甘肃省陇南市礼县第六中学2023-2024学年九年级第四次诊断考试数学试题（含答案解析）

甘肃省陇南市礼县第六中学2023-2024学年九年级第四次诊

断考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

2.方程Y=O的解的个数为（）

A.0B.1C.2D.1或2

3.在平面直角坐标系xOy中，若点尸（4,3）在。内，则。的半径r的取值范围是（）.

A.0<r<4B.3<r<4C.4<r<5D.r>5

4.下列事件是随机事件的是（）

A.在一个标准大气压下，加热到100℃,水沸腾B.购买一张福利彩票，中奖

C.有一名运动员奔跑的速度是30米/秒D.在一个仅装着白球和黑球的袋中摸出

红球

5.如图，。。的半径为5,AB为弦,OCLAB,垂足为C,如果0c=3,那么弦AB的

长为（）

6.掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数大于2且小于5的概率为（）

7.一个点到圆的最大距离为11cm,最小距离为5cm,则圆的半径为（）

A.16cm或6cmB.3cm或8cmC.3cmD.8cm

9.如图，已知。。是△ABD的外接圆，A2是。。的直径，C。是。。的弦，ZABD=5S°,

则/BCD等于（）

A.116°B.32°C.58°D.64°

10.如图，二次函数y=ax?+bx+c（a，0）的图像的顶点在第一象限，且过点（0,1）和

（-1,0）.下列结论：①ab<0,②b2>4a,③0<a+b+c<2,®0<b<l,⑤当x>-1

时，y>0,其中正确结论的个数是

A.5个B.4个C.3个D.2个

二、填空题

11.若函数目=（左-2）。-反比例函数,则左=.

12.抛物线y=/+2x-8的顶点坐标为.

13.设a,b是方程x2+x-2018=0的两个实数根，则（a-1）（b-1）的值为.

14.一个圆锥的高为36,侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是

15.如图，与。。相切，切点为4尸。交。。于点C,点B是优弧CBA上一点，若

试卷第2页，共6页

ZABC=28°,则/尸的度数为

16.如图，随机地闭合开关Si,S2,S3,S4,S5中的三个，能够使灯泡Ll,L2同时发光

的概率是.

17.如图，R3ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=2.将△ABC绕点C按顺时针方向

旋转一定角度后得AMC,点。在AB边上，斜边DE交AC于点R则图中阴影部分面

18.如图，△ABC中，ZB=60°,ZACB=75°,点D是边BC上一动点，以AD为直径

作。0,分别交AB,AC于E,F,若弦EF的最小值为2,则AB的长为.

三、解答题

19.用适当的方法解下列方程：

1?

(l)-(2x-5)-1=0

(2)x2-6x+l=0

20.解不等式组：

5x+4>2(x-l)

<2x+53x—21

------------------>1

132

21.已知：如图，正方形ABC。，连接AC,E是5C延长线上一点，AC=EC,连接AE

交C。于点E

/)

⑴求々的度数；

(2)若。产=2,求点尸到AC的距离.

22.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为(-4,1)、(-2,1),

先将△ABC沿一确定方向平移得到△AIBIC,点B的对应点Bi的坐标是(1,2),再将

△A।B।C।绕原点O顺时针旋转90。得到△A2B2c2,点A।的对应点为点A2.

(1)画出AAiBiC；

(2)画出AAzB2c2；

(3)求出在这两次变换过程中，点A经过点Ai到达点A?的路径总长.

k

23.如图，直线AB：>=-兀+7与反比例函数y=-(%>0)交于点A,8两点，与y轴交

x

于点C,已知A点

试卷第4页，共6页

⑴求该反比例函数的表达式；

⑵求_AOC的面积.

24.共享经济已经进入人们的生活.小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标,

共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、。的四张卡片（除

字母和内容外，其余完全相同）.现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好.

QQ

0D

8共享服务

（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是—；

（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用

列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率.（这

四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）

25.某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决

定降价销售.市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件.已知该款童装每件成

本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？

（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少

件？

26.如图，在△ABC中，AB=AC,以A8为直径的。。分别与8C,AC交于点。，E,

过点。作。。的切线。F,交AC于点儿

(2)若。。的半径为4,NCDF=225°,求阴影部分的面积.

27.阅读下列材料:

111

①关于x的方程X2—3x+l=0(xw0)方程两边同时乘以一得：x—3d—=0,即XH—=3,

XXX

故［x+工］=X2+2-X-—+^Z-=X2+^-+2,所以*2+与二k+口—2=32—2=7.

Vxyxxx

(2)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).

根据以上材料，解答下列问题：

(1)%?—4%+1=0(%W0),贝UXH----;X2H-----=;X4H----=;

XXX

Q1

(2)2/—7%+2=0,求冗+了的值.

28.如图，在平面直角坐标系中，正方形。4BC的边长为4,顶点A、C分别在x轴、y

轴的正半轴，抛物线产-《N+陵+c经过瓦。两点，点。为抛物线的顶点，连接AC、

BD、CD.

(1)求此抛物线的解析式.

(2)求此抛物线顶点。的坐标和四边形ABOC的面积.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.D

【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图

形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图

形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做

中心对称图形，这个点就是它的对称中心.

【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；

D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；

故选D.

2.C

【分析】根据一元二次方程根的判别式，求出△的值再进行判断即可.

【详解】解：：x2=0,

.-.△=02-4x1x0=0,

二方程x2=0有两个相等的实数根.

故选C

【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，当4>0时方程有两个不相等的实数根,

△=0时方程有两个相等的实数根，△<0时方程没有实数根.

3.D

【分析】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系等知识点，先利用勾股定理求出。尸

的长，再根据点尸在。内以及点与圆的位置关系即可解答；熟知点到圆心的距离d与半径

r的关系是解题的关键.

【详解】解：•••0（0,0），64,3）,

/.OP=^/（3-0）2+（4-0）2=5，

;点P（4,3）在：。内，O的半径厂，

r>5.

故选D.

4.B

答案第1页，共15页

【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定

不发生的事件;不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.根

据必然事件、不可能事件和随机事件的定义分析判断即可.

【详解】解：A.在一个标准大气压下，加热到100℃,水沸腾，是必然事件，不符合题意；

B.购买一张福利彩票，中奖，是随机事件，符合题意；

C.有一名运动员奔跑的速度是30米/秒，是不可能事件，不符合题意；

D.在一个仅装着白球和黑球的袋中摸出红球，是不可能事件，不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了必然事件、不可能事件和随机事件的知识，理解并掌握相关知识是

解题关键.

5.C

【分析】连接根据勾股定理求出AC,根据垂径定理解答即可.

【详解】解：连接04

在RtAAOC中，AC=VOA2-OC2=752-32=4，

OC±AB,

.*.AB=2AC=8,

【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦

所对的两条弧是解题的关键.

6.B

【分析】本题考查求概率，利用概率公式进行求解即可.

【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，共有6种等可能的结果，其中向上一面的点数大于2

且小于5的结果有2种，

63

故选B.

7.B

答案第2页，共15页

【分析】最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离

的差是直径，由此得解.

【详解】当点P在圆内时，最近点的距离为5cm,最远点的距离为11cm,则直径是16cm,

因而半径是8cm；

当点P在圆外时，最近点的距离为5cm,最远点的距离为11cm,则直径是6cm,因而半径

是3cm；

故选B.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，利用线段的和差得出直径是解题关键，分类讨论,

以防遗漏.

8.B

k

【分析】分别对左进行分类讨论，然后结合反比例函数y='和一次函数y=-"+上的图象

X

性质进行分析即可.

【详解】解：当左＞0时，那么Tt＜0,

Z-

则反比例函数y=£的图象在第一、三象限，一次函数？=-履+上的图象经过第一、二、四

X

象限；

当左＜0时，那么一左＞0,

则反比例函数y=勺的图象在第二、四象限，一次函数丫=-依+上的图象经过第一、三、四

X

象限；

故选：B.

【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质等知识内容，正确掌握反比例函

数和一次函数的图象性质是解题的关键.

9.B

【详解】解：由是。。的直径

ZADB=90°,

ZABD=5S°,

：.ZA=90°-ZABD=32°,

：.ZBCD=ZA=32°.

故选B.

10.B

答案第3页，共15页

【详解】解：二•二次函数y=ax?+bx+c(a^O)过点(0,1)和(-1,0),

c=l,a-b+c=O.

①,・•抛物线的对称轴在y轴右侧，

x=-----,x>0.

2a

二•a与b异号.

Aab<0,正确，符合题意.

②;抛物线与x轴有两个不同的交点，

Ab2-4ac>0.

Vc=l,

Ab2-4a>0,BPb2>4a.正确，符合题意.

④;抛物线开口向下，・・・aV0.

Vab<0,：.b>0.

Va-b+c=O,c=l,a=b-1./.b-l<0,即bVl.AO<b<l,正确，符合题意.

③:a-b+c=O,a+c=b.

/.a+b+c=2b>0.

Vb<l,c=l,a<0,

/.a+b+c=a+b+l<a+l+l=a+2<0+2=2.

.*.0<a+b+c<2,正确，符合题意.

⑤抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为（-1,0）,设另一个交点为（xo,0）,则xo>O,

由图可知，当-l<x〈xo时，y>0；当x>xo时，y<0.

・,・当x>-1时，y>0的结论错误，不符合题意.

综上所述，正确的结论有①②③④.

故选B.

11.-2

【分析】根据反比例函数的定义列出方程H二5解出％的值即可.

后一220

【详解】解：若函数>=（左-2）产,是反比例函数,

k2-5=-l

"2/0

答案第4页，共15页

解得k=-2,

故答案为：-2.

【点睛】本题考查反比例函数的定义，熟记反比例函数解析式的一般式了=三信N0)解决此

类问题的关键.

12.(-1,-9)

【分析】本题考查二次函数的性质，将一般式转化为顶点式，即可得出结果.

【详解】解：J=X2+2X-8=(X+1)2-9,

，顶点坐标为：(-1,-9)；

故答案为:(-1,-9).

13,-2016

【分析】由根与系数的关系可求得a+b与ab的值，代入求值即可.

【详解】：a,b是方程x2+x-2018=0的两个实数根，

a+b=-1,ab=-2018,

/.(a-1)(b-1)=ab-a-b+1=ab-(a+b)+1=-2018-(-1)+1=-2016,

故答案为-2016.

b

【点睛】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于-2、两根之积

a

等于9是解题的关键.

a

14.1871

【分析】设出圆锥的母线长和底面半径，用两种方式表示出全面积，即可求得圆锥底面半径

和母线长的关系，加上高利用勾股定理即可求得圆锥的母线长和底面半径，那么圆锥的侧面

积=底面周长x母线长+2.

【详解】解：根据题意，设圆锥的底面半径为「，母线长为/.则

17ir=7il

fr=3

解得：,“

[/=6

二.S侧2；?兀丫13兀&*8=71•

答案第5页，共15页

故答案为：18万

【点睛】本题利用了勾股定理，圆的面积公式，圆的周长公式和扇形面积公式，熟练掌握运

用这些公式是解题关键.

15.34。/34度

【分析】连接则AH。是直角三角形，根据圆周角定理即可求得乙?。4的度数，进而

根据直角三角形的性质求解.

【详解】解：连接04

与。。相切，

：.ZPA0=9Q°,

0=2/2=56°,

；./P=90°-56°=34°.

故答案为：34°.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，以及圆周角定理，正确利用定理，作出辅助线求得

NP0A的度数是解题的关键.

16.-

5

【分析】求出随机闭合开关Sl,S2,S3,S4,S5中的三个，共有几种可能情况，以及能让灯

泡L1,L2同时发光的有几种可能，由此即可解决问题.

【详解】：随机地闭合开关Si,S2,S3,S4,S5中的三个共有10种可能，

能够使灯泡L1,L2同时发光有2种可能(Si,S2,$4或Si,S2,S5).

21

.•.随机地闭合开关S1,S2,S3,S4,S5中的三个，能够使灯泡L1,L2同时发光的概率是历=§.

答案第6页，共15页

17.B

2

【详解】解：：将4A8C绕点C按顺时针方向旋转〃度后得到△EDC,

：.BC=DC,

:在RdABC中，ZACB=90°,ZA=30°,

ZB=90°-ZA=60°,

△D8C是等边三角形，

：.n=ZDCB^6Q0,

：.ZDCA=90°-Zr)CB=90o-60°=30°,

'：BC=2,

：.DC=2,

'：ZFDC=ZB=60°,

：.ZDFC=90°,

：.DF=^DC=l,

2

FC=y/cD2-DF2=正-]=g，

/.S阴影=$』DFC=WDFFC=N1X^=好.

【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30。角的直角三角形的性质

以及勾股定理，此题综合性较强，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的

应用.

18.亚

3

【分析】首先连接OE,OF,过O点作OH_LEF,垂足为H,可求得半径OE的长，又由当

AD为AABC的边BC上的高时，直径AD最短，即OE最小，则EF最小，可求得AD的长，

由三角函数的性质，即可求得AB的长.

如图，连接OE,OF,过。点作OHLEF,垂足为H,

答案第7页，共15页

EH=FH=-EF=-x2=l

22f

•・•在^ADB中，ZB=60°,ZACB=75°,

JZBAC=45°,

・•・ZEOF=2ZBAC=90°,

VOE=OF,

ZEOH=-/EOF=45°,

2

EH

OE==2

sinZEOH

2

:当AD为AABC的边BC上的高时，直径AD最短，即OE最小，则EF最小,

:.AD=WE=2yf2,

.八AD2>/2476

,AB-...........=------=------

sinZB是3•

~2

故答案为境.

3

【点睛】本题考查的知识点是圆周角定理、勾股定理以及三角函数的性质.解题关键是注意

掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.

73

19.(1)%二万,%2

2

⑵再=3+2A/2,々=3-2^/2

【分析】本题考查解一元二次方程.

（1）直接开方法解方程即可；

（2）配方法解方程即可.

掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键.

19

【详解】（1）解：-（2x-5）-1=0

*>5）2=1

（2x-5）2=4

2x—5=±2,

答案第8页，共15页

(2)解：x2-6x+l=0,

*2_6x=_1

x2—6x+9=—1+9

(x-3『=8

x—3=±2及

%=3+2>/2,X2=3—2A/2.

20.-2<x<2

【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解.

'5x+4>2(x-l)@

【详解】解：，2尤+53x-2,

[32

解不等式①得，启-2,

解不等式②得，x<2,

所以不等式组的解集是-2q<2.

【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解.求不

等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解).

21.(1)22.5°

(2)2

【分析】本题考查正方形的性质，角平分线的性质.

(1)根据正方形的性质，等边对等角以及三角形的外角进行求解即可；

(2)过点/作9_LAC,根据角平分线的性质得到加=£>F,即可.

掌握正方形的性质，等边对等角，是解题的关键.

【详解】(1)解：：正方形A5CD,

NACB=45。，

AC=EC,

：.ZE=ZCAE,

'：ZE+ZCAE=ZACB=45°,

ZE=ZCAE=22.5°；

答案第9页，共15页

(2):正方形ABC。，

ZCAD=45°,ZD=90°,

/C4E=22.5°,

NDAF=ZCAD-ZCAE=22.5°,

；・胡平分/。⑦，

过点尸作尸"-LAC,

■:?D90?,

/.FH=DF=2.即：点尸到AC的距离为2.

22.（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）后+2岳.

【分析】（1）由B点坐标和Bi的坐标得到AABC向右平移5个单位，再向上平移1个单位

得到AAIBICI,则根据点平移的规律写出AI和CI的坐标，然后描点即可得到AAIBICI;

（2）利用网格特点和旋转的性质画出点Ai的对应点为点A2,点Bi的对应点为点B2,点

C1的对应点为点C2,从而得到AA2B2c2；

（3）先利用勾股定理计算平移的距离，再计算以0A1为半径，圆心角为90。的弧长，然后

把它们相加即可得到这两次变换过程中，点A经过点Ai到达A2的路径总长.

【详解】（1）如图，AAiBiCi为所作；

（2）如图，AA2B2c2为所作;

⑶OAi=742+42=4-72>

答案第10页，共15页

点A经过点Ai到达A2的路径总长=旧+F+90*=后+2信.

180

【点睛】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，

对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应

点，顺次连接得出旋转后的图形.也考查了平移变换.

23.(1)y=—(x>0)

尤

(2)i

【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用.

(1)把A点代入一次函数的解析式，求出”的值，待定系数法求反比例函数解析式即可；

(2)求出C点坐标，直接利用面积公式进行求解即可.

正确的求出函数解析式是解题的关键.

【详解】⑴解：把代入y=-x+7,得：n=-l+7=6,

AA(l,6),

k=1x6=6f

y=-(x>0)；

x

(2)：y=-x+7,

当x=0时，y=7,

c(o,7),

OC=7,

17

AOC的面积=-x7xl=—.

22

11

24.(1)-；(2)-

46

【分析】(1)根据概率公式直接得出答案；

(2)根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知

识”的结果数为2,根据概率公式求解可得.

【详解】(1):•有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，

答案第11页，共15页

•，•小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是!,

4

故答案为：；;

4

(2)画树状图如图：

开始

BCDACDABDABC

共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2,

21

抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率-

【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能

的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意

此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

25.(l)y=-30x+2100；(2)每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750

元；(3)该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件.

【分析】(1)每星期的销售量等于原来的销售量加上因降价而多销售的销售量，代入即可求

解函数关系式；

(2)根据利润=销售量x(销售单价-成本)，建立二次函数，用配方法求得最大值.

(3)根据题意可列不等式，再取等将其转化为一元二次方程并求解，根据每星期的销售利润

所在抛物线开口向下求出满足条件的龙的取值范围，再根据(1)中一元一次方程求得满足条件

的龙的取值范围内y的最小值即可.

【详解】(1)y=300+30(60-x)=-30尤+2100.

(2)设每星期利润为W元，

W=(尤-40)(-30X+2100)=-30(x-55)2+6750.

.•.尤=55时，W最大值=6750.

每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润675。元.

(3)由题意(x-40)(-30x+2100)>6480,解得52W烂58,

当尤=52时，销售300+30x8=540,

当尤=58时，销售300+30x2=360,

...该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装360件.

答案第12页，共15页

【点睛】本题主要考查一次函数的应用和二次函数的应用，注意综合运用所学知识解题.

26.（1）证明见解析；（2）471-8.

【分析】（1）连接易得ZABC=/ODB,由AB=AC,易得NABC=NACB,等量代

换得/0D3=NACB,利用平行线的判定得8//AC,由切线的性质得。尸_LOD,得出结论；

（2）连接0E,利用（1）的结论得NABC=NACB=67.5。，易得N84C=45。，得出NAQE=90。,

利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论.

【详解】（1）证明：连接。。，

OB=OD,

:.ZABC=/ODB,

'：AB=AC,

：.ZABC=ZACB.

：.ZODB=ZACB,

：.OD//AC.

・・・。/是。。的切线，

：.DF±OD.

：.DF±AC.

(2)连接OE,

'：DF±AC,ZCDF=22.5°.

：.ZABC=ZACB=67.5°f

：.ZBAC=45°.

'：OA=OE,

：.ZAOE=90°.

Q的半径为4,