10.2二倍角的三角函数（八大题型）

10.2二倍角的三角函数课程标准学习目标（1）会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用．知识点01二倍角公式的逆用及变形1、公式的逆用；．．．2、公式的变形；降幂公式：升幂公式：【即学即练1】（2024·全国·高一专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故选：B知识点02升（降）幂缩（扩）角公式升幂公式：，降幂公式：，知识点诠释：利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．【即学即练2】（2024·全国·高一专题练习）证明：．【解析】.知识点03辅助角公式1、形如的三角函数式的变形：令，，则（其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．）2、辅助角公式在解题中的应用通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等．【即学即练3】（2024·上海·高一假期作业）把下列各式化为的形式：(1)；(2)；(3).【解析】（1）.（2）.（3）.题型一：二倍角公式的简单应用【例1】（2024·新疆巴音郭楞·高一新疆兵团第二师华山中学校考期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意结合二倍角公式可得，故B正确.故选：B【变式11】（2024·云南·高一统考期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可知，所以.故选：B【变式12】（2024·新疆乌鲁木齐·高一新疆实验校考期末）已知，，则（

）A． B． C．1 D．【答案】D【解析】，即，因为，所以，故，即，则.故选：D【变式13】（2024·四川雅安·高一校考期末）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，由，得，整理得，则有，所以.故选：C【方法技巧与总结】应用二倍角公式化简（求值）的策略：化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．题型二：给角求值【例2】（2024·全国·高一假期作业）．【答案】【解析】原式，故答案为：.【变式21】（2024·全国·高一专题练习）的值是.【答案】【解析】，所以的值是.故答案为：【变式22】（2024·四川南充·高一四川省南充高级中学校考期末）______.【答案】1【解析】故答案为：1【变式23】（2024·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）.【答案】【解析】.故答案为：.【变式24】（2024·河南郑州·高一郑州外国语中学校考期末）.【答案】【解析】由题意得．故答案为．【方法技巧与总结】对于给角求值问题，一般有两类(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．题型三：给值求角【例3】（2024·全国·高一专题练习）已知，均为锐角，，，则，.【答案】【解析】因为，所以，又因，均为锐角，所以，则，所以，所以，，又因，所以，则，所以.故答案为：；.【变式31】（2024·高一课时练习）设，均为钝角，且，，则的值为.【答案】【解析】∵，，且，，，∴.∵，∴；故答案为：.【变式32】（2024·福建泉州·高一福建省德化第一中学校考阶段练习）已知是方程的两个根，且，则的值是．【答案】【解析】因为是方程的两个根，所以，所以又因，所以，所以，则，所以.故答案为：.【变式33】（2024·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）若，且，，则.【答案】【解析】因为，所以，，所以，所以，所以，，所以，因为，，则，，，所以所以，所以.故答案为：.【变式34】（2024·高一课时练习）已知，，，则．【答案】/【解析】依题意，，，所以，所以，所以，由于，所以.故答案为：【方法技巧与总结】解决三角函数给值求角问题的方法步骤（1）给值求角问题的步骤．①求所求角的某个三角函数值．②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角．（2）选取函数的原则．①已知正切函数值，选正切函数．②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好．题型四：给值求值【例4】（2024·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第三中学校考期末）已知函数．(1)求的值；(2)设，求的值．【解析】（1）函数.（2）．．．．【变式41】（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知，，，．(1)求的值；(2)求的值．【解析】（1）∵，∴，又，，∴，∴.（2）∵，，∴，，，∴，∴.【变式42】（2024·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）已知，，(1)求的值；(2)若，，求的值；(3)若，求的值．【解析】（1），故，，所以；（2），，，故，故，又，，，；（3），，故，，，故，，，，.【变式43】（2024·山东泰安·高一新泰市第一中学校考阶段练习）已知，．(1)求的值．(2)求的值．【解析】（1）∵，∴，又∵，∴，∴∴，∴.∴.（2）由第（1）问，，，∴所以，.所以.【变式44】（2024·全国·高一专题练习）已知，．(1)求的值；(2)求的值．【解析】（1）因为，，则，所以.（2）由（1）可知：，，可得，，且，所以.【方法技巧与总结】(1)条件求值问题常有两种解题途径①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)一个重要结论：.题型五：利用倍角公式化简及证明【例5】（2024·高一课时练习）证明：.【解析】.【变式51】（2024·四川眉山·高一校考期末）化简求值：(1)；(2)化简证明：【解析】（1）因为，所以，所以.（2）证明：因为，所以【变式52】（2024·上海静安·高一校考期末）已知下列是两个等式：①；②；(1)请写出一个更具一般性的关于三角的等式，使上述两个等式是它的特例；(2)请证明你的结论；【解析】（1）由题意可得出具一般性的关于三角的等式为：；（2）证明：因为，，故，即.【变式53】（2024·高一课时练习）证明下列等式：(1)；(2).【解析】（1）（2）【方法技巧与总结】三角函数式化简、证明的常用技巧(1)特殊角的三角函数与特殊值的互化．(2)对于分式形式，应分别对分子、分母进行变形处理，有公因式的提取公因式后进行约分．(3)对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．(4)利用角与角之间的隐含关系，如互余、互补等．(5)利用“1”的恒等变形，如，等．题型六：辅助角公式的应用【例6】（2024·全国·高一专题练习）已知，则．【答案】/0.875【解析】由，得，即，令，则，，所以故答案为：.【变式61】（2024·全国·高一专题练习）函数在上的最大值是．【答案】【解析】；当时，，当，即时，，则取得最大值.故答案为：.【变式62】（2024·全国·高一专题练习）函数y＝sinx＋cosx－sinxcosx的值域为．【答案】[－，1]【解析】，令，则，，因为函数在上单调递增，上单调递减，所以当时取得最大值，，当时取得最小值，，所以函数的值域为.故答案为：.【变式63】（2024·广东珠海·高一统考期末）函数的最大值为.【答案】【解析】由，其中，当时，即，函数取得最大值.故答案为：.【变式64】（2024·高一课时练习）关于点对称，则a的值为.【答案】【解析】由题设()的对称中心为，则，即，所以.故答案为：【变式65】（2024·高一课时练习）若方程有解，则m的取值范围是.【答案】【解析】故，∵，∴，解得.故答案为：【变式66】（2024·广东湛江·高一统考期末）已知，的最大值为，若时，取到最大值，则.【答案】【解析】，其中，则当时，有最大值；当时，取到最大值，则，.故答案为：；.【方法技巧与总结】辅助角公式的应用策略（1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．（2）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性．题型七：三角函数的实际应用【例7】（2024·河北沧州·高一泊头市第一中学校考阶段练习）如图所示，某小区中心有一块圆心角为，半径为的扇形空地，现计划将该区域设计成亲子室外游乐区域，根据设计要求，需要铺设一块平行四边形的塑胶地面EFPQ（其中点E，F在边OA上，点在边OB上，点在AB上），其他区域地面铺设绿地，设.(1)表示绿地的面积；(2)若铺设绿地每平方米100元，要使得铺设绿地的出用最低，应取何值，并求出此时的值．【解析】（1）如图，分别过P，Q作于点，于点，则四边形MNPQ为矩形．因为，则，，，由于，所以，则，设四边形EFPQ的面积为，所以，所以，．（2）要使铺设绿地的费用最低，即绿地面积最小，所以只需求出绿地面积的最小值，因为，则，所以，则，因此，即，此时，即，，所以当时，取得最小值元．【变式71】（2024·黑龙江哈尔滨·高一统考期末）如图，在扇形中，半径，圆心角.是扇形圆弧上的动点，矩形内接于扇形，记.(1)将矩形的面积表示成关于的函数的形式；(2)求的最大值，及此时的角.【解析】（1）在中，，，，，，，（）；（2），，，因为，，当，即时，取得最大值.【变式72】（2024·山东聊城·高一山东聊城一中校考期末）在校园美化､改造活动中，要在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示.取的中点，记.(1)写出矩形的面积与角的函数关系式；(2)求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积.【解析】（1）由题可知，在中，，，在中，，（2）当，即时，故当时，矩形的面积最大，最大值为【变式73】（2024·上海闵行·高一校考期末）某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心角为60°的扇形草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点、在线段上，另两个顶点、分别在弧、线段上.(1)若，求此红旗图案的面积；（精确到）(2)求组成的红旗图案的最大面积.（精确到）【解析】（1）由题意，则，，，，；（2）设，则，，，，，故当时，即时，取得最大值．【方法技巧与总结】三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题．题型八：三角恒等变换与三角函数图象性质的综合【例8】（2024·贵州黔西·高一统考期末）已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)若将函数的图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数，当时，求的解集.【解析】（1）由题意可得：，所以函数的最小正周期.（2）将函数的图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数，因为，则，若，即，可得，解得，所以的解集为.【变式81】（2024·天津和平·高一统考期末）已知函数，(1)求函数的最小正周期和对称轴方程；(2)求函数的单调递减区间；(3)若函数在上最大值与最小值的和为，求实数的值.【解析】（1）函数，函数的最小正周期为：，令，，解得，，则对称轴方程为，.（2）令，，解得：，，函数的单调递减区间为：，；（3）当时，，令或，解得：或，此时函数取得最小值为：，令，解得：，此时函数取得最大值为：，又的最大值与最小值的和为，所以有：，解之得：.【变式82】（2024·河南郑州·高一统考期末）设函数．(1)求函数的最小正周期及其图象的对称轴；(2)将函数的图象先向右平移个单位，再向上平移1个单位得到函数的图象，求函数在上的值域．【解析】（1）由题可得：，所以的最小正周期为：．由得：，所以该函数图象的对称轴方程为：（2）由题可得．因为，所以，得：，所以的值域为.【变式83】（2024·北京朝阳·高一统考期末）设函数，且．(1)求的值；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值及的零点．条件①：是奇函数；条件②：图象的两条相邻对称轴之间的距离是；条件③：在区间上单调递增，在区间上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】（1），又，所以.（2）由（1）知，，选择①：因为是奇函数，所以与已知矛盾，所以不存在.选择②：因为图象的两条相邻对称轴之间的距离是，所以，，，则，令，解得.即零点为.选择③：对于，，令，，解得，，即增区间为，减区间为，因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以时符合，即在上单调递增，在上单调递减，所以且，解得，则，所以令，解得，即零点为.【变式84】（2024·湖南张家界·高一慈利县第一中学期末）设函数，其中，已知．(1)求的值；(2)将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最值并写出取最值时的值.【解析】（1），，，，由于，所以.（2）由（1）得，函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到，再将得到的图象向左平移个单位，得到，若，则，所以当时，取得最大值为；当时，取得最小值为.所以时取得最大值为；时取得最小值为.【方法技巧与总结】应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤：（1）运用和、差、倍角公式化简；（2）统一化成的形式；（3）利用辅助角公式化为的形式，研究其性质．一、单选题1．（2024·广东清远·高一统考期末）已知，则（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】解法一：.解法二：.故选：B.2．（2024·全国·高一随堂练习）已知向量，，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意知，，所以，得，所以.故选：A.3．（2024·全国·高一专题练习）化简的结果是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】原式化简为.故选：D.4．（2024·全国·高一专题练习）在锐角中，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在锐角中，由，可得，于是，解得，所以，则．故选：A.5．（2024·河北邯郸·高一校考期末）若，则等于（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【解析】因为，则，所以．故选：D．6．（2024·上海·高一假期作业）将cos2x－sin2y化为积的形式，结果是（）A．－sin（x＋y）sin（x－y） B．cos（x＋y）cos（x－y）C．sin（x＋y）cos（x－y） D．－cos（x＋y）sin（x－y）【答案】B【解析】cos2x－sin2y＝＝cos（x＋y）cos（x－y）.故选：B.7．（2024·重庆·高一校联考期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，故选：C8．（2024·全国·高一假期作业）已知是三角形的一个内角，满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，两边平方得，即，可得，因为是三角形的一个内角，且，所以，所以，得，又因为，，联立解得：，，故有：，从而有．故选：B．二、多选题9．（2024·河南焦作·高一校考阶段练习）下列式子中，运算结果为1的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】对A，，A正确；对B，，B错误；对C，，C错误；对D，，D正确．故选：AD.10．（2024·全国·高一专题练习）已知函数的图象为C，以下说法中正确的是（

）A．函数的最大值为B．图象C关于中心对称C．函数在区间内是增函数D．函数图象上，横坐标伸长到原来的2倍，向左平移可得到【答案】CD【解析】.A：函数的最大值为，因此本选项不正确；B：因为，所以图象C不关于中心对称，因此本选项不正确；C：当时，，所以函数在区间内是增函数，因此本选项正确；D：函数图象上，横坐标伸长到原来的2倍，得到，再向左平移可得到，所以本选项正确，故选：CD11．（2024·云南昆明·高一昆明一中校考期末）已知，，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】对于选项A，由两边平方得：，故得，即A项正确；对于选项B，由，可得：故，由可得：，故B项错误；对于选项C，，故C项错误；对于选项D，由可解得：故得：.故D项正确.故选：AD.12．（2024·云南昆明·高一云南师大附中校考阶段练习）已知函数，下列结论正确的是（

）A．的最小正周期是B．的单调递增区间为C．的图象关于点对称D．要得到的图象，只需把的图象向左平移个单位【答案】AB【解析】，对于A，的最小正周期为，故A正确；对于B，令，解得，的单调递增区间为，故B正确；对于C，当时，，的图象不关于点对称，故C错误；对于D，的图象向左平移个单位后，解析式为，故D错误.故选:AB.三、填空题13．（2024·全国·高一专题练习）已知，，则.【答案】0【解析】易知，因为，若，显然，上式恒成立，若，则，所以，无解，综上可知.故答案为：014．（2024·山东菏泽·高一菏泽一中校考阶段练习）已知，则．【答案】/【解析】已知，则，得.故答案为：15．（2024·广东广州·高一广东实验中学校