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文档简介

第2.4章函数的概念与性质

2.4.5函数的最值

鳖课程要求了修♦求心中有敷

1理解函数最值的概念;

高中要求

2掌握求常见函数的最值的方法;

3基础知识SKSM,■立完整知识体系

函数的最值

一般地,设函数y=/(久)的定义域为/,如果存在实数M满足:

(1)VxeI,都有/(x)<M;(2)3x06I,使得f(%o)=M;

那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值.(最小值类似定义)

简单来说,最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值.

【例1】下图为函数y=/(%),xe[—4,7]的图象,指出它的最大值、最小值.

解析观察函数图象可以知道,图象上最高点坐标为(3,3),最低点坐标为(-1.5,-2),所以当x=3时,函

数丫=f(X)取得最大值=3;当X=-1,5时,取得最小值ymin=-2.

【例2】求函数〃>)=2x+1在区间[3,6]上的最大值和最小值.

解析函数/(x)=2x4-1在区间[3,6]上递增,则f(3)</(x)<f(6),

所以最大值=/(6)=13,最小值/(久)7n讥=/(3)=7.

腌^经典例题从典例中见解建能力

【题型1】求函数最值

【典题1】已知函数/(x)=岩,其定义域是[-8,-4),则下列说法正确的是()

557

A./(%)有最大值]无最小值B./(%)有最大值w,最小值不

77

C./(%)有最大值?,无最小值D./(%)有最大值2,最小值1

解析函数"%)=答1=2+高

5

即有/(%)在[-8,-4)递减,则久=-8处取得最大值,且为石,

由X=-4取不到,即最小值取不到.

故选:A.

【典题2】已知函数/(%)=x2+lx—af+1,xeR,aeR.

(1)当a=l时,求函数/(%)的最小值;(2)求函数/(%)的最小值为g(a).

解析(1)/0)=/+比一1|+1=,r+:’:221,

1片一1+2,%V1

由/(%)=/+%n/(%)=(%+[)-1(%>1),可知/(%)22;

由/(%)=/-%+2=/(%)=(%—;)+:(、<1),可知/(汽)>

所以/(%)zn讥=/Q)=彳

c、e、f%2+x—a+1,%>a

⑵/(%)=%,「/,

—%+a+L%Va

1)当a>f(x)min=fG)=3+。;

2

2)当-1<a<pf(.x)min=/(a)=a+1;

_=-a;

3)当aW-1,f(x)min=/(I)|

-3+.a,a>-1

11

所以9(a)=ct9+1,—<aV一

22

变式练习

1.函数“久)=X2+3X+2在区间[—5,5]上的最大值、最小值分别是()

A.12,B.2,12C.42,-iD.最小值是一;,无最大值

444

答案c

解析y=/+3%+2=(%+')抛物线的开口向上,对称轴为%=-j,

••.在区间[—5,5]上,当%=-|时,y有最小值/x=5时,y有最大值42,

函数/(久)=/+3支+2在区间[—5,5]上的最大值、最小值分别是:42,

故选:C.

2.y=%-(在[1,2]上的最小值为.

答案0

解析根据题意丫=尤-:在[1,2]上为增函数,

则y=x在[1,2]上的最小值为y=0.

3.函数“久)=自在区间[2,4]上的最小值为.

答案!

解析/(%)=嗫=1一^^八人吗在已句上为增函数,

.,.当x=2时,/(%)=W在区间24]上的最小值为f(2)=

4.求函数f(%)=2x-Vx-1的值域.

解析设t=V%-1>0,则%=t2+1,

/(t)=2(t2+1)-t=2t2-t+2=2(t-i)2+(t>0)

.•・值域为吟,8).

o

【题型2】参数问题

【典题1]已知函数=分的定义域和值域都是[2,b](b>2),则实数b的值为

解析了(%)=岑=竺匕卢=一三+4,其图象如图,

x—1x-1x—1

由图可知,函数/。)=昔在[2,句上为增函数,

又函数/(X)=詈的定义域和值域都是[2,b](b>2),

;•f(匕)=TD—V1=b,解得6=3.

【典题2】若函数/(无)=/-2ax+1-a在[0,2]上的最小值为-1.则a=()

6

A.1或2B.1C.1或gD.-2

解析函数/(%)=x2-2ax+1-a图象的对称轴为第=a,图象开口向上,

(1)当a<0时,函数/(吗在[0,2]上单调递增.则/(%)加讥=/(0)=1-a,

由1-a=-1,得Q=2,不符合a<0;

(2)当0<aV2时.则讥=/(。)=CL2—2a24-1—a=—a2—a+1,

由一次―Q+I=—i,得。=一2或a=l,0<a<2,・•・a=1符合;

(3)当a22时,函数/(%)=x2-2ax+1-Q在[0,2]上单调递减,

6

f=/(2)=4—4a+1—a=5—5a,由5—5a=-1,=百,

va>2,a=5不符合,

综上可得a=1.

故选:B.

【典题3]已知二次函数/(%)满足条件:/(0)=1)(%+1)=/(x)+2x

⑴求/(%);

(2)讨论二次函数/(%)在闭区间比t+l](teR)上的最小值.

解析(1)设/(%)=ax2+b%+1,

•••/(%+1)=/(%)4-2x,

•••a(x+l)2+b(x+1)+1=ax2+b%+1+2x,

即2ax+a+b=2%,

a+b=O'解得a=l,b=T,

•••/(x)=x2—X+1.

2

(2)由(1)知/(%)=x2-%+1,则/(%)=x2-%+1=+1,

・•・当时,即当时,/(%)在也t+1]上是减函数,

2

/Wmin=/«+1)=(t+{)+:=产+t+1;

2

当t>决寸,/(乃在tt+1]上是增函数,f(X)min=/(t)=t-t+1;

当t<g<t+l时,即当-t时,f(X)mE=f0=;;

2

综上可知,当tW—|•时,f(X)min=t+t+1;

当时,=*

2

当t2次寸,f(x)min=t-t+1.

变式练习

1.已知函数。(x)=——+4x+a,xe[0,1],若/。)有最小值-2,则己%)的最大值为()

A.-1B.0C.1D.2

答案C

解析/(%)=—(%2-4%+4)+a+4=—(%—2/+4+a.

・•・函数/(%)图象的对称轴为汽=2,/(%)在[0,1]上单调递增.

又•・♦/(%)加九二-2,/./(0)=-2,即a=-2.

f(%)m=f(l)=T+4-2=1.

2.若函数y=d一5%-1的定义域[0,zn],值域为[一个,一1],则租的取值范围是__.

4

答案[|,5]

解析根据题意,函数丫=/一5刀一1=(久—,一三

函数的对称轴为%=£且有汽0)=/(5)=-1,

又由函数的定义域值域为[—弓,一1],则有|wmW5;

即6的取值范围6,5].

3.已知函数/(%)=/一6%+8,久C[La],并且函数/(%)的最小值为/(a),则实数Q的取值范围是

答案(1,3]

解析函数/(%)=/一6%+8=(%-3)2-1,%E[1,幻,并且函数/(%)的最小值为f(a),

又・・•函数/(%)在区间口,3]上单调递减,,1Va43,

故答案为:(1,3].

4.已知函数/(%)=x\x-2\

⑴写出"%)的单调区间;

(2)设a>0,求f(%)在[0,a]上的最大值.

a(2—a),0<a<1

l,l<a<l+V2

a(a—2),a>1+V2

x!2—2x,x>2(%-l)2-l,x>2

解析(1)f(x)=X\x-2|=

—x2+2x,x<2—(x—l)2+l,x<2

f(x)的单调递增区间是(一oo,l]和[2,+oo);

单调递减区间是[1,2].

(2)i)当0<a<1时,

f(%)在[0,a]上是增函数,此时f(%)在[0,a]上的最大值是f(a)=a(2-a);

ii)当1WaW2时,

/(x)在[0,1]上是增函数,在[1,a]上是减函数,

所以此时f(x)在[0,a]上的最大值是-1)=1

iii)当2<aW1+迎时,

/(%)在[0,1]是增函数,在[1,2]上是减函数,在[2,a]上是增函数,

而((a)</(I+V2)=f(l),所以此时f(x)在[0,a]上的最大值是f(l)=1

iv)当a>1+企时,

f(无)在[0,1]上是增函数,在[1,2]上是减函数,在[2,a]上是增函数,

而f(a)>/(I+V2)=/⑴,所以此时/(x)在[0,a]上的最大值是f(d)=a(a-2)

{a(2—a),0<a<1

1,1<a<1+V2

a(a—2),a>1+V2

1.函数f(久)(-2WxW2)的图象如图所示,则函数的最大值、最小值分别为()

A.f(2),f(-2)B.f(j),/(-l)C./(i),f(~l)D.f(l),f(0)

答案C

2.设函数〃X)的定义域为[0,1],则“/(x)在区间[0,1]上单调递增受“/(x)在区间[0,1]上的最大值为f(l)”的

()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析若函数f(x)在[0,1]上单调递增,

则函数在[0,1]上的最大值为/(I),

若f(x)=(x-Q2,则函数/Xx)在[0,1]上的最大值为f(l),

但函数在[0,1]上不单调,

故选:A.

3.函数f(x)=/-2ax+a+2在[0,可上取得最大值3,最小值2,则实数。为()

A.0或1B.1C.2D.以上都不对

答案B

解析因为函数/(x)=d一2ax+a+2=(x-a)2-a?+a+2,对称轴为%=a,开口方向向上,所以/(x)

在[0,a]上单调递减,其最大值、最小值分别在两个端点处取得,

即/(x)max=/(0)=a+2=3,=/(a)=一a?+a+2=2.故a=1.

4.已知函数/(x)=x+-2x,则函数/(%)有()

A.最小值:,无最大值B.最大值今无最小值

C.最小值1,无最大值D.最大值1,无最小值

答案D

解析由题意可得XW5设位工=如贝亚20,

1—M10

•1•g(t)=——Ft――-(t—l)2+1,t>o,

其对称轴为t=i,且开口向下,

.,.当t=i时,由最大值,最大值为1,无最小值.

故函数/■(%)有最大值1,无最小值,

故选:D.

5.函数f(久)=/-2x+2在区间[0,河上的最大值为2,最小值为1,则m的取值范围是

答案[1,2)

解析/(%)-x2-2x+2,对称轴x=1,;./(0)=2,/(I)=1,

/(%)=%2-2%+2在区间[0,m]上的最大值为2,最小值为1

\.Mn-.l<m<2

(m)<2-2m<0

故答案为:1<m<2

6.函数fO)=宗在区间[—5,—3]上的最小值为.

答案(

解析函数/0)=*%+2—1=1一点

%+2

由y=U是递增函数,

.•・当乂=—5时,取得最小值为去

4

-

那么函数3

7.求函数y=2%+-2x的最大值为.

5

案-

4

a则

-一%>-

-,I15X

-

-

24

z-

2

.y-++1-l+

:-

-\

135

--即X--y--

28ma4

8.已知二次函数/(x)的最小值为—1,且/(I)=0/(3)=0,

(I)求。,b,c的值;

(11)求丫=f(x)在[-1,4]上的单调区间与值域.

答案(1)a=l,6=-4,c=3;(2)[-1,8]

解析(I):为二次函数,/(I)=f(3)=0,••・对称轴为x=2

:二次函数f(X)的最小值为-1,

.•.设二次函数的解析式为/■(>)=a(x-2)2-1,a>0

/(I)=

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