/+比一1|+1=,r+：’：221，

1片一1+2,%V1

由/(%)=/+%n/(%)=(%+[)-1(%>1),可知/(%)22;

由/(%)=/-%+2=/(%)=(%—；)+：(、<1)，可知/(汽)>

所以/(%)zn讥=/Q)=彳

c、e、f%2+x—a+1,%>a

⑵/(%)=%,「/，

—%+a+L%Va

1)当a>f(x)min=fG)=3+。；

2

2)当-1<a<pf(.x)min=/(a)=a+1；

_=-a；

3)当aW-1,f(x)min=/(I)|

、

-3+.a,a>-1

11

所以9(a)=ct9+1,—<aV一

22

变式练习

1.函数“久)=X2+3X+2在区间［—5,5］上的最大值、最小值分别是()

A.12,B.2,12C.42,-iD.最小值是一；，无最大值

444

答案c

解析y=/+3%+2=(%+')抛物线的开口向上，对称轴为％=-j，

••.在区间［—5,5］上，当％=-|时，y有最小值/x=5时，y有最大值42,

函数/(久)=/+3支+2在区间［—5,5］上的最大值、最小值分别是：42,

故选：C.

2.y=%-(在［1,2］上的最小值为.

答案0

解析根据题意丫=尤-：在［1,2］上为增函数，

则y=x在［1,2］上的最小值为y=0.

3.函数“久)=自在区间［2,4］上的最小值为.

答案!

解析/(%)=嗫=1一^^八人吗在已句上为增函数，

.,.当x=2时，/(%)=W在区间24］上的最小值为f(2)=

4.求函数f(%)=2x-Vx-1的值域.

解析设t=V%-1>0,则％=t2+1,

/(t)=2(t2+1)-t=2t2-t+2=2(t-i)2+(t>0)

.•・值域为吟,8).

o

【题型2】参数问题

【典题1］已知函数=分的定义域和值域都是［2,b］(b>2),则实数b的值为

解析了(%)=岑=竺匕卢=一三+4,其图象如图，

x—1x-1x—1

由图可知，函数/。)=昔在［2,句上为增函数，

又函数/(X)=詈的定义域和值域都是［2,b］(b>2),

；•f(匕)=TD—V1=b,解得6=3.

【典题2】若函数/(无)=/-2ax+1-a在［0,2］上的最小值为-1.则a=()

6

A.1或2B.1C.1或gD.-2

解析函数/(%)=x2-2ax+1-a图象的对称轴为第=a,图象开口向上，

(1)当a<0时，函数/(吗在［0,2］上单调递增.则/(%)加讥=/(0)=1-a,

由1-a=-1,得Q=2,不符合a<0；

(2)当0<aV2时.则讥=/(。)=CL2—2a24-1—a=—a2—a+1,

由一次―Q+I=—i,得。=一2或a=l,0<a<2,・•・a=1符合；

(3)当a22时，函数/(%)=x2-2ax+1-Q在［0,2］上单调递减，

6

f=/(2)=4—4a+1—a=5—5a,由5—5a=-1,=百，

va>2,a=5不符合，

综上可得a=1.

故选：B.

【典题3]已知二次函数/(%)满足条件:/(0)=1)(%+1)=/(x)+2x

⑴求/(%)；

(2)讨论二次函数/(%)在闭区间比t+l](teR)上的最小值.

解析(1)设/(%)=ax2+b%+1,

•••/(%+1)=/(%)4-2x,

•••a(x+l)2+b(x+1)+1=ax2+b%+1+2x,

即2ax+a+b=2%,

a+b=O'解得a=l，b=T，

•••/(x)=x2—X+1.

2

(2)由(1)知/(%)=x2-%+1,则/(%)=x2-%+1=+1,

・•・当时，即当时,/(%)在也t+1］上是减函数,

2

/Wmin=/«+1)=(t+{)+：=产+t+1;

2

当t>决寸，/(乃在tt+1］上是增函数，f(X)min=/(t)=t-t+1；

当t<g<t+l时，即当-t时，f(X)mE=f0=；；

2

综上可知，当tW—|•时，f(X)min=t+t+1;

当时，=*

2

当t2次寸，f(x)min=t-t+1.

变式练习

1.已知函数。(x)=——+4x+a,xe［0,1］,若/。)有最小值-2,则己%)的最大值为()

A.-1B.0C.1D.2

答案C

解析/(%)=—(%2-4%+4)+a+4=—(%—2/+4+a.

・•・函数/(%)图象的对称轴为汽=2,/(%)在［0,1］上单调递增.

又•・♦/(%)加九二-2,/./(0)=-2,即a=-2.

f(%)m=f(l)=T+4-2=1.

2.若函数y=d一5%-1的定义域［0,zn］,值域为［一个，一1］,则租的取值范围是__.

4

答案［|,5］

解析根据题意，函数丫=/一5刀一1=(久—，一三

函数的对称轴为％=£且有汽0)=/(5)=-1,

又由函数的定义域值域为［—弓，一1］,则有|wmW5；

即6的取值范围6，5］.

3.已知函数/(%)=/一6%+8,久C［La］，并且函数/(%)的最小值为/(a),则实数Q的取值范围是

答案(1,3］

解析函数/(%)=/一6%+8=(%-3)2-1,%E［1,幻，并且函数/(%)的最小值为f(a),

又・・•函数/(%)在区间口,3］上单调递减，，1Va43,

故答案为：(1,3］.

4.已知函数/(%)=x\x-2\

⑴写出"%)的单调区间；

(2)设a>0,求f(%)在［0,a］上的最大值.

a(2—a),0<a<1

l,l<a<l+V2

a(a—2),a>1+V2

x!2—2x,x>2(%-l)2-l,x>2

解析(1)f(x)=X\x-2|=

—x2+2x,x<2—(x—l)2+l,x<2

f(x)的单调递增区间是(一oo,l］和［2,+oo)；

单调递减区间是［1,2］.

(2)i)当0<a<1时,

f(%)在［0,a］上是增函数，此时f(%)在［0,a］上的最大值是f(a)=a(2-a);

ii)当1WaW2时，

/(x)在［0,1］上是增函数，在［1,a］上是减函数，

所以此时f(x)在［0,a］上的最大值是-1)=1

iii)当2<aW1+迎时，

/(%)在［0,1］是增函数，在［1,2］上是减函数，在［2,a］上是增函数，

而((a)</(I+V2)=f(l),所以此时f(x)在［0,a］上的最大值是f(l)=1

iv)当a>1+企时，

f(无)在［0,1］上是增函数，在［1,2］上是减函数，在［2,a］上是增函数，

而f(a)>/(I+V2)=/⑴,所以此时/(x)在［0,a］上的最大值是f(d)=a(a-2)

{a(2—a),0<a<1

1,1<a<1+V2

a(a—2),a>1+V2

1.函数f(久)(-2WxW2)的图象如图所示，则函数的最大值、最小值分别为()

♦

A.f(2),f(-2)B.f(j),/(-l)C./(i),f(~l)D.f(l),f(0)

答案C

2.设函数〃X)的定义域为［0,1］,则“/(x)在区间［0,1］上单调递增受“/(x)在区间［0,1］上的最大值为f(l)”的

()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若函数f(x)在［0,1］上单调递增，

则函数在［0,1］上的最大值为/(I),

若f(x)=(x-Q2,则函数/Xx)在［0,1］上的最大值为f(l),

但函数在［0,1］上不单调，

故选：A.

3.函数f(x)=/-2ax+a+2在［0,可上取得最大值3,最小值2,则实数。为()

A.0或1B.1C.2D.以上都不对

答案B

解析因为函数/(x)=d一2ax+a+2=(x-a)2-a?+a+2,对称轴为％=a,开口方向向上，所以/(x)

在［0,a］上单调递减，其最大值、最小值分别在两个端点处取得，

即/(x)max=/(0)=a+2=3,=/(a)=一a?+a+2=2.故a=1.

4.已知函数/(x)=x+-2x,则函数/(%)有()

A.最小值:，无最大值B.最大值今无最小值

C.最小值1,无最大值D.最大值1,无最小值

答案D

解析由题意可得XW5设位工=如贝亚20,

1—M10

•1•g(t)=——Ft――-(t—l)2+1,t>o,

其对称轴为t=i,且开口向下，

.,.当t=i时，由最大值，最大值为1,无最小值.

故函数/■(%)有最大值1,无最小值，

故选：D.

5.函数f(久)=/-2x+2在区间［0,河上的最大值为2,最小值为1,则m的取值范围是

答案［1,2)

解析/(%)-x2-2x+2,对称轴x=1,；./(0)=2,/(I)=1,

/(%)=%2-2%+2在区间［0,m］上的最大值为2,最小值为1

\.Mn-.l<m<2

(m)<2-2m<0

故答案为：1<m<2

6.函数fO)=宗在区间［—5,—3］上的最小值为.

答案(

解析函数/0)=*%+2—1=1一点

%+2

由y=U是递增函数,

.•・当乂=—5时，取得最小值为去

4

-

那么函数3

7.求函数y=2%+-2x的最大值为.

5

暂

案-

4

析

解

令

a则

-一%>-

-，I15X

-

-

24

z-

2

.y-++1-l+

：-

-\

135

时

当

--即X--y--

28ma4

8.已知二次函数/(x)的最小值为—1,且/(I)=0/(3)=0,

(I)求。,b,c的值；

(11)求丫=f(x)在［-1,4］上的单调区间与值域.

答案(1)a=l,6=-4,c=3;(2)［-1,8］

解析(I):为二次函数，/(I)=f(3)=0,••・对称轴为x=2

:二次函数f(X)的最小值为-1,

.•.设二次函数的解析式为/■(>)=a(x-2)2-1,a>0

/(I)=