2021年高考数学真题汇编含答案

目录

2021年普通高等学校招生全国统一考试...........................................................2

数学（新高考I卷）.............................................................................2

2021年普通高等学校招生全国统一考试...........................................................6

数学（新高考II卷）.............................................................................6

2021年普通高等学校招生全国统一考试..........................................................11

理科数学（全国甲卷）..........................................................................11

2021年普通高等学校招生全国统一考试..........................................................17

理科数学（全国乙卷）..........................................................................17

2021年普通高等学校招生全国统一考试..........................................................22

文科数学（全国甲卷）..........................................................................22

2021年普通高等学校招生全国统一考试..........................................................28

文科数学（全国乙卷）..........................................................................28

2021年普通高等学校招生全国统一考试..........................................................33

数学（浙江卷）................................................................................33

2021年普通高等学校招生全国统一考试..........................................................38

数学（上海卷）................................................................................38

2021年普通高等学校招生全国统一考试..........................................................41

数学（北京卷）................................................................................41

2021年普通高等学校招生全国统一考试..........................................................45

数学（天津卷）................................................................................45

2021年普通高等学校招生全国统一考试..........................................................50

数学（新高考I卷）试题参考答案...............................................................50

2021年普通高等学校招生全国统一考试..........................................................56

数学（新高考II卷）试题参考答案...............................................................56

2021年普通高等学校招生全国统一考试..........................................................62

理科数学（全国甲卷）试题参考答案.............................................................62

2021年普通高等学校招生全国统一考试..........................................................68

理科数学（全国乙卷）试题参考答案.............................................................68

2021年普通高等学校招生全国统一考试..........................................................74

文科数学（全国甲卷）试题参考答案.............................................................74

2021年普通高等学校招生全国统一考试..........................................................80

文科数学（全国乙卷）试题参考答案.............................................................80

2021年普通高等学校招生全国统一考试..........................................................86

数学（浙江卷）试题参考答案...................................................................86

2021年普通高等学校招生全国统一考试..........................................................92

数学（上海卷）试题参考答案...................................................................92

2021年普通高等学校招生全国统一考试..........................................................97

数学（北京卷）试题参考答案...................................................................97

2021年普通高等学校招生全国统一考试.........................................................104

数学（天津卷）试题参考答案..................................................................104

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2021年普通高等学校招生全国统一考试

数学（新高考I卷）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.设集合A=3|一2<x<4},8={2,3,4,5},则AQB=

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

2.已知z=2-i,则z（5+i）=

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

3.已知圆锥的底面半径为J5,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为

A.2B.2X/2C.4D.472

4.下列区间中，函数/（x）=7sin单调递增的区间是

儿陷

22

5.已知冗，B是椭圆C：三+宁=1的两个焦点，点〃在。上，则I叫周的最大值为

A.13B.12C.9D.6

„八八口,sin8（1+sin2。）

6.若tan8=—2,则——------L=

sin8+cos，

62

A.---B.---

55

7.若过点（。力）可以作曲线），=e”的两条切线，则

huh

A.e<aB.e<bC.0<a<eD.

0<b<ea

8.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球,甲表示

事件”第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两

次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.有一组样本数据西，々，…，%,由这组数据得到新样本数据力,必，…,纥，其中

%=玉+c(i=1,2,…,〃),c为非零常数，则

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据样本中位数相同

C,两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样数据的样本极差相同

10.已知。为坐标原

点,6(cosa,sina),£(cos#,-sin尸)，P：(cos(«+/^),sin(«+/7)),

A(l,0),则

A.|闭=|。回B.=|阿

C.0Aop3=ORD.OAOP^OP.OP,

11.已知点/＞在圆(》—5『+(丁—5)2=16上,点4(4,0)、B(0,2),则

A.点P到直线AB的距离小于10

B.点P到直线AB的距离大于2

C.当NPBA最小时,|P3|=3五

D.当NPBA最大时,归却=30

12.正三棱柱ABC—A,4cl中,A3=A4,=1，点尸满足BP=4BC+,曲,其中

2G[0』],4€[0』],则

A.当4=1时,△A87的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥尸一A3。的体积为定值

C.当2=3时，有且仅有一个点P,使得4尸，BP

D.当〃=1时，有且仅有一个点P,使得ABJ.平面ABF

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/(x)=/(a.2*-2-*)是偶函数，则。=.

14.已知。为坐标原点,抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴

垂直，。为x轴上一点，且PQLOP,若|同=6,则C的准线方程为.

15.函数“X)=|2x-l|-21nx的最小值为.

16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为

20dmxl2dm的长方形纸，对折1次共可以得到lOdmxl2dm,20dmx6dm两种规格的图

形，它们的面积之和5,=24()dm2,对折2次共可以得到

5dmxl2dm,10dmx6dm,2()dmx3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2=ISOdm?,以

此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折〃次，那么

ES*=---------dm2•

k=l

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

z、优,+1,〃为奇数，

17■已知数列的｝满足％=S｛+2,〃为偶数.

⑴记a=a2n，写出伉也，并求数列｛b,,｝的通项公式；

(2)求｛4｝的前20项和.

18.某学校组织“一带一路''知识竞赛，有A,B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中

选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另

一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束4类问题中的每个

问题回答正确得20分,否则得0分；8类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分,己

知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问

题的概率与回答次序无关.

(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

193HAABC是内角A,B,C的对边分别为。,c,已知加=ac，点D在边AC

上,BDsinZABC=asinC.

(1)证明：BD=b；

(2)若45=2。。,求85乙钻。

20.如图，在三棱锥A-3CD中，平面AB。，平面BCD45=AD,。为3。的中点.

(1)证明：OA1CD；

(2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AO匕。石=2£4,且二面角

E-BC-D的大小为45°,求三棱锥A-BCD的体积.

21.在平面直角坐标系xOy中,己知点片(—J万,0)、鸟(J万,0),|“用一眼用=2,点M

的轨迹为C.

(1)求。的方程；

(2)设点T在直线x=」上，过T的两条直线分别交C于A、3两点和P,Q两点，且

2

|力4卜|7^|=|77*/。|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

22.已知函数/(x)=x(l-lnx).

(1)讨论〃力的单调性;

(2)设。，力为两个不相等的正数，且。lnq-aln6=a-。，证明：2<L+,<e.

ab

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2021年普通高等学校招生全国统一考试

数学（新高考n卷）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

2-i

1.复数——在复平面内对应的点所在的象限为

1-31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.设集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,6},8={2,3,4},则An(C济)=

A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}

3.抛物线y2=2px(0>0)的焦点到直线y=x+l的距离为0,则。=

A.1B.2C.2V2D.4

4.北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止

同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36（XX）km（轨道高度是指卫星到地球

表面的距离）.将地球看作是一个球心为O,半径『为6400km的球，其上点A的纬度是指

OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬

度最大值为a,记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2%/（i—cosa）（单位：km2））

则S占地球表面积的百分比约为

A26%B.34%C.42%D.50%

5.正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为

A.20+1273B.280C.当D.”也

33

6.某物理量的测量结果服从正态分布N（10,b2）,下列结论中不正确的是

A.a越小，该物理量在一次测量中在（9.9,10.1）概率越大

B.b越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.b越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.b越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等

7.已知"logs2,b=log83,c=；,则下列判断正确的是

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<h<c

8.己知函数的定义域为R,/(x+2)为偶函数，/(2x+l)为奇函数，则

A./臼=0B./(-1)=0C./(2)=0D."4)=0

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列统计量中，能度量样本玉,马，，毛的离散程度的是

A.样本内,々，，七的标准差B.样本玉,々，，苍，的中位数

C.样本西,X2，,毛的极差D.样本，x”的平均数

10.如图，在正方体中，。为底面的中心，尸为所在棱的中点，M,N为正方体的顶点.则

满足MNLQP的是

11.已知直线/：依+分——=o与圆c：x2+y2=/，点&a,〃)，则下列说法正确的是

A.若点A在圆C上，则直线/与圆C相切

B.若点4在圆C内，则直线/与圆C相离

C.若点A在圆C外，则直线/与圆C相离

D.若点4在直线/上，则直线/与圆C相切

-|k

12.设正整数〃=4•2°+9•2++-2*+ak-2,其中生e｛0,1｝,记

CD^n）-an+Oy++%.则

A.=co（n）B,0）（2〃+3）=。（〃）+1

C.6y（8〃+5）=<z>（4〃+3）D.<y（2"-l）=〃

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

22

13.己知双曲线3?-/=1（4〉0，力>0）的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为

14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数/（X）：.

①/（X]W）=/（X]）/（X2）；②当xw（0,+oo）时，f'（x）>0；③y'（x）是奇函数.

15.已知向量a+/?+c=0，卜|=1，1卜卜|=2,a-b+b-c+c-a=•

16.已知函数/（x）=H-,X<0,々>0，函数/（X）的图象在点A（再，〃%））和点

8（七，/（%））的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则黑^取值范围是

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程活演算步骤。

17.记S“是公差不为0的等差数列｛4｝的前〃项和，若a3=S5,44=S4.

（1）求数列｛q｝的通项公式4；

（2）求使S.>a”成立的n的最小值.

18.在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为“、b、c,。=“+1,c=a+2..

（1）若2sinC=3sinA,求△ABC的面积；

（2）是否存在正整数。，使得△ABC为钝角三角形?若存在，求出。的值；若不存在，说明

理由.

19.在四棱锥Q—ABC。中，底面A8CD是正方形，若AD=2,QD=QA=亚,QC=3.

(1)证明：平面"。上平面ABCD；

(2)求二面角B—Q。-A的平面角的余弦值.

20.已知椭圆。的方程为1+4=1(4>6>0),右焦点为F(0,0),且离心率为如.

a~b~3

(1)求椭圆C的方程；

(2)设M,N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线龙？+y2=e(％>0)相切.证明：加，

N,尸三点共线的充要条件是|MN|=百.

21.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一

次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立

的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，

P(X=z)=p,.(/=(),1,2,3).

(1)已知Po=().4，P]=().3,〃2=0.2,〃3=()/，求E(X)；

(2)设2表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：

/?0+1/+22炉+。3%3=%的一个最小正实根，求证：当E(X)<1时，p=l,当E(X)>1

时，〃<1;

(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.

22.已知函数,f(x)=(%-l)e*-ax?+/?.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点

]1

®—<a<—,b>2a；®0<a<—,b<2a.

「222

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2021年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（全国甲卷）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.设集合M={x|0<x<4},N={x集WxW5},则MCN=

A.{x|0<x<3}B.{x|3<x<4）C.{x[4Wx<5}D.{x|0<x<5}

2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的

调查数据整理得到如下频率分布直方图：

第2题图

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

3.已知(l—i)2z=3+2i,则2=

33

--33

2氏2

A.1+C.-2+iD.—2—i

4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和

小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已

知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为（1幅F.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

5.已知Fi,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且NFIPF2=60。，|PFI|=3|PF2|,则

C的离心率为

A.日逅

B.2C.市D.

V13

6.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G该正方体截去三棱锥A-EFG

后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是

正视图

第6题图

7.等比数列｛a。｝的公比为q,前n项和为S”.设甲：q>0,乙：｛SJ是递增数列，则

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）,三

角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A,B,

C三点，且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足/A'CB'=45°,Z

A'B'C=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100：由B点测得

A点的仰角为45。，则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC约为（小X

1.732)

B

C，」---------J9

第8题图

A.346B.373C.446D.473

兀cos。

9.若a£(0,2),tan2a=2—sina，则tana=

V15A/5V5

A.15B.5C.3D.

Vl5

3

10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为

1224

-B-C--

A.3535

11.已知A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC_LBC,AC=BC=1,则三

棱锥O—ABC的体积为

也近啦

A.12B.12C.4D.

近

4

12.设函数人划的定义域为R,y(x+1)为奇函数，4x+2)为偶函数，当2]时，於)

八9

=加+儿若八0)+/(3)=6,则15)=

9375

-B-CD-

A.-4-24-2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2工--1

13.曲线y=w在点(一1,一3)处的切线方程为・

14.己知向量。=(3,1),b=(L0),c=a+kb.若aJLc,则仁.

22

15.已知F2为椭圆C：x京+v；=1的两个焦点，P,。为C上关于坐标原点对称的两

点，且|尸。|=尸出|,则四边形PFiQB的面积为.

一，7n

16.己知函数Xx)=2cos(GX+P)的部分图象如图所小，则满足条件伏幻一/(一丁)][/U)一

4JI

J(—)]>0的最小正整数x为.

第16题图

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(-)必考题：共60分。

17.(12分)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台

机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

一级品二级品合计

甲机床15050200

乙机床12080200

合计270130400

(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K22k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.(12分)已知数列｛an｝的各项均为正数，记Sn为｛an｝的前n项和，从下面①0③中选取两

个作为条件，证明另外一个成立.

①数列｛a“是等差数列；②数列｛病｝是等差数列；③a2=3ai.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

19.(12分)已知直三棱柱ABC—AiBCi中，侧面AAiBiB为正方形，AB=BC=2,E,F

分别为AC和CCi的中点，D为棱A小।上的点，BF±AiBi.

I)

B、

第19题图

(1)证明：BF1DE；

(2)当BQ为何值时，平面BBCiC与平面DFE所成的二面角的正弦值最小？

20.(12分)抛物线C的顶点为坐标原点0,焦点在x轴上，直线/：x=l交C于P,Q两点，

且OP_LOQ.已知点M(2,0),且。M与/相切.

(1)求C,(DM的方程：

(2)设Ai,A2,A3是C上的三个点，直线A1A2,A1A3均与。M相切.判断直线A2A3

与OM的位置关系，并说明理由.

a

21.(12分)已知〃>0且,函数/(x)=x二(》>0)

ax

(1)当。=2时，求f(x)的单调区间；

(2)若曲线y=f(x)与直线y=l有且仅有两个交点，求。的取值范围.

(-)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第

一题计分。

22.［选修4—4：坐标系与参数方程］(10分)

在直角坐标系X。)，中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C

的极坐标方程为P=2/cos0.

(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点A的直角坐标为(1,0),历为C上的动点，点尸满足Q=^2而，写出P的

轨迹Ci的参数方程，并判断C与Ci是否有公共点.

23.［选修4一5：不等式选讲］(10分)

已知函数f(x)=|x—2|,g(x)=|2x+3|—|2x—11.

(1)画出y=f(x)和y=g(x)的图象；

(2)若f(x+a)2g(x),求a的取值范围.

第23题图

我选择的题号是：2223-

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2021年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(全国乙卷)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.设2(2+力+3(%—2)=4+61则2=

A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i

2.已知集合5={小=2〃+1,z?ez},7={/|/=4〃+1,〃£Z},贝i」SG7=

A.0B.SC.TD.Z

3.已知命题p：3A^R,sinx<l；命题夕：VxER,e*-v,1,则卜列命题中为真命题的是

A.p/\qB.-'p/XqC.pZqD.TpYq)

1—x

4.设函数犬的=不，则下列函数中为奇函数的是

A.Xx-1)-1B.1x-l)+lC.八x+l)—lD.X%+1)+1

5.在正方体A8C£>—AiBCQi中，尸为Bid的中点，则直线PB与A。所成的角为

nnnn

A-TBTC-TD.E

6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，

每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有

A.60种B.120种C.240种D.480种

7.把函数y=/(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的4倍，纵坐标不变，再把所得曲线向

JIJI

右平移9个单位长度，得到函数产sina-彳)的图象，则段)=

x7nx717五n

A.sin(彳~~\5~)B.sin弓I)C.sin(2x~~^~)D.sin(2x+~^)

7

8.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于:的概率为

9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如

图，点E,H,G在水平线AC上，和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的

高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的

差称为“表目距的差”，则海岛的高A8=

第9题图

表高X表距表高X表距

A.表目距的差+表高B-表目距的差一表高

表高X表距表高X表距

C,表目距的差+表距D,表目距的差—表距

10.设。W0,若x=a为函数Z(x)=a(x—4)2(尤一6)的极大值点，则

A.a<bB.a>bC.ah<a2D.ab>a2

+方=1(〃>方>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|P8|W26,

11.设3为椭圆Ci：~~2

则C的离心率的取值范围是

A.［乎，1)B.,1)C.(0,坐］D.(0,1

12.设a=21nl.01,b=ln1.02,c=y［lM-1,贝ij

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知双曲线C：^一9=1(机>0)的一条渐近线为小x+〃?y=0,则C的焦距为

14.已知向量。=(1,3),b=(3,4),若(a—入b)上b,则7=.

15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,h,c,面积为小，B=60。，a2+c2=3ac,

则b=________

16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的

三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为(写出符合要求的一组答案即可).

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(-)必考题：共60分。

17.(12分)

某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用

一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和》样本方差分别记为

5,和.

(1)<Rx,y,S],52；

(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果

,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,

否则不认为有显著提高).

18.(12分)

如图，四棱锥P—ABC。的底面是矩形，底面A8C£>,PD=DC=1,M为BC的中

点，KPBVAM.

R

第18题图

⑴求BC；

(2)求二面角A-PM-B的正弦值.

19.(12分)

21

记S"为数列｛“"｝的前”项和，仇为数列｛SJ的前"项积，已知至+元=2.

(1)证明：数列｛仇｝是等差数列；

(2)求｛诙｝的通项公式.

20.(12分)设函数兀r)=ln(.—x),已知x=0是函数>=对5)的极值点.

⑴求a；

-+/(X)

(2)设函数g(x)=0•(x),证明：g(x)Vl.

21.(12分)

已知抛物线C：『=20)。>0)的焦点为尸，且F与圆M：f+。+4>=1上点的距离的

最小值为4.

⑴求P；

(2)若点P在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求面积的最大值.

(-)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第

一题计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

在直角坐标系xOy中，。。的圆心为C(2,1),半径为1.

(1)写出。C的一个参数方程；

(2)过点/(4,1)作。C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标

系，求这两条切线的极坐标方程.

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

已知函数於)=|x-a|+|x+3|.

(1)当a=l时，求不等式兀t)》6的解集;

(2)若於)＞一〃，求〃的取值范围.

绝密★启用前

2021年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学（全国甲卷）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.设集合M={1,3,5,7,9},N={x|2x>7},则MiN=

A.{7,9}B.{5,7,9}

C.{3,5,7,9}D.{1,3,5,7,9}

2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的

调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

3.己知（l-i）2z=3+2i,贝ijz

4.下列函数中是增函数的为

A./(x)=-xB.y(%)=_

I"

C./(x)=x2D.f(x)=㈠

22

5.点(3,0)到双曲线土-乙=1的一条渐近线的距离为

169

9864

A.—B.-C.—D.一

5