12.3.2-角的平分线的判定-练习

角的平分线的性质(二)1.三角形的三条角平分线交于一点，它到三边的距离_____.2.角的内部到角的两边的距离相等的点在______________.3.如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝_____cm，当PD＝3cm时,点P在∠AOB的平分线上.相等角的平分线上35.如图12-3-20所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在()A．△ABC三条中线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三边的中垂线的交点6.如图12-3-21，在△ABC中，∠A=70°，点O到AB，BC，AC的距离相等，连接BO，CO，则∠BOC=______．125°B【例】如图，BE=CF，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠BAC的平分线．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°.∴△BDE与△CDF是直角三角形.在Rt△BDE和Rt△CDF中，BE=CF,BD=CD,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴DE=DF.∴AD是∠BAC的平分线．如图，△ABC中∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，求证：点P在∠CAB的角平分线上．证明：如图，作PF⊥AB于点F，PG⊥BC于点G，PH⊥AC于点H.∵∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，∴PF=PG，PH=PG.∴PF=PH.又∵PF⊥AB，PH⊥AC，∴点P在∠CAB的角平分线上．分层练习·A组1.如图，直线a，b，c表示交叉的公路，现要建一货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的站址有()A．一处B．两处C．三处D．四处D2.到三角形三条边的距离相等的点是()A.三条中线的交点B.三条高线的交点C.三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点3.如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则点P是＿＿＿＿的平分线与＿＿＿＿的平分线的交点.Ｄ∠ABC∠BCD4.如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝＿＿＿.100°分层练习·B组5.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE＝CF.求证：AD是△ABC的角平分线.解：∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°.∵D是BC的中点，∴BD=CD.在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CD,BE=CF,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴DE=DF.∴AD是△ABC的角平分线.6.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB=6，AC=4，若=9，求．解：∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AD平分∠BAC，∴DE=DF.∵=9，AB=6，∴DE=3.∴DF=3.∵AC=4，∴=AC·DF=6.7．如图，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，F,G分别是OA,OB上的点，且PF=PG，DF=EG．求证：OC是∠AOB的平分线．证明：在Rt△PFD和Rt△PGE中，PF=PG,DF=EG,∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL）.∴PD=PE.∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴OC是∠AOB的平分线．8.如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证：(1)CO平分∠ACD；(2)OA⊥OC；(3)AB＋CD＝AC.证明：(1)如答图12-3-6，过点O作OE⊥AC于点E.∵∠B＝90°，AO平分∠BAC，∴OB＝OE.∵点O为BD的中点，∴OB＝OD.∴OE＝OD.又∵∠D＝90°，∠OEC＝90°，∴CO平分∠ACD.(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中，∵AO＝AO，OE＝OB，∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL).∴∠AOB＝∠AOE.同理∠COD＝∠CO