数学方法论期末考核

《数学方法论》期末考核作业题目：构造相关例题对自选的3种数学方法的应用予以说明。对几种数学方法的简单探究在数学的学习和研究中，我们往往有一些特殊的、通用的研究手段和解题方法，我们称之为数学思想方法。数学思想方法是一种重要的数学观念，是解题思维的导航器。我参加工作已经两年半了，在日常教学中，也经常会给学生渗透数学这门学科独特的思想方法。接下来，就最常用的几种数学思想方法进行简单探究。一、数形结合思想数学是研究客观世界的空间形式和数量关系的科学，数是形的抽象概括，形是数的直观表现。数形结合思想就是充分利用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。数形结合在解决中学数学问题中占有极其重要的地位，在历年的高考中也十分注重对数形结合思想的考查。数形结合主要表达在两个方面：一是以形助数，即借助形的直观性来说明数之间的联系。常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助解析几何。二是以数助形，即借助数的精确性来说明形的某些属性。常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。由“形”到“数”的转化，往往比拟明显，而由“数”到“形”的转化需要转化的意识，因此，数形结合的思想往往偏重于由“数”到“形”的转化。例题1.解不等式｜x-1｜+｜x-3｜≧3.解：这是一个含绝对值的不等式，求解的时候需要去掉绝对值符号，但是，去掉绝对值符号时往往需要复杂的讨论，略显繁琐。我们可以将此题理解为“求数轴上到1和3两点距离之和大于或等于3的点的集合”。这样，就可以将不等式用数轴形象直观的表示出来，便于理解和计算。易得此不等式的解集为例2：1x-y2且2x+y4,求4x-2y的范围。解此题可直接利用代数方法用换元法去求解,这里用数形结合法来解决。在平面坐标系中作出直线x+y=2，x+y=4,x-y=1,x-y=2,那么1x-y2和2x+y4表示平面上的阴影局部(包括边界),如图9所示，令4x-2y=m,那么y=2x-，显然m为直线系4x-2y=m在y轴上截距2倍的相反数,易看出,直线4x-2y=m过阴影最左边的点A〔)时,m取最小值5；过阴影最右边的点C(3,1)时,m取最大值10。即4x-2y的范围是[5，10]。图9该题是用线性规划的思想,数形结合解决了具有约束条件的函数的最值问题。线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就表达了数形结合思想的应用。二、化归与转化思想

数学中的转化比比皆是，如未知向量转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向量平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的表达。可以说每个方程、不等式的解决都渗透了转化思想，将方程和不等式中的未知数向数转化就是一个典型的转化，当然在解题的过程中转化思想也随处表达，例如：将分式方程转化为整式方程；将无理方程转化为有理方程；将分式不等式转化为整式不等式等等.例3解分式方程：．解:方程两边同乘以，得解这个方程，得．检验：将代入原方程，得左边右边所以，是原方程的根．说明：在解分式方程或分式不等式时都要转化为整式方程或整式不等式，在转化的过程中注意原式分母的取值情况.例求证等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于腰上的高.：在中，,是上任一点，交于，交于，交于.求证：.分析：由题意如下图，问题可转化为，变得非常简单.证明：连结，那么即∵∴.说明：利用面积法解决图形中的线段关系，从条件出发，使未知条件与条件联系在一起，找到解题的思路，从而解决未知问题.三、分类讨论思想

在解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法，统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分假设干个子区域，然后分别在假设干个子区域内进行解题，这里集中表达的是由大化小，由整体化为局部，由一般划为特殊的解决问题的方法，像这样的“合—分—合”的解决问题的过程，就是分类讨论的思想方法。

分类讨论是一个难点，主要考察学生的逻辑思维能力，其表达在许多知识点里，如：求解函数，求解数列，解不等式，解方程，排列组合等。例5在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC上的高，并且，那么∠BCA的度数为_____________。

解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。例6、〔2009年贵阳〕直角三角形两条边长为3和4，那么第三边长为_____________.简解：分类讨论：当4为直角边时，那么另外一直角边为3。那么第三边长为5。当4为斜边时，那么另一直角边为3，那么第三边长为根号7数学思想方法很多，本文中提到的数形结合思想、划