【压轴专练】专题02 数轴上的三种动点问题（解析版）-2021-2022学年七上压轴题攻略

专题02数轴上的三种动点问题数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过程复杂，情况多变。那么，本专题对其中常考的三种题型（求时间、求距离或者对应点、定值问题）做出详细分析与梳理。【知识点梳理】1.数轴上两点间的距离数轴上A、B两点表示的数为分别为a、b，则A与B间的距离AB=|a－b|；2.数轴上点移动规律数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）；当数a表示的点向右移动b个单位长度后到达点表示的数为a+b；向左移动b个单位长度后到达点表示的数为a－b.类型一、求时间例1．如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+2|+|b﹣8|＝0（1）点A表示的数为；点B表示的数为；（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），①当t＝1时，甲小球到原点的距离＝；乙小球到原点的距离＝；当t＝5时，甲小球到原点的距离＝；乙小球到原点的距离＝；②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．【答案】（1）-2，8；（2）①3，6；7，2；②可能，2秒或10秒【分析】（1）根据绝对值的非负性求解即可；（2）①首先求出甲、乙两球运动的路程，再根据它的初始位置求解即可；②分两种情况：乙球碰到挡板前和乙球碰到挡板后，分别建立方程求解即可．【详解】（1）∵|a+2|+|b﹣8|＝0，，，∴点A表示的数为-2；点B表示的数为8；（2）∵一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，∴当t＝1时，甲小球运动的路程为个单位，乙小球运动的路程为个单位，∴当t＝1时，甲小球到原点的距离为；乙小球到原点的距离为；同理，当t＝5时，甲小球运动的路程为个单位，乙小球运动的路程为个单位，此时乙小球会碰到挡板而向相反的方向运动，∴当t＝5时，甲小球到原点的距离为；乙小球到原点的距离为；②∵点B表示的数为8，乙小球的速度为2个单位/秒，∴乙小球碰到挡板所用的时间为（秒），当运动时间小于等于4秒时，，解得；当运动时间大于4秒时，，解得，∴甲，乙两小球到原点的距离可能相等，甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间为2秒或10秒．【变式训练1】如图，有两条线段，（单位长度），（单位长度）在数轴上，点在数轴上表示的数是-12，点在数轴上表示的数是15．（1）点在数轴上表示的数是______，点在数轴上表示的数是______，线段的长=______；（2）若线段以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度秒的速度向左匀速运动．当点与重合时，点与点在数轴上表示的数是多少？（3）若线段以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为1个单位长度？【答案】-10，14，24；(2)-2；(3)t=或【分析】(1)根据AB、CD的长度结合点A、D在数轴上表示的数，即可求出点B、C在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式求出线段BC的长度；(2)设相遇时间为a,分别用a表示出相遇时B、C两点所表示的数,让其相等即可求出;(3)分线段AB与线段CD在相遇之前与相遇之后两种情况，利用两点间的距离公式结合BC=1，得出关于t的的一元一次方程，解之即可得出结论；【详解】（1）∵AB=2，点A在数轴上表示的数是-12，∴点B在数轴上表示的数是-12+2=-10；

∵CD=1，点D在数轴上表示的数是15，∴点C在数轴上表示的数是15-1=14．∴BC=14-（-10）=24．

故答案为：-10，14，24；

（2）设运动时间为a秒时B、C相遇，此时点B在数轴上表示的数为-10+a，点C在数轴上表示的数为14-2a∵B、C重合，∴-10+a=14-2a，解得a=8此时点与点在数轴上表示的数是-10+a=-10+8=-2；故答案为：-2(3)当运动时间为t秒时，点B在数轴上表示的数为-10+t，点C在数轴上表示的数为14-2t∴BC==∵BC=1，∴=1，∴t1=，t2=，综上所述：当BC=1时，t=或；【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，数轴等知识，解题的关键是：根据点与点之间的位置关系求出点B、C在数轴上表示的数．【变式训练2】如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左侧，|a|＝10，a＋b＝60，ab＜0．（1）求出a，b的值；（2）现有一只蚂蚁P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，同时另一只蚂蚁Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．①两只蚂蚁经过多长时间相遇？②设两只蚂蚁在数轴上的点C处相遇，求点C对应的数；③经过多长时间，两只蚂蚁在数轴上相距30个单位长度？【答案】（1）a＝﹣10，b＝70；（2）①两只蚂蚁经过40秒长时间相遇；②点C对应的数为150；③经过25秒或55秒长时间，两只蚂蚁在数轴上相距30个单位长度．【分析】（1）根据两个数乘积小于0说明两数异号即可求解；

（2）①根据相遇问题列一元一次方程即可求解；

②根据路程=速度×时间，列出算式计算即可求解；

③分两种情况讨论：相遇前相距和相遇后相距30个单位长度列一元一次方程即可求解．【详解】解：（1）∵|a|＝10，∴a＝10或﹣10，∵ab＜0，∴a，b异号，∵a＋b＝60，当a＝10时，b＝50，不合题意，舍去．当a＝﹣10时，b＝70，符合题意．答：a＝﹣10，b＝70．（2）①设Q从B出发t秒与P相遇．根据题意得4t﹣2t＝80，解得t＝40．故两只蚂蚁经过40秒长时间相遇；②设两只蚂蚁在数轴上的点C处相遇，则点C对应的数为70+40×2＝150；③根据题意，得相遇前：4t﹣2t＝80﹣30，解得t＝25；相遇后：4t﹣2t＝80+30，解得t＝55．故经过25秒或55秒长时间，两只蚂蚁在数轴上相距30个单位长度．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值的非负性，求出a，b的值；（2）找准等量关系，分情况讨论相遇前后的距离变化正确列出一元一次方程．【变式训练3】在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且|a+2|+（b﹣3）2＝0．（1）a＝，b＝；（2）在（1）的条件下，点A以每秒0.5个单位长度沿数轴向左移动，点B以每秒1个单位长度沿数轴向右移动，两点同时移动，当点A运动到﹣4所在的点处时，求A、B两点间距离；（3）在（2）的条件下，现A点静止不动，B点沿数轴向左运动时，经过多长时间A、B两点相距3个单位长度？【答案】（1）；（2）11；（3）经过或时，A、B两点相距3个单位长度【分析】（1）利用非负性即可求解；（2）设秒时，点运动到，求出所需时间，4秒后，点运动到，即求出两点间距离；（3）分两种情况进行讨论，即点需要运动到或处．【详解】解：（1）根据绝对值与平方的非负性得，，，故答案是：；（2）设秒时，点运动到，则，解得：，4秒后，点运动到，，即两点间的距离为；（3）分别位于，要使A、B两点相距3个单位长度，则点需要运动到或处，设经过秒，当，解得：，当，解得：，经过或秒，A、B两点相距3个单位长度．【点睛】本题考查了绝对值和完全平方公式的非负性、数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离问题，解题的关键是利用数形结合的思想进行解答．类型二、求距离或对应点例.如图所示，在数轴上点表示的数是4，点位于点的左侧，与点的距离是10个单位长度．（1）点表示的数是，并在数轴上将点表示出来．（2）动点从点出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒点与点的距离是2个单位长度？（3）在（2）的条件下，点出发的同时，点也从点出发，沿着数轴的负方向，以1个单位每秒的速度运动．经过多少秒，点到点的距离是点到点的距离的2倍？【答案】（1）-6，见解析；（2）经过4秒或6秒点P与点A的距离是2个单位长度；（3）经过秒或6秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍．【分析】（1）根据数轴上两点间的距离为10，计算后即可得到结论；

（2）根据题意可由点P在A点的左侧和右侧可列方程，求解后即可得到结论；

（3）根据题意列方程即可得到结论．【详解】解：（1）10-4=6，

∵点B位于点A的左侧，∴点B表示的数是-6，故答案为：-6．

在数轴上将点B表示如图所示：

（2）设经过t秒点P与点A的距离是2个单位长度，

∴当点P在A点左侧时，可得2t+2=10，则t=4，当点P在A点右侧时，可得2t-2=10，则t=6，

∴经过4秒或6秒点P与点A的距离是2个单位长度；

（3）设经过t秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍，

∴当点P在A点左侧时，可得2（10-2t）=10-t，则t=，当点P在A点右侧时，可得2（2t-10）=|10-t|，则t=6或t=（舍），

∴经过秒或6秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴等知识，根据数量关系得到一元一次方程是解题的关键．【变式训练1】（知识储备）（1）数轴上点A表示的数为a，若向右移动m个长度单位后表示的数是；若向左移动n个长度单位后表示的数是．（2）在数轴上A点表示数a，B点示数b，A在B的右边，A、B两点间的距离等于a-b．（解决问题）已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣3、1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．（1）若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为10？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；（3）现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以6个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？【答案】【知识储备】（1）a+m；a-n；【解决问题】（1）点P对应的数-1；（2）存在，x的值为4或-6；（3）点P所对应的数是-4或-28．【详解】解：知识储备（1）根据向右移为加，向左移为减，得：a+m；a-n；解决问题（1）如图：∵点P到点A、点B的距离相等，∴，∵（点P在点A右边），（点B在点P右边），∴，解得：，∴点P对应的数为.解决问题（2）如图：点P到点A的距离为PA，点P到点B的距离为PB，依题意：，∵点P在点A和点B之间时，∴点P不在点A和点B之间，当点P在点A左边时：，∵，∴，解得：，当点P在点B右边时：，∵，∴，解得：．综上，存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为10．或．解决问题（3）设经过t秒，点A与点B之间的距离为3个单位长度，此时点A运动到点,点B运动到，点P运动到,∴经过t秒，，此时的对应的数为，，此时的对应的数为，，此时对应的数为，∵t秒后点A与点B之间的距离为3个单位长度，∴,当在右边时：∴，∴，∴，∵，∴P所对应的数为．当点在点右边时：∴，∴，∴，∵，∴P所对应的数为，综上，点P对应的数为或．【点睛】本题考查的是列代数式，数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，弄清题意并列式是解本题的关键．【变式训练2】我们知道，在数轴上，|a|表示数a表示的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示1和4的两点的距离是，数轴上表示﹣1和﹣4的两点之间的距离是．（2）|a﹣1|＝2，则a＝，|a﹣1|+|a+3|＝6，则a＝．（3）当|a﹣1|+|a+3|取最小值时，此时符合条件的非负整数a是．（4）如图，已知A，B分别为数轴上的两点，点A表示的数是﹣30，点B表示的数是50；现有一只蚂蚁P从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁Q恰好从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，设t秒后两只蚂蚁相距10个单位长度，求此时点P表示的数是多少？【答案】（1）3，3；（2）3或－1，2或－4；（3）0和1；（4）8或－4．【分析】（1）利用两点之间的距离公式列式计算即可；（2）利用绝对值定义知，分别求解即可，由，分和两种情况进行讨论即可求出答案；（3）表示数轴到表示1和表示的点的距离之和，由两点之间线段最短可知：当时，有最小值，最小值为4，即可得符合条件的非负整数a的值；（4）分情况讨论：相遇前两只蚂蚁所走总路程等于，相遇后两只蚂蚁所走总路程等于，求出所用时间t，在进行求解即可．【详解】解：（1）数轴上表示1和4的两点的距离为，数轴上表示和的两点之间的距离为；（2）∵，∴，∴或，即a为3或；∵，∴当时，，，当时，，，∴a为2或；（3）当a在数轴上表示1和之间时，此时的最小值为4，此时，∴符合条件的非负整数a是0和1；（4）①相遇前两只蚂蚁相距10个单位长度时，得：，解得：，∴，∴点P表示的数是8；②相遇后两只蚂蚁相距10个单位长度时，得：，解得：；∴，∴点P表示的数是；综上所述：此时点P表示的数是8或；【点睛】此题考查了数轴，涉及绝对值、解方程的知识点，解题的关键是对绝对值意义的掌握．类型三、求定值例.已知若数轴上点、点表示的数分别为，则，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒．（1）填空：①两点间的距离______，线段的中点表示的数为_____；②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_______；点表示的数为______．（2）求当为何值时，两点相遇，并写出相遇点所表示的数．（3）若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长．【答案】（1）①10，3；②-2+3t，8-2t；（2）t=2，4；（3）5【解析】（1）①AB=8-（-2）=10，AB中点为=3，故答案为：10，3；②t秒后，点P表示的数为-2+3t，点Q表示的数为8-2t，故答案为：-2+3t，8-2t；（2）∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等∴-2+3t=8-2t，解得：t=2，∴当t=2时，P、Q相遇，此时，-2+3t=-2+3×2=4，∴相遇点表示的数为4；（3）∵点M表示的数为，点N表示的数为，∴MN==5．故答案为：（1）①10，3；②-2+3t，8-2t；（2）t=2，4；（3）5【变式训练1】如图，数轴上原点为O，A，B是数轴上的两点，点A对应的数是a，点B对应的数是b，且a，b满足，动点M，N同时从A，B出发，分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为x秒（x＞0）．（1）A、B两点间的距离是；动点M对应的数是（用含x的代数式表示）；动点N对应的数是；（用含x的代数式表示）（2）几秒后，线段OM与线段ON恰好满足3OM＝2ON？（3）若M，N开始运动的同时，R从﹣1出发以2个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，当R与M不重合时，求的值．【答案】（1），，；（2）秒或秒；（3）或【解析】（1）∵a，b满足，∴a﹣2＝0，b+4＝0，∴a＝2，b＝﹣4，∵点A对应的数是a，点B对应的数是b，AB＝2﹣（﹣4）＝6．当运动时间为x秒时，动点M对应的数是x+2，动点N对应的数是3x﹣4．故答案为：6；x+2；3x﹣4．（2）由（1）中M，N所对的数得OM＝x+2，ON＝3x﹣4，∵3OM＝2ON，∴，①3（2+x）＝2（3x﹣4），解得x＝；②3（2+x）＝﹣2（3x﹣4），解得x＝；综上，或秒后，线段OM与线段ON恰好满足3OM＝2ON；（3）由题意得动点R所对的数为﹣1+2x，，，∴MB﹣NB＝6+x﹣3x＝6﹣2x，∵2+x＝﹣4+3x，解得x＝3，∴M与N相遇时时间为3s，N与M相遇前，x＜3s时，＝＝2，N与M相遇后，x＞3s时，＝＝＝﹣2，综上所述的值为2或﹣2．故答案为：（1），，；（2）秒或秒；（3）或【变式训练2】已知：b是最小的正整数，且a、b满足，请回答问题：（1）请直接写出a、b、c的值：a=，b=，c=．（2）在（1）的条件下数a，b，c分别在数轴上对应的点A，C有两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时出发相向而行，甲的速度为2个单位/秒，乙的速度为4个单位/秒点，当两只电子蚂蚁在数轴上点M处相遇时，求点M表示的数．（3）在（1）的条件下，点a，b，c分别对应点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动．同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【答案】（1）﹣1；1；5；（2）1；（3）不变，2【分析】（1）先根据b是最小的正整数，求出b，再根据，即可求出a、c；（2）设经过秒，甲，乙在数轴上点M处相遇，根据题意表示出甲，乙分别走的路程，根据路程之和等于列出方程，解方程即可．（3）先求出BC=3t+4，AB=3t+2，从而得出BC﹣AB=2．【详解】解：（1）∵b是最小的正整数，∴b=1．∵（c﹣5）2+|a+b|=0，∴a=﹣1，c=5；故答案为﹣1；1；5；（2）设经过秒，甲，乙在数轴上点M处相遇，则，解得则甲蚂蚁经过1秒到达点，点表示的数为:（3）BC﹣AB的值不随着时间t的变化而改变，其值是2，理由如下：∵点A都以每秒1个单位的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，∴BC=3t+4，AB=3t+2，∴BC﹣AB=（3t+4）﹣（3t+2）=2．【点睛】本题考查了数轴与整式的加减，数形结合是解题的关键．课后训练1．数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是；（2）数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是－2，若AB＝2，那么x为；（3）当x是时，代数式；（4）若点A表示的数－1，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q同时从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，PQ＝1？（请写出必要的求解过程）【答案】（1）3，4；（2）0或-4；（3）-3或2；（4）4.5或5.5【分析】（1）直接利用题干两点的距离公式计算即可；（2）根据题意可列出关于x的绝对值方程，解出x即可．（3）分类讨论①当时；②当时；③当时，去绝对值，解出方程即可．（4）设运动x秒后，PQ＝1，分类讨论：①当点P未超过点Q时；②当点P超过点Q时，根据数轴列出方程，解出x即可．【详解】（1）根据题意可知数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是；故答案为：3，4．（2）由题意可知：∴解得：或；故答案为：0或-4．（3）∵，即可表示为点A（表示有理数x）到点B（表示有理数-2）的距离与点A到点C（表示有理数1）的距离的和是5，如图：故分类讨论：①当点A在点B左侧时，即，此时有，解得：，符合题意；②当点A在点B和点C中间时，即，此时有，方程无解；当点A在点C右侧时，即，此时有，解得：，符合题意；综上，或，故答案为：-3或2．（4）设运动x秒后，PQ＝1，分类讨论：①当点P未超过点Q时，根据数轴可列方程：解得：②当当点P超过点Q时，根据数轴可列方程：，解得：故运动4.5或5.5秒后，PQ＝1．【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，实数与数轴，数轴上两点之间的距离．利用分类讨论和数形结合的思想是解答本题的关键．2．已知数轴上A、B两点表示的数分别为a，b，且a，b满足|a+20|+(b-13)2=0，点C表示的数为16，点D表示的数为-7．（1）A，C两点之间的距离为__________；（2）已知|m－n|可理解为数轴上表示数m、n的两点之间的距离．若点P在数轴上表示的数为x，则满足|x+2|+|x-3|=5的所有的整数x的和为_______________；满