第五章-误差基础

测量学

第6章

测量误差及数据处理的基本知识3/31/2024

1西南科技大学第6章测量误差及数据处理的基本知识

§6.1概述

§6.2测量误差的种类

§6.3偶然误差的特性及其概率密度函数

§6.4衡量观测值精度的指标

§6.5误差传播定律

§6.6同精度直接观测平差

§6.7不同精度直接观测平差

§6.8最小二乘法原理及其应用

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2西南科技大学

◆测量与观测值

◆观测与观测值的分类

●观测条件

●等精度观测和不等精度观测

●直接观测和间接观测

●独立观测和非独立观测§6.1测量误差概述3/31/2024

3西南科技大学§6.1测量误差概述

◆测量误差及其来源●测量误差的来源（1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。（2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。（3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等

●

测量误差的表现形式

●

测量误差（真误差=观测值-真值）（观测值与真值之差）（观测值与观测值之差）3/31/2024

4西南科技大学例：误差处理方法

钢尺尺长误差

ld

计算改正

钢尺温度误差

lt

计算改正

水准仪视准轴误差I

操作时抵消(前后视等距)

经纬仪视准轴误差C

操作时抵消(盘左盘右取平均)

…………2.系统误差

——误差出现的大小、符号相同，或按规律性变化，具有积累性。●系统误差可以消除或减弱。

(计算改正、观测方法、仪器检校)测量误差分为：粗差、系统误差和偶然误差§6.2测量误差的种类1.粗差(错误)——超限的误差3/31/2024

5西南科技大学3.偶然误差——误差出现的大小、符号各不相同，表面看无规律性。

例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差

。

●准确度(测量成果与真值的差异）

●最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）

●测量平差（求解最或是值并评定精度）4.几个概念:

●精（密）度（观测值之间的离散程度）3/31/2024

6西南科技大学多余观测

为了防止错误的发生和提高观测成果的质量，在测量工作中一般要进行多于必要的观测，称为多余观测。例如一段距离采用往返丈量，如果往测属于必要观测，则返测就属于多余观测；如对一个水平角观测了6个测回，如果第一个测回属于必要观测，则其余5个测回就属于多余观测；又例如一个平面三角形的水平角观测，其中两个角属于必要观测，第三个角属于多余观测。有了多余观测可以发现观测值中的错误，以便将其剔除或重测。由于观测值中的偶然误差不可避免,有了多余观测，观测值之间必然产生差值(不符值、闭合差)。根据差值的大小可以评定测量的精度(精确程度)，差值如果大到一定的程度，就认为观测值中有错误(不属于偶然误差)，称为误差超限。差值如果不超限，则按偶然误差的规律加以处理，称为闭合差的调整，以求得最可靠的数值。

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7西南科技大学举例:

在某测区，等精度观测了358个三角形的内角之和，得到358个三角形闭合差

i(偶然误差，也即真误差)

，然后对三角形闭合差i

进行分析。

分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而且，观测次数越多，规律性越明显。§6.3偶然误差的特性3/31/2024

8西南科技大学3/31/2024

9西南科技大学用频率直方图表示的偶然误差统计：

频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，对称于y轴。

频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区间的频率k/n，而所有条形的总面积等于1。

各条形顶边中点连线经光滑后的曲线形状，表现出偶然误差的普遍规律

图6-1误差统计直方图3/31/2024

10西南科技大学◆从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的四个特性：

特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。

3.偶然误差的特性(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值(有界性)；(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(趋向性)；(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)；(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零

(抵偿性)：3/31/2024

11西南科技大学

偶然误差具有正态分布的特性当观测次数n无限增多(n→∞)、误差区间d

无限缩小(d→0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，这条曲线称为“正态分布曲线”，又称为“高斯误差分布曲线”。所以偶然误差具有正态分布的特性。图6-1误差统计直方图3/31/2024

12西南科技大学正态分布的特征正态分布密度以为对称轴,并在处达到最大。当时，f(x)0，所以f(x)以x轴为渐近线。用求导方法可知，在处f(x)有两个拐点。对分布密度在某个区间内的积分就等于随机变量在这个区间内取值的概率3/31/2024

13西南科技大学1.方差与标准差

由正态分布密度函数式中、为常数；

=2.72828…x=

y正态分布曲线(a=0)令：

，上式为：§6.4衡量精度的指标3/31/2024

14西南科技大学

标准差的数学意义

表示的离散程度x=

y较小较大称为标准差：上式中，称为方差：3/31/2024

15西南科技大学

测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。中误差:观测次数无限多时，用标准差表示偶然误差的离散情形：上式中，偶然误差为观测值

与真值X之差：观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形：

i=

i-

X3/31/2024

16西南科技大学P123表5-23/31/2024

17西南科技大学

m1小于m2,说明第一组观测值的误差分布比较集中，其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比较离散，其精度较低：

m1=2.7是第一组观测值的中误差；

m2=3.6是第二组观测值的中误差。3/31/2024

18西南科技大学2.容许误差(极限误差)

根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d

内的概率为：误差出现在K倍中误差区间内的概率为：

将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：

P(||m)=0.683=68.3P(||2m)=0.954=95.4P(||3m)=0.997=99.7

测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：|容|=3|m|

或|容|=2|m|3/31/2024

19西南科技大学

3.相对误差(相对中误差)

——误差绝对值与观测量之比。

用于表示距离的精度。

用分子为1的分数表示。

分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。

K2<K1，所以距离S2精度较高。例2：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。

0.0210.021

K1=——=——；K2=——=——

100500020010000解：3/31/2024

20西南科技大学§6.5误差传播定律

对于能直接观测的量(如角度、距离、高差等)，经过多次观测后，便可通过真误差或改正数计算出观测值的中误差，作为评定观测值精度的标准。但在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来，这些未知量即为观测值的函数。例如，在水准测量中，两点间的高差h=a-b，则h是直接观测值a和b的函数；在三角高程测量的计算公式中，如果觇标高v等于仪器高i，则h=ltanδ，这时，高差h就是观测值l和δ的函数，等等。本节所要讨论的就是在观测值中误差为已知的情况下，如何求观测值函数中误差的问题。阐述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律，称为误差传播定律3/31/2024

21西南科技大学一.一般函数的中误差令的系数为，(c)式为：由于和是一个很小的量，可代替上式中的和：

(c)代入(b)得对(a)全微分：(b)设有函数：为独立观测值设有真误差，函数

也产生真误差(a)§6.5误差传播定律3/31/2024

22西南科技大学对Z观测了k次，有k个式(d)对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1~n且i≠j）(e)对K个(e)式取总和：(f)3/31/2024

23西南科技大学(f)(f)式两边除以K，得(g)式：(g)由偶然误差的抵偿性知：(g)式最后一项极小于前面各项，可忽略不计，则：<<前面各项即(h)3/31/2024

24西南科技大学(h)考虑，代入上式，得中误差关系式：(6-10)上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。3/31/2024

25西南科技大学

通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结出求观测值函数中误差的步骤：

1.列出函数式；2.对函数式求全微分；3.套用误差传播定律，写出中误差式。注意：只有自变量微分之间相互独立才可以进一步写出中误差关系式。3/31/2024

26西南科技大学1.倍数函数的中误差

设有函数式(x为观测值，K为x的系数)全微分得中误差式例：量得地形图上两点间长度

=168.5mm

0.2mm,

计算该两点实地距离S及其中误差ms：解：列函数式求全微分中误差式二.几种常用函数的中误差

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27西南科技大学2.线性函数的中误差

设有函数式

全微分

中误差式例：设有某线性函数其中

、

、分别为独立观测值，它们的中误差分别为求Z的中误差。

解：对上式全微分：由中误差式得：3/31/2024

28西南科技大学

函数式全微分中误差式3.算术平均值的中误差式

由于等精度观测时，，代入上式：得由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了倍。

●对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精度最有效的方法。3/31/2024

29西南科技大学4.和或差函数的中误差

函数式：

全微分：

中误差式：当等精度观测时：上式可写成：例：测定A、B间的高差，共连续测了9站。设测量每站高差的中误差，求总高差的中误差。

解：

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30西南科技大学观测值函数中误差公式汇总

观测值函数中误差公式汇总

函数式函数的中误差一般函数倍数函数

和差函数

线性函数

算术平均值

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31西南科技大学误差传播定律的应用用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差m

15

。例1：要求三角形最大闭合差m

15

，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？ƒ

=(1+2+3)-180解：由题意：2m=

15

,则m=

7.5

每个角的测角中误差：由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：3/31/2024

32西南科技大学误差传播定律的应用例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。解:(1)测量水平距离的精度

基本公式：

求全微分：

水平距离中误差：

其中：

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33西南科技大学误差传播定律的应用例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。解:(2)测量高差的精度基本公式：

求全微分：

高差中误差：

其中：

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34西南科技大学误差传播定律的应用例3:(1)用钢尺丈量某正方形一条边长为求该正方形的周长S和面积A的中误差.解:(1)周长,(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中:求该正方形的周长S和面积A的中误差.

面积,

周长的中误差为全微分:面积的中误差为全微分:3/31/2024

35西南科技大学解:(1)周长和面积的中误差分别为例3:(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中:求该正方形的周长S和面积A的中误差.

(2)周长;周长的中误差为面积得面积的中误差为全微分:但由于3/31/2024

36西南科技大学▓观测值的算术平均值(最或是值)▓用观测值的改正数v计算观测值的中误差(即:白塞尔公式)§6.6同（等）精度直接观测平差3/31/2024

37西南科技大学

一.观测值的算术平均值(最或是值、最可靠值)

证明算术平均值为该量的最或是值：

设该量的真值为X，则各观测值的真误差为

1=

1-

X

2=

2-

X

······

n=

n-

X对某未知量进行了n次观测，得n个观测值

1,2,···,n,则该量的算术平均值为：x==

1+2+···+n

nn上式等号两边分别相加得和：L=3/31/2024

38西南科技大学当观测无限多次时：

得两边除以n：由

当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均

值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。L≈X3/31/2024

39西南科技大学观测值改正数特点二.观测值的改正数v：以算术平均值为最或是值，并据此计算各观测值的改正数v，符合[vv]=min的“最小二乘原则”。Vi=L-

i(i=1,2,···,n)

特点1——改正数总和为零：对上式取和：以代入：

通常用于计算检核L=

n

v=nL-

nv

=n-

=0v

=0

特点2——[vv]符合“最小二乘原则”：则即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvvdx∵(x-)=0nx-

=0

x=

n3/31/2024

40西南科技大学精度评定

比较前面的公式，可以证明，两式根号内的部分是相等的，即在与中：精度评定——用观测值的改正数v计算中误差一.计算公式(即白塞尔公式)：3/31/2024

41西南科技大学证明如下：真误差：改正数：证明两式根号内相等对上式取n项的平方和由上两式得其中:3/31/2024

42西南科技大学证明两式根号内相等中误差定义:白塞尔公式:3/31/2024

43西南科技大学小结一、已知真值X，则真误差一、真值不知，则二、中误差二、中误差3/31/2024

44西南科技大学解：该水平角真值未知，可用算术平均值的改正数V计算其中误差：例：对某水平角等精度观测了5次，观测数据如下表，求其算术平均值及观测值的中误差。算例1:次数观测值VVV备注176

42

49

-416276

42

40

+525376

42

42

+39476

42

46

-11576

42

48

-39平均76

42

45

[V]=0[VV]=6076

42

45

±1.74

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45西南科技大学距离丈量精度计算例算例2：对某距离用精密量距方法丈量六次，求①该距离的算术平均值；②观测值的中误差；③算术平均值的中误差；④算术平均值的相对中误差：

凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。3/31/2024

46西南科技大学§6.7不同精度直接观测平差一、权的概念权是权衡利弊、权衡轻重的意思。在测量工作中权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标。1权的定义：设一组不同精度的观测值为li,其中误差为mi(I=1,2…n)，选定任一大于零的常数λ，则定义权为：

称Pi为观测值li

的权。3/31/2024

47西南科技大学1权的定义：对于一组已知中误差mi的观测值而言，选定一个大于零的常数λ值，就有一组对应的权；由此可得各观测值权之间的比例关系：2权的性质（1）权表示观测值的相对精度；（2）权与中误差的平方成反比，权始终大于零，权大则精度高；（3）权的大小由选定的λ值确定，但观测值权之间权的比例关系不变，同一问题仅能选定一个λ值。3/31/2024

48西南科技大学二、测量中常用的定权方法1同精度观测值的权对于一组同精度观测值li，一次观测的中误差为m，由权的定义，选定λ=m2，则一次观测值的权为：n次同精度观测值的算术平均值的中误差为：同精度观测值算术平均值的权为：3/31/2024

49西南科技大学二、测量中常用的定权方法2单位权与单位权中误差对于一组不同精度的观测值li，一次观测的中误差为mi，设某次观测的中误差为m，其权为P0，选定λ=m2，则有：数值等于1的权，称为单位权；权等于1的中误差称为单位权中误差，常用μ表示。对于中误差为mi的观测值，其权为：相应中误差的另一表示方法为：3/31/2024

50西南科技大学权的单位在确定一组同类元素的观测值的权时，所选取的单位权中误差的单位，一般是与观测值中误差的单位相同的，由于权是单位权中误差平方与观测值中误差平方之比，所以，权一般是一组无量纲的数值，也就是说，在这种情况下权是没有单位的。但如果需要确定权的观测值（或它们的函数）包含有两种以上的琐类型元素时，情况就不同了。例如，要确定其权的观测值（或它们的函数）包含有角度和长度，它们的中误差的单位分别为“秒”和“毫米”。3/31/2024

51西南科技大学例子：若选取的单位权中误差的单位是秒，即与角度观测值之中误差单位相同，那么，各个角度观测值的权是无量纲（或无单位）的；而长度观测值的