江苏省高考数学 真题分类汇编 三角函数

三、三角函数

（-）填空题

71TT

1、（2008江苏卷D/（x）=coscox---的-最小正周期为一，其中口>0,则0

65

24TC

【解析】本小题考查三角函数的周期公式.7=——=—n啰=10

CD5

2>（2009江苏卷4）函数y=Asin（5+°）（A,。,。为常数，A>0,G>0）在闭区间［一肛0］

上的图象如图所示，则。=.

【解析】考查三角函数的周期知识。

32

—T=71,T=—71,所以69=3

23

3、（2010江苏卷10）定义在区间（0,工上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点

\2）

为P,过点P作PPi±x轴于点P,,直线PP］与y=sinx的图像交于点P2,则线段PR的长为

【解析1考查三角函数的图象、数形结合思想。线段PR的长即为sinx的值，

22

且其中的x满足6cosx=5tanx,.解得sinx=—。线段PR的长为一

33

4、（2010江苏卷13）在锐角三角形ABC,A、B、C的对边分别为a、b、c,-+-=6cosC,

ab

etanCtanC

则-----+-----二__________O

tanAtanB

【解析】考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。

（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。

当A=B或a=b时满足题意，此时有：cosC=-,tan23—=--竺C=J_,tan—=—,

321+cosC222

An1tanCtanC

tanA=tanB=------=yJ2,-------+-----二4。

.CtanAtanB

tan—

2

（方法二心+3=6cosCn6ahcosC=cr+h2,6ab+"———=a2+b1,a1+/22=^—

ab2ab2

tanCtanCsinCcosBsinA+sinBcosAsinCsin（A+B）1sin2C

--------1--------=--------------------；----；---------=--------；----；---=--------；----；---

tanAtanBcosCsinAsinBcosCsinAsinBcosCsinAsinB

5、(2011江苏卷7)已知tan(x+工)=2,则网上的值为__________,

4tanlx

-z乃、1+tanx1tanx_tanx_(1—tan2x)_4

解析】.tan(x+—)=-------==2,tanx=-,

41-tanxtan2x2tanx2~9

1—tan-x

本题主要考查三角函数的概念，同角三角函数的基本关系式，正弦余弦函数的诱导公式，两

角和与差的正弦余弦正切，二倍角的正弦余弦正切及其运用，中档题.

6、(2011江苏卷9)函数/(x)=Asin(0x+0),(A,o,夕是常数，A>0,o〉0)的部分图象

如图所示，则./■(())=

【解析】由图可知：A=42,-=—^--=-,CO=2,

41234

_77T­.3兀_.7T

2x]2+夕=2k兀H——,(p=Z.K7T+—,

/(0)=V2sin(2^+1)=^由图知：/(0)=当

本题主要考查正弦余弦正切函数的图像与性质，y=Asin(s+e)的图像与性质以及诱导

公式，数形结合思想，中档题.

TT

7(2013江苏卷1)函数y=3sin(2x+w)的最小正周期为。

答案：1.71

8(2013江苏卷11)设a为锐角，若cos[a+^]=d,则sin(2a+2)的值为.

k6j512

・ATIir*.Iritn(兀、4八7C、A2z7

【解析】根据cosa+—二—，cos(2an——)=2cos2(a4——)—1=2x----1=—,

k6)5362525

因为cos(2a+—)>0,所以sin(2a+—)=,因为

33V125y25

sin(2a+展)=sin[(2tz+y)--^J=sin(2a+y)cos-^-cos(2a+y)sin^=.

【点评】重点考查两角和与差的三角公式、角的灵活拆分、二倍角公式的运用.在求解三角

函数值时，要注意角的取值情况，切勿出现增根情况.本题属于中档题，运算量较大，难度

稍高.

(-)解答题

1、（2008江苏卷15）如图，在平面直角坐标系xoy中，以⑺轴为始边做两个锐角a,4，

它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点，已知A,,B的横坐标分别为官，¥.

（I）求tan（a+，）的值；（II）求a+2/J的值.

【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式.

由条件的cosa=祭,cos/?=213，因为a,£为锐角，所以sina='；,sin/?=g

因此tana=7,tan/?=；

/T、/tana+tan/?0

(I)tan(a+夕)=-----------=-3

1-tanatan(3

2tan04tana+tan2/7

(II.)tan2p=所以tan(a+24)

1一tan?/?31-tanatan277

,.,£,力为锐角，.，.0<£/+22<；-,；.6/+2尸=-^—

2、（2009江苏卷15）（本小题满分14分）

设向量a=(4cosa,sina),b=(sin设4cos6),c=(cos/?,-4sin/?)

(1)若。与b-2c垂直，求tan(a+〃)的值；(2)求|0+c|的最大值;

（3）若tanatan尸=16,求证：a//b.

【解析】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角

的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能力。满分M分。

（1）由“与。一2。垂直，a（&-lc）=ab-lac=0,

即4sin（a+/?）-8cos（a+尸）=0,tan（a+0=2,

（2）b+c=（sinp+cos/、Jcos尸一4sin尸）|

|D+cF=sin2尸+2snipcosp+cos2p+16cos2/?-32cos尸由ip+16sin2p

=17—30siDpcos/?=1--1?sin2p）最大值为32,所以|b+的最大值为4JJ.

（3）由tanatan0=I6得sin<zsiii/7=16cosacosp,即

■4cos6f4cos/?-sin（zsin/>=0>所以nub

3、（2010江苏卷17）（本小题满分14分）

某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m）,如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m,

仰角NABE=a,NADE=/?。

（1）该小组已经测得一组a、夕的值，tana=1.24,tan夕=1.20,请据此算出H的值：

（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m）,使。与

夕之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m,试问d为多少时，a-p

最大？

【解析】本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。

HHHh

(1)——=tan/?n=,同理：AB=-----,BD=——O

ADtan°tanatan0

〜口HHh“口htana4x1.24

AD—AB=DB,故得----------=----，解得：HTT=-------------=----------=124。

tan/?tanatan?tan/7—tana1.24-1.20

因此，算出的电视塔的高度H是124m。

HHhH—h

(2)由题设知4=AB,得tana=—,tan，=—=-=

dADDBd

HH-h

tan36)=tana-tan〃=dd="

1+tana-tan/3H—hd2+H(H-h),,H(H-h)

ddd

N2dH(H-h)，(当且仅当d="/("—〃)=J125xl21=55j5时，取等号)

故当d=55石时，tan（a-/7）最大。

因为则0<a—所以当d=55有时，a-4最大。

故所求的d是55后m。

4、（2010江苏卷23）（本小题满分10分）

已知4ABC的三边长都是有理数。

（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n,cosnA是有理数。

【解析】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、

解决问题的能力。

,222

（方法一）（1）证明：设三边长分别为a,b,c,cos4=厂—"-，是有理数，

2bc

。2+/一/是有理数，分母2灰,为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，

h24-r2-"2

3~三——必为有理数，,COSA是有理数。

2bc

（2）①当〃=1时，显然cosA是有理数；

当〃=2时，:cos2A=2cos?A-l,因为cosA是有理数，，cos2A也是有理数；

②假设当“W-ZN2)时，结论成立，即coskA、cos(Z-l)A均是有理数。

当〃=4+1时，cos(A：+1)A=cosMcosA-sinMsinA,

cos伏+1)A=cosMcosA-；[cos(M-A)-cos(M+A)"

cos(Z+1)A=cosMcosA--cos(Z:-1)A+—cos(A:+l)A,

22

解得：cos(Zc+1)A=2cosMcosA-cos(左一1)A

VcosA,cosM,cos(Z-l)A均是有理数，2cosZcAcosA-cos(2-l)4是有理数，

，cos(A+l)A是有理数。即当"=女+1时，.结论成立。

综上所述，对于任意正整数n,cosnA是有理数。

(方法.二)证明：(1)AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cosA=竺3^^有理数。

2ABAC

(2)用数学归纳法证明cosnA和sin4sinnA都是有理数。

①当〃=1时，由(1)知cosA是有理数，从而有sinA・sinA=1-cos2A也是有理数。

②假设当n=k(k21)时，cosAA和sinA•sinAA都是有理数。

当〃=A+1时,由cos(攵+1)A=cosAcos公一sinA•sin公，

sinA-sin(i+l)A=sinA-(sinAcosfc4+cosAsinAA)=(sinA-sinA)cosM+(sinA-sinM)-cosA,

及①和归纳假设，知cos(k+1)A和sinA-sin(Z+1)A都是有理数。

即当〃=&+1时，结论成立。综合①、②可知，对任意正整数n,cosnA是有理数。

5、(2011江苏卷15).在AABC中，角A、B、C所对应的边为4,b,c

JI1

(1)若sin(A+—)=2cosA,求A的值；(2)若cosA=-,Z?=3c,求sinC的值.

63

【解析】本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求

解能力。满分14分.

解：(1)sinAcos生+cosAsin工=2cosA,从而sinA=QcosA,所以cosA工0,

66

tanA=百,因^;0<a<乃，所以A=—.

3

(2)由cosA=」,/?=3c及。2=b2+c2-2Z?ccosA,得。2=b2-c2.

3

jr1

故AABC是直角三角形，且8=—，所以sinC=cosA=-.

23

6、(2012江苏卷15).(本小题满分14分)

在AABC中，已.知AB.AC=3BA.BC.

(1)求证：tanB=3tanA；(2)若cosC=1^,求A的值.

•冬”；磐望震匕鬻三角西数的基本关系式、两角和的正切公式、解三角

形，考查运算:当解些力和推理论证能力.满分14分.

解:⑴因为A8•m=3编•BC,所以必•AC-cosA=3BA-BC•cosB,

BPAC-cos4=3BC-cosB,由正弦定理知@

sinBsinA

从而sinBcos4=33n4cosB,

又因为0<4+8<宣,所以c8A>0,cosB>0.

所以tanS=3tanA.

(2)因为cosC=g,0<C<iT,所以sinC=，I«c<»，C

从而tanC=2,于是ian【F-(4+B)]=2.即tan(A+8)=_2

亦即唾%-2,由⑴得镶去2解用皿或4

因为cos40.故tanA=l,所以从二：.

4

【点评】本题主要.考查向量的数量积的定义与数量积运算、两角和与差的三角公式、三角

恒等变形以及向量共线成立的条件.本题综合性较强，转化思想在解题中灵活运用，注意两

角和与差的三角公式的运用，考查分析问题和解决问题的能力，从今年的高考命题趋势看，

几乎年年都命制该类型的试题，因此平时练习时加强该题型的训练.本题属于中档题，难度

适中.

7、(2013江苏卷18).18.本小题满分16分。如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至

。处有两种路径。一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到8,然后

从8沿直线步行到C。现有甲.乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为

50m/mine在甲出发2min后，乙从A乘缆车到6,在8处停留Imin后，再从匀速步行

到C。假设缆车匀速直线运动的速度为130/w/min,山路4c长为1260m,经测量,

cosA=—,cosC=-«

135

(1)求索道.AB的长；

(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

(3)为使两位游客在。处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围

内？

A

B,

123

18.解:(1)VcosA=一，cosC=—

135

754

A>Ce(0,—)sinA=——，sinC=—

2135

63

/.sin3=sin[;r-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=

AD40A(^

根据——二——得A3=——sinC=1040m

sinCsinBsinB

(2)设乙出发t分钟后，甲.乙距离为d,则

12

d2=(130r)2+(100+50/)2-2xl30rx(100+50r)x—

：.d2=200(37/-70,+50)

•；o即0<Y8

130

.•.r=335时，即乙出发335分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短。

3737

/八小十BCAC__AC..126055c，、

(3)由正弦7£理~----=-----■得BC=------sinA----------500(m)

sinAsinBsinB6313

65

乙从B出发时，甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达C

sm710

设乙的步行速度为V

v50

.500710.1250

.•―■JQsJ・・

v504314