高一上学期第一次月考十五大题型归纳（拔尖篇）（解析版）

高一上学期第一次月考十五大题型归纳（拔尖篇）【人教A版（2019）】题型1集合中元素特性的求参问题题型1集合中元素特性的求参问题1．（2023·江苏·高一专题练习）由a2，2-a，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（

）A．-1 B．1 C．3 D．【解题思路】由题意判断集合的元素个数，根据集合元素的互异性，可求得a的不可能取值，即得答案.【解答过程】由题意由a2，2-a，3组成的一个集合A，A中元素个数不是因为a2=2-a=3无解，故由a2，2-a，故a2≠2-a≠3，即a≠-2,即A，B，C错误，D正确，故选：D.2．（2023·全国·高一专题练习）已知a∈R，b∈R，若集合a,baA．-2 B．-1 C．1 D．2【解题思路】结合已知条件，利用集合的互异性即可求解.【解答过程】∵集合a,ba∴b=0，a2=1，且a∴a2019故选：B.3．（2023秋·高一课时练习）若M=x+1,【解题思路】由集合的特性列出不等式组，求解得出x的取值范围．【解答过程】∵M∴x+1≠x综上，x≠3且x≠-3即x的取值范围为-∞4．（2023秋·高一课时练习）设集合A中含有三个元素3,（1）求实数x应满足的条件；（2）若-2∈A，求实数【解题思路】（1）由集合元素的互异性直接求解.（2）若-2∈A，则x=-2或【解答过程】解：（1）由集合元素的互异性可得：x≠3,x2解得x≠-1,x≠0（2）若-2∈A，则x由于x2所以x=-2题型题型2根据元素与集合的关系求参数1．（2023·全国·高一专题练习）已知集合A=0,m,m2-3A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3【解题思路】根据2∈A得m=2或m2-【解答过程】因为A=0,m所以m=2或m①若m=2，此时m②若m2-3m+2=2当m=0时不满足互异性，当m=3时，A综上所述，m=3故选：B.2．（2023·江苏·高一专题练习）已知集合A=a+1,a2+4aA．-5 B．1 C．5或-1 D．-【解题思路】根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出a的值.【解答过程】∵A=a+1,a2⑴、当-4=a2+4①、当a=-5时，a+1=②、当a=1时，a+1=2，a⑵、当a+1=-4即综上所述：实数a的值为1.故选：B.3．（2023·全国·高一假期作业）已知集合A中有三个元素：a-3，2a-1，a2+1，集合B(1)若-3∈A，求实数a(2)若x2∈B，求实数【解题思路】（1）若-3∈A，则a-3=-3或（2）当x取0，1，-1时，都有x2∈【解答过程】（1）集合A中有三个元素：a-3，2a-1∴a-3=-3解得a=0或a当a=0时，A={-3，-1当a=-1时，A={-4，-3∴a的值为0或-（2）集合B中也有三个元素：0，1，x，x2当x取0，1，-1时，都有x∵集合中的元素都有互异性，∴x≠0，∴x∴实数x的值为-14．（2023·江苏·高一专题练习）已知集合S满足:若a∈S，则11-(1)若2∈S，则S中必有另外两个元素，求出这两个元素(2)证明:若a∈S，则(3)在集合S中，元素能否只有一个?若能，把它求出来;若不能，请说明理由.【解题思路】（1）由2∈S得到-1∈S（2）11-a∈（3）令a=1【解答过程】（1）因为2∈S，所以1所以11--1=所以集合S中另外的两个元素为-1和1（2）由题意，可知a≠1且a由11-a∈即11-所以若a∈S，则（3）集合S中的元素不可能只有一个.理由如下:令a=即a2因为Δ=1-4<0，所以此方程无实数解，所以a因此集合S中不可能只有一个元素.题型题型3利用集合间的关系求参数1．（2023秋·辽宁沈阳·高三校考开学考试）若集合A=x2a+1≤x≤3a-A．a2≤a≤7 B．a6≤a≤7【解题思路】考虑A=∅和A≠∅两种情况,得到不等式组,【解答过程】当A=∅时,即2a+1>3a当A≠∅时,满足2a+1≤3a综上所述:a≤7故选:C.2．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A=x∈RxA．若A=B，则a=-3 B．若C．若B=∅，则a≤-6或a≥6 D．若B⊊【解题思路】求出集合A，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．【解答过程】A=x∈R-3<x<6，若a=-3时，A=B若A⊆B，则-32+a⋅当B=∅时，a2-4a2-故选：D．3．（2023·江苏·高一专题练习）已知集合A={(1)若B⊆A，求实数(2)若A⊆B，求实数m【解题思路】（1）根据题意，分B=∅和B（2）根据题意，结合A⊆B【解答过程】（1）解：①当B=∅时，即m+1>2m-1②当B≠∅时，要使得B则满足m+1≥-22m综上可得，实数m的取值范围是{m（2）解：由题意，要使得A⊆B，则满足所以实数m不存在，即不存在实数m使得A⊆4．（2023·江苏·高一专题练习）设集合A=xx2-(1)若A⊆B，求实数(2)若A⊆C，且C=【解题思路】（1）先化简集合A，再利用集合交集的定义求解即可；（2）利用集合交集的定义结合集合元素的互异性求解即可.【解答过程】（1）由x2-1=0解得x因为A⊆B，所以1,-1是集合所以将x=±1代入x2-ax+b=0（2）因为A⊆C，由（1）得1,-1是集合当2m+1=1即m=0当m2=1时，①m=1②m=-1综上m=0或1题型题型4交、并、补集的混合运算1．（2023·全国·高一专题练习）已知集合A=x-1<xA．A∩B=∅C．A∪∁RB=【解题思路】由绝对值的几何意义化简集合B，再利用交､并､补集的运算性质逐一分析四个选项得答案.【解答过程】∵A={x∴A∩B={xA∪B={∵∁RB∴A∪∁RB={xA∩∁RB={x故选：D.2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）设全集U=R，集合M=xx>-1，A．∁UM∩C．M∩∁U【解题思路】根据集合的交并补运算即可结合选项逐一求解.【解答过程】由题意可得M∩N=∁UM=对于A,∁UM∩N=x对于B，∁UM∪N=对于C，M∩∁U对于D，N∪∁U故选：B.3．（2023秋·全国·高一专题练习）已知集合A=x-1≤x(1)若全集U=R，求A∪(2)若全集U=Z，求【解题思路】（1）根据题意，由集合的运算即可得到结果；（2）根据题意，由集合的交集，补集运算即可得到结果.【解答过程】（1）由题意可得，A∪B=且∁UA=xx<-1或（2）根据题意，且U=Z，则可得则A∩4．（2023·全国·高一专题练习）设集合U={(1)A∩(2)∁U(3)∁【解题思路】由集合的交并补混合运算直接得出答案.【解答过程】（1）由集合交集的定义，A∩（2）由集合并集和补集的定义，A∪∁U(A（3）由集合补集和交集的定义，∁UA={∁UB={∁UA∩题型题型5集合混合运算中的求参问题1．（2023·全国·高一专题练习）设集合A=x|x<2或x≥4，B=A．a<2 B．a>2 C．a≤4【解题思路】先求得∁RA=x|2≤x【解答过程】由集合A=x|x<2又集合B=xx<a故选：B.2．（2023·全国·高一专题练习）设集合U={x,y|x∈R,y∈A．-6 B．1 C．4 D．【解题思路】根据P2,3∈A∩【解答过程】A={x,由于P2,3所以2×2-3+m≥02+3-所以m+n≥4，即m故选：C.3．（2023秋·江苏南京·高一校考开学考试）已知集合A=xx<-3或(1)若∁RA∪(2)若∁RA∩B=【解题思路】（1）根据并集结果可得B⊆∁RA，分别讨论（2）由交集结果可知B≠∅，分别讨论2m-1≤7、2m-【解答过程】（1）由题意知：∁R∵∁RA①当B=∅，即m+1>2m-1②当B≠∅时，若B⊆∁RA综上所述：m的取值范围为mm（2）∵∁RA∩B=xa≤x≤b，①当2m-1≤7，即m∴2m-1-②当2m-1>7m+1≤7∴7-m+1≥1③当m+1>7，即m>6时，综上所述：m的取值范围为m3≤4．（2023·江苏·高一专题练习）已知A=xx(1)若a=1，求A(2)从①A∪∁RB=R；②问题：若，求实数a的所有取值构成的集合C.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【解题思路】（1）当a=1时，求出集合B、A，利用补集和交集的定义可求得集合A（2）选①，分a=0、a≠0两种情况讨论，在a=0时，直接验证即可；在a≠0时，求得B=1a选②，分析可知B⊆A，分a=0、a≠0两种情况讨论，在a=0时，直接验证即可；在a≠0时，求得B=选③，分a=0、a≠0两种情况讨论，在a=0时，直接验证即可；在a≠0时，求得B=1a【解答过程】（1）解：当a=1时，B又因为A=xx（2）解：若选①，当a=0时，B=∅，则∁R当a≠0时，B=1a，若A∪∁RB=综上所述，C=若选②，∵A∩B当a=0时，B=∅，满足当a≠0时，B=1a，因为B⊆A，则1a综上所述，C=若选③，当a=0时，B=∅，满足当a≠0时，则B=1a，因为B∩∁RA=∅综上所述，C=题型题型6由充分条件、必要条件求参数1．（2023·江苏·高一专题练习）若“-1<x-m<1”成立的充分不必要条件是“13<x<12”，则实数m的取值范围是（A．m|-43C．m|m<【解题思路】先化简不等式为m-1<x<m+1，再由题意知13,12【解答过程】不等式-1<x-m<1等价于：m-1<x<m+1，由题意得“13<x<12”是“-1<x-m所以13,1所以m-1≤1故选：B.2．（2023秋·江苏南通·高三统考开学考试）设p:x-a≤3，q:2x2+A．-52,2 B．-52,2【解题思路】根据充分必要条件和集合的包含关系求解即可.【解答过程】由x-a≤3所以p:又由2x2+所以q:-1≤因为p是q的必要不充分条件，所以集合x|-1≤x≤所以a-3≤-1a经检验，a=-52a=2时，p所以实数a的取值范围是-5故选:A.3．（2023秋·山东菏泽·高一校考期末）已知全集U=R，集合A=(1)当a=2时，求∁(2)若x∈A是x∈B【解题思路】（1）当a=2时，求出集合A、B，利用补集和交集的定义可求得集合∁（2）分析可知，BA，利用集合的包含关系可得出关于实数a的不等式组，由此可解得实数a的取值范围.【解答过程】（1）因为A=xx-5因为全集U=R，则∁UA=xx因此，∁UA∩（2）易知集合B=因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，则BA，所以，因此，实数a的取值范围是a3≤4．（2023·全国·高一专题练习）已知条件p:集合M={x|-2≤x(1)若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．(2)若x∉M是x∉(3)否存在实数m，使x∈M是【解题思路】（1）根据必要条件的定义可得S⊆M，进而可得（2）根据补集的定义及必要条件的定义可得1-m（3）根据充要条件的概念可得1-m=-2【解答过程】（1）因为p是q的必要条件，所以S⊆M，又M={所以1-m解得0≤m即实数m的取值范围是[0,3]；（2）若x∉M是x∉S的必要条件，则所以∁R又∁RS=xx<1-m所以1-m解得m≥9故实数m的取值范围9,+∞（3）若x∈M是x∈所以1-m方程组无解，故不存在实数m，使x∈M是题型题型7根据命题的真假求参数1．（2023·全国·高一专题练习）命题p:∃x0∈R，使得kx02-A．0,1 B．0,1C．-∞,0∪【解题思路】根据p是假命题，得出¬p为真命题，利用恒成立知识求解【解答过程】因为p是假命题，所以¬p为真命题，即∀x∈R当k=0当k≠0时，则有k>0，且36k故选：A.2．（2023春·四川德阳·高二校考阶段练习）已知命题p：∀x∈R，x2-x+a>0，则“aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】由∀x∈R，x2-x+a>0求出a【解答过程】由∀x∈R，x2-所以“¬p是真命题”对应的a的范围是a所以“a∈-∞,0”是“故选：A.3．（2023秋·山西晋中·高三校考开学考试）已知命题p：对于任意x∈1,2，都有x2-a≥0：命题q：存在x∈R，使得【解题思路】先根据命题p为真和命题q为真，求得a的范围，再求得命题p和命题q同时为真的a的范围，再求补集即可.【解答过程】解：由题意知：命题p：对于任意x∈1,2，都有若命题p为真，则对于任意x∈1,2，都有a≤命题q：存在x∈R，使得若命题q为真，则方程x2则有Δ=4a2-42-a≥0，即若p与q都是真命题，则a≤-2或a所以若p与q中至少有一个是假命题，实数a的取值范围是a>-2且a4．（2023·全国·高一专题练习）已知命题p:∀x∈(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题p真q假，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）由命题p为真命题转化为不等式x2-（2）解出“命题q假”所对应的实数m的取值范围并与（1）中m的取值范围作交集.【解答过程】（1）因为命题p:∀x所以x2-2mx-即m2+3m所以实数m的取值范围为-3,0（2）由（1）知命题p为真命题时，m的取值范围为-3,0当命题q:∃x∈R,则判别式Δ=4m2-4×1>0即则命题q为假命题时，-12≤故命题p真q假时，m满足-3,0所以实数m的取值范围为-1题型题型8利用作差法、作商法比较大小1．（2023·全国·高一专题练习）设p=a2+aA．p>q B．p<q C．【解题思路】首先配方判断p、q均大于零，然后作商即可比较大小.【解答过程】p=q=则q=a故p≤q，当且仅当故选：D.2．（2023春·湖北武汉·高二统考期末）购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱一定.假设连续两天购买该物品，第一天物品的价格为p1，第二天物品的价格为p2，且p1A．第一种方式购买物品的单价为pB．第二种方式购买物品的单价为pC．第一种方式购买物品所用单价更低D．第二种方式购买物品所用单价更低【解题思路】根据题意可得第一种策略平均价格为p1+p2【解答过程】第一种策略：设每次购买这种物品的数量均为m，则平均价格为mp1+第二种策略：设每次购买这种物品所花的钱为n，第一次能购得该物品的数量为np1，第二次能购得该物品的数量为则平均价格为2nnp因为p1所以p1+p22>故选：D.3．（2023·全国·高一专题练习）试比较下列组式子的大小：(1)x+1-x与x(2)M=a1+a+b1+(3)a2-b2a【解题思路】(1)通过比较1x+1+x与1x(2)通过作差法来比较M,(3)通过作差法或作商法比较a2-b2【解答过程】（1）解：x+1-x因为x+1所以1x即x+1（2）解：M=a因为a>0，b>0，所以1+a所以M-即M≤（3）方法一（作差法）a=a因为a>b>0，所以a+b>0，所以2ab所以a2方法二（作商法）因为a>b>0，所以a2-所以a2所以a24．（2023·全国·高一专题练习）下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；(2)把原来的糖水（淡）与加糖后的糖水（浓）混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡；(3)如果向一杯糖水里加水，糖水变淡了.【解题思路】由题意建立不等式，利用作差法比较大小即可得证.【解答过程】（1）设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为ab，加入m克糖，即证明不等式a+mb+m>ab(其中a，不妨用作差比较法，证明如下：a+mb+m∵a，b，m为正实数，且a<b，∴mb-a（2）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为ab；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为cd，且ab<cd证明：∵ab<cd，且b＞a＞0，d∴ad<bcab即abcd即a（3）设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为ab，加入m克水，求证：ab>ab+m(其中b＞证明：ab∴a题型题型9利用不等式的性质求取值范围1．（2023·全国·高一专题练习）已知0≤a-b≤1,2≤aA．1≤4a-2C．1≤4a-2【解题思路】用含a-b,a【解答过程】设4a所以m+n=4所以4a又a-所以3a-b∈0,3,4a故选：B.2．（2023·全国·高一专题练习）已知a-b∈0,1,A．1,5 B．2,7 C．1,6 D．0,9【解题思路】利用方程组以及不等式的性质计算求解.【解答过程】设4a所以m+n=4所以4a又a-所以3a-b∈0,3,4a-故选：B.3．（2023·全国·高一专题练习）实数a、b满足-3≤a+(1)求实数a、b的取值范围；(2)求3a【解题思路】由不等式的性质求解．【解答过程】（1）由-3≤a+则a=12a+b+即实数a的取值范围为-2,3．因为b=由-1≤所以-4≤b-所以-7∴-7即实数b的取值范围为-7（2）设3a则m+n=3∴3a∵-3≤a+∴-32≤∴-4≤即3a-2b4．（2023·全国·高一专题练习）已知2<a<3，-2<b<-1，分别求a+b【解题思路】根据不等式的基本性质和反比例函数特点即可求解.【解答过程】因为2<a<3，所以2+-即a+b的取值范围是由4<2a<6，得5<2a所以2a-b由2<a<3，得2<-ab所以ab的取值范围是-6,-2易知12而2<则1<-a所以ab的取值范围是-题型题型10利用不等式的性质证明不等式1．（2023秋·高一课时练习）（1）已知a>b,（2）若bc-ad≥0,bd【解题思路】由不等式的性质证明即可.【解答过程】（1）∵a>b,c而e>f，即f<（2）∵bc∴bc-ad∴ab+1≤2．（2023·全国·高一专题练习）阅读材料：（1）若x>y>0，且（2）若a<b,请依据以上材料解答问题：已知a，b，c是三角形的三边，求证：ab【解题思路】利用三角形两边的和大于第三边，结合给定材料推理作答.【解答过程】因为a，b，c是三角形的三边，则b+c>a>0同理ba+c<2ab所以原不等式成立.3．（2023·全国·高一专题练习）证明下列不等式：(1)已知a>b(2)已知a>b>0,【解题思路】（1）（2）利用不等式的基本性质即可证明．【解答过程】（1）证明：∵a>b∴ac>bc又因为e>f，即所以f-（2）证明：∵c<d<0，又a>b>0，∴-∴34．（2023·全国·高一专题练习）证明不等式．(1)bc-ad≥0，bd＞0(2)已知a＞b＞c＞0，求证：ba【解题思路】（1）作差后，根据条件结合不等式的性质证明；（2）先用作差法证明ba-b>【解答过程】（1）证明：a+因为，bc-ad≥0又bd＞0，所以，ad-即a+（2）证明：因为a＞b＞c＞0，所以有，-b<-c，0<则，ba即有，ba因为，a-c>0又b>c，所以，b所以，有ba题型题型11利用基本不等式证明不等式1．（2023·全国·高一专题练习）已知a>0，b>0，c>0，且a【解题思路】将证明式子中的1用a+b+【解答过程】因为a，b，c都为正实数，且a+所以(=(=4+(ba+当且仅当a=所以a+2．（2023·贵州黔西·校考一模）设a，b，c均为正数，且a+(1)a2(2)a3【解题思路】（1）由a+b+c=1，则a+b（2）由已知得若证a3c+b3a+c3b【解答过程】（1）由a+b+又由基本不等式可知当a，b，c均为正数时，2ab≤a2+当且仅当a=所以a2即3a所以a2+b（2）因为a，b，c均为正数，所以若证a3即证a2又a2b+b≥2a，则a2即a2b+b3．（2023·全国·高一专题练习）证明下列不等式，并讨论等号成立的条件．(1)若0≤x≤1，则(2)若ab≠0，则b【解题思路】（1）利用基本不等式即可证明；（2）讨论ab>0和ab<0【解答过程】（1）证明：因为0≤x≤1，所以0≤x所以x1-当且仅当x=1-x，即（2）证明：因为ab≠0，当ab>0时，当且仅当a=当ab<0时，b当且仅当a=-综上，若ab≠0，则ba+4．（2023·全国·高一专题练习）已知a>0，b>0，且(1)求a2(2)证明：a+1【解题思路】（1）由基本不等式即可求出a2（2）化简已知得2a+1+b【解答过程】（1）（2）因为a+b=2，所以a因为a>0，b>0，所以ab≤则a2+b2≥4-2=2（2）证明：因为2×a+12×b+1所以2×a+1则2a+1+b+1题型题型12基本不等式的恒成立、有解问题1．（2023·全国·高一专题练习）若对x>0，y>0，有(xA．m≤4 B．C．m<0 D．【解题思路】首先由基本不等式求出(x+2y)⋅(2【解答过程】因为x>0，y所以(x当且仅当2y所以m≤8故选：D．2．（2023·全国·高一专题练习）若两个正实数x，y满足4x+y=xy且存在这样的x，y使不等式xA．(-1,4) B．(-4,1) C．(-∞,-4)∪(1,+∞【解题思路】依题意可得4y+1x=1，再利用乘“1”法及基本不等式求出【解答过程】解：因为x>0，y>0且4x所以x+当且仅当4xy=所以m2+3m>4，即(m所以m的取值范围是(-∞故选：C.3．（2023·全国·高一专题练习）已知正实数x，y，满足x+2(1)求xy的最小值；(2)若关于x的方程x(y+【解题思路】(1)利用基本不等式将x＋2y转化为xy形式，解不等式即可；(2)结合已知条件对x(【解答过程】（1）∵x，y为正实数，x+2∴x解得：xy≥8当且仅当x=2y，即x＝4，y＝则xy的最小值为8．（2）由x+2y-xy=0∴x=2(2xy+当且仅当x=2y，即x∴m2-m≥6，解得：4．（2023秋·全国·高一专题练习）已知x、y、z都是正数．(1)求证：x-(2)若xy2+【解题思路】（1）将所证不等式等价转化为证明x2（2）化简得出m2-2m【解答过程】（1）证明：要证x-左右两边同乘以xyz可知即证x2即证x2因为x、y、z都是正数，由基本不等式可知x2+y2≥2当且仅当x=将上述三个不等式两边分别相加并除以2，得x2所以，原不等式得证．（2）解：xy因为x2-xy所以，m2-2m-故实数m的取值范围为-1≤题型题型13由一元二次不等式的解确定参数1．（2023秋·河北承德·高三校考开学考试）关于x的不等式mx2+2mx+1<0A．0,1 B．0,1 C．0,1 D．0,1【解题思路】对m进行分类讨论，结合判别式求得m的取值范围.【解答过程】当m=0时，不等式化为1<0，解集为空集，符合题意当m<0时，不等式mx当m>0时，要使不等式m则需m>0Δ=4综上所述，m的取值范围是0,1.故选：C.2．（2023秋·河北石家庄·高三校考开学考试）若关于x的不等式x2-(m+3)x+3A．5<m≤6 B．5≤m≤6 C．【解题思路】由题设可得x-3x-m<0【解答过程】不等式x2-m当m>3时，不等式解集为3,m，此时要使解集中恰有3个正整数，这3个正整数只能是4，5，6，故当m=3时，不等式解集为∅当m<3时，不等式解集为m,3，显然解集中不可能有故实数m的取值范围为6,7．故选：C.3．（2023秋·全国·高一专题练习）已知不等式2≤ax(1)若a>0，且不等式ax2+b(2)解关于x的不等式：ax【解题思路】（1）根据已知可得方程ax2+bx+c=3的2个根为2，3（2）分-4≤a<0、a=0,b>0、a=0,b【解答过程】（1）∵a>0，原不等式等价于且ax2+bx+c≤3的解集为2,3，故方程a故由韦达定理2+3=-b∴a可得1a≥-x解得0<aax故ax-∴-1≤x≤6+3a,∵所以a的取值范围为1<a（2）1､当a>0时，由（1）得a>0时ax即：ax-①当0<a<1②当a=15③当15<a2､当a<0时，原不等式等价于ax2+bx由韦达定理：2+3=-b解得-4≤ax该不等式解集为{x∣x3､当a=0,2b+c=24､当a=0,2b+c综上：当-4≤a<0时，不等式解集为{当a=0,b>0当a=0,b<0当0<a<1当a=15当15<a4．（2023·全国·高一专题练习）已知函数fx=x2+(1)若关于x的不等式fx>0的解集为xx<-4或x>2(2)若关于x的不等式fx≤b在x(3)若关于x的不等式fx<12+b的解集中恰有3【解题思路】（1）根据二次函数与一元二次方程、不等式的关系，即可求出a，b的值；（2）将不等式有解（能成立）问题转化为二次函数最值问题解决即可；（3）构造函数hx=fx-12-【解答过程】（1）∵关于x的不等式fx=x2+∴方程x2+3-ax∴x1∴解得a=1，b（2）令gx若关于x的不等式fx≤b在x∈1,3∴只需使gx在区间1,3上的最小值ggx=x∴gx在区间-∞,①当a-32≤1，即a≤5∴gxmin=此时，a∈②当a-32≥3，即a≥9时，∴gxmin=此时，a∈③当1<a-32<3，即5<a<9时，∴gxmin=ga此时，a∈∅综上所述，实数a的取值范围是-∞（3）令h若关于x的不等式fx<12+b则hx<0的解集中恰有hx①当a-5=2，即a=7时，h②当a-5>2，即a>7时，h若解集中恰有3个整数，则这3个整数为3，4，5，∴5<a-5≤6∴此时a∈③当a-5<2，即a<7时，h若解集中恰有3个整数，则这3个整数为-1，0，1∴-2≤a-∴此时a∈综上所述，实数a的取值范围是3,4∪题型题型14一元二次不等式恒成立问题1．（2023·全国·高一专题练习）若不等式mx2+mx-4<2xA．(-2,2) B．(-10,2]C．(-∞,-2)∪[2,+∞【解题思路】由题意可得不等式(m-2)x2+(m-【解答过程】解：因为不等式mx2+即不等式(m-2)当m-2=0，即m=2当m-2≠0，即则有m-解得-10<综上所述，实数m的取值范围为(-10,2].故选：B.2．（2023·全国·高一专题练习）若不等式a(1+x)≤x2+3对于A．[0,3] B．[0,2] C．(-∞,2] D【解题思路】原不等式可化为a≤x2+3x+1，设fx【解答过程】原不等式可化为a≤设fx则fx=x当且仅当x+1=4x+1，且x≥0，即因为a≤fx故选：C.3．（2023秋·高一课时练习）已知y=(1)如果对一切x∈R，y>0(2)是否存在实数a，使得对任意x∈x-3≤x≤1【解题思路】（1）由二次函数对应方程的Δ<0（2）根据二次函数图象分析可构造不等式组，由不等式组无解可确定不存在满足条件的