1.5平方差公式(1)课件 2023-2024学年北师大版七年级数学下册

第一章整式的乘除平方差公式(1)知识点一:平方差公式(1)平方差公式:(a+b)(a－b)＝a2－b2,即两数和与这两数差的

,等于它们的

.

平方差

知识要点

积

(2)平方差公式的推导(代数方法):(3)公式结构记忆口诀:两项和乘两项差,符号相反切记牢;结果就是平方差,基本形式要牢记;公式运用可推广,两式类比两数法.a2－ab+ab－b2＝a2－b2.对点训练1.计算:(1)(x+1)(x－1);

(2)(1+2a)(1－2a);解:(1)原式＝x2－1.(2)原式＝1－(2a)2＝1－4a2.知识点二:平方差公式的常见变形(1)位置变化:(b+a)(－b+a)＝(a+b)(a－b)＝a2－b2.(2)符号变化:(－a－b)(－a+b)＝(－a)2－b2＝a2－b2.(3)系数变化:(3a+2b)(3a－2b)＝(3a)2－(2b)2＝9a2－4b2.(4)指数变化:(a2+b2)(a2－b2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.(5)连用公式变化:(a+b)(a－b)(a2+b2)＝(a2－b2)(a2+b2)＝a4－b4.2.计算:(1)(2－ab)(ab+2);

(2)(x－2)(x+2)(x2+4).

解:原式＝(x2－4)(x2+4)＝x4－16.解:原式＝(2－ab)(2+ab)＝22－(ab)2＝4－a2b2.知识点三:巧用平方差公式计算当出现多个因式相乘时,要仔细观察式子的特点,看是不是符合平方差公式的结构特征或根据题意“凑”出符合平方差公式结构的形式,然后依次运用公式,一直到不能运用为止.解:原式＝m2－4－m2＝－4.4.【例1】计算(3a+b)(3a－b)的结果等于(

)A.9a2+b2

B.3a2－b2C.9a2－b2

D.3a2+b2精典范例

C变式练习C5.【例2】计算:(1)(a+3b)(a－3b); (2)(－m－n)(－m+n);解:(1)原式＝a2－(3b)2＝a2－9b2.(2)原式＝(－m)2－n2＝m2－n2.

(3)(x2+y)(x2－y); (4)(－m2n+2)(－m2n－2).解:(3)原式＝(x2)2－y2＝x4－y2.(4)原式＝(－m2n)2－22＝m4n2－4.9.计算:(1)(a+4)(a－4); (2)(4x+2y)(4x－2y);解:(1)原式＝a2－42＝a2－16.(2)原式＝(4x)2－(2y)2＝16x2－4y2.6.【例3】计算:x(x+4)－(x+2)(x－2).解:原式＝x2+4x－(x2－4)＝4x+4.10.计算:(2a－b)(b+2a)－(a+2b)(a－2b).解:原式＝4a2－b2－(a2－4b2)＝3a2+3b2.7.【例4】计算:(a－b)(a+b)(a2+b2)－(a4+b4).解:原式＝(a2－b2)(a2+b2)－(a4+b4)＝a4－b4－a4－b4＝－2b4.★11.计算:(x+2y)(x2+4y2)(x－2y).解:原式＝(x+2y)(x－2y)(x2+4y2)＝(x2－4y2)(x2+4y2)＝x4－16y4.在一次智力抢答赛中，主持人提供了两道题：1．21×19=？2．103×97=？主持人话音刚落，就立刻有一个学生刷地站起来抢答说：“第一题等于399，第二题等于9991.”其速度之快，简直就是脱口而出．同学们，你知道他是如何计算的吗？问题情境问题1：如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．ababa2-b2(a+b)(a-b)探究新知(a+b)(a-b)=a2-b2问题2：相邻两个自然数的乘积(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点

636414314463996400一个自然数的平方比它相邻两数的积大1探究新知是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？

你能用字母表示这一规律吗？设这个自然数为a，与它相邻的两个自然数为a－1，a+1，则有(a+1)(a－1)=a2－1．探究新知例1．用平方差公式进行计算：（1）103×97解：∵103=100+3，97=100－3，∴103×97=（100+3）（100-3）=1002-32=9991典型例题（2）118×122解：∵118=120－2，122=120+2．∴118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396典型例题例2．计算：（1）a2(a+b)(a-b)+a2b2；（2）(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)=a2(a2－b2)+a2b2=a4－a2b2+a2b2=a4=(2x)2－52－(4x2－6x)=4x2－25－4x2+6x=6x-25典型例题例3.计算(1)704×696

(2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)(3)x(x－1)－(x－)(x+)=(700+4)(700－4)=490000－16=489984=(x2－4y2)+(x2－1)=x2－4y2+x2－1=2x2－4y2－1=(x2－x)－［x2－()2］=x2－x－x2+=－x典型例题典型例题例4.（1）在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是()A．(－a－b)(a－b)B．(c2－d2)(d2+c2)C．(x3－y3)(x3+y3)D．(m－n)(－m+n)（2）用平方差公式计算(x－1)(x+1)(x2+1)结果正确的是()A．x4－1 B．x4+1C．(x－1)4 D．(x+1)4

DA典型例题（3）下列各式中，结果是a2－36b2的是()A．(－6b+a)(－6b－a)B．(－6b+a)(6b－a)C．(a+4b)(a－4b)D．(－6b－a)(6b－a)例5．（1）(5x+3y)·()=25x2－9y2

（2）(－0.2－0.4y)()=0.16y2－0.04x2

（3）(－

x－11y)()=－x2+121y2（4）若(－7m+A)(4n+B)=16n2－49m2，则A=

，B=

．D5x－3y0.2x－0.4y4n7m例6．公式的逆用(1)(x+y)2－(x－y)2(2)252－242分析：逆用平方差公式可以使运算简便．解：(1)(x+y)2－(x－y)2=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］=2x·2y=4xy(2)252－242=(25+24)(25－24)=49典型例题随堂练习1．（1）对于任意整数n，能整除代数式

的整数是（

）．A．4B．3C．5D．2（2）在

的计算中，第一步正确的是（

）．A．B．

C．D．

CC随堂练习（3）

，则（4）．4b3a0.9999随堂练习2．计算：（1）

；（2）

；解：（1）1；（2）

；随堂练习3．计算(1)(2x2+3y)(3y－2x2)．(2)(p－5)(p－2)(p+2)(p+5)．(3)(x2y+4)(x2y－4)－(x2y+2)·(x2y－3)．解．(1)9y2－4x4(2)p4－29p2+100(3)x2y－10随堂练习4．已知x2－2x=2，将下式先化简，再求值.(x－1)2+(x+3)(x－3)+(x－3)(x－1)解：原式=3(x2－2x)－5=3×2－5=15．解方程：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1)解：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1)(2x)2－1+3(x2－4)=7x2－6x－14x2－1+3x2－12=7x2－6x－16x=12

x=2随堂练习6．利用平方差公式计算：(1)20×19；(2)13.2×12.8．分析：(1)把20×19写成(20＋)×(20－)，然后