2021版新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习 两直线的位置关系

第2讲两直线的位置关系

一、知识梳理

1.两直线的平行、垂直与其斜率的关系

条件两直线位置关系斜率的关系

平行

两条不重合的直线/1,12,斜率勺与勺都不存在

分别为勺，k2

垂直

与k2一个为零、另一个不存在

2.两条直线的交点

3.三种距离

点点距点Pg,%),P2(X2,为)之间的距离%尸/=3、2.-[)2+仇一])2

/①、+附、+。

点线距点尸(，%)到直线：)，的距离

0//Ar+8+C=052+82

两条平行线Av+By+G=0与A.r+By+C,=0间,IC.-Q

线线距d=V1

的距离、加+B2

常用结论

1.会用两个充要条件

(1)两直线平行或重合的充要条件

直线Z,：A|X+B1y+G=O与直线/2：A2x+B2y+C2=O平行或重合的充要条件是

_&片=0・

(2)两直线垂直的充要条件

直线Z|：A产+[y+G=O与直线l2zA^x+B^+C^Q垂直的充要条件是4勺+片々

=0.

2.直线系方程

(1)与直线Ar+By+C=0平行的直线系方程是Ax+8y+n?=0(,"GR且加#C).

(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=(Kn^R).

(3)过直线/,：A|X+B|)，+G=0与l2：A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为4产+纥)，

+C(+202X++C2)=0(2eR),但不包括lr

3.六种常用对称关系

(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(一X,-y).

(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于)，轴的对称点为(一x,y).

(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(一y,—%).

2

(4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a—x,y),关于直线y=b的对称点为(x,2b-y).

(5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a—x,2b-y).

(6)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k

+y,x~k).

二、教材衍化

1.两直线4x+3y=10与2x—j—10的交点坐标为.

答案：(4,-2)

2.已知点(a,2)(a>0)到直线厶x—>+3=0的距离为1,则。等于

答案：V2-1

3.已知直线/,：ax+3y+l=0,92x+(a+l)y+1=0互相平行，则实数a的值是

]a(a+l)=2X3,

解析：由直线乙与/,平行，可得解得a=-3.

12[qXlW2,

答案：一3

一、思考辨析

判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

⑴当直线乙和4的斜率都存在时，一定有勺=勺0/1〃片()

(2)如果两条直线乙与勺垂直，则它们的斜率之积一定等于一1.()

(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.()

(4)已知直线4产+8P+£=0,/2：q,4，&，C2为常

数)，若直线/]丄3则Af+B/2=。()

(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()

答案：⑴X(2)X(3)J(4)V(5)7

3

二、易错纠偏

常见误区I（1）求平行线间距离忽视X，），的系数相同；

（2）判断两条直线的位置关系忽视斜率不存在的情况.

1.两条平行直线31+4），-12=0与6x+8y+11=0之间的距离为（）

2323

A.亍B.正

7

C.7D.2

解析：选D.直线3x+4y-12=0可化为6x+8y—24=0,所以两平行直线之间的距离

“111+2417

136++2

2.已知直线6：or+y-4=0和/,：2x+ay+1=0若6丄3则〃=.

解析：因为4丄厶，则2。+“=0,所以a=0.

答案：0

考点一两直线的位置关系（基础型）

复习指导।能根据斜率判定两条直线平行或垂直.

核心素养数学运算，逻辑推理

4

(一题多解)已知直线4：nx+2y+6=0

和直线厶：x+(a—l)y+a2—1=0.

⑴当/]〃，2时，求&的值；

(2)当4丄)时,求a的值.

【解】(1)法一：当。=1时，/jx+2y+6=0,

l2：x=0,1]不平行于/2；

当a=0时，4：y=~3,/2：A—)—1=0,(不平行于右

当aWl且“W0时，

a_1

两直线方程可化为/,:)，=一生一3",:)，=丁丄=一("+1),由/,〃/,可得《\~a

、-3W—(a+1),

解得〃=一1.

综上可知，a=—1.

右々一乙片二。，

法二：由/]〃/2知

4G一”产0,

ILZ1

f«(a-l)-lX2=0,(a2-a-2=09

即,今《=〃=­1.

a(a2—l)—1X6W01)工6

(2)法一：当4=1时，/]：x+2y+6=0,/2：x=0,乙与(不垂直，故a=l不符合;

当"Hl时，(：y=—^x—3,12：(a+D，

由丄4，得(一葭)・1L=-[=>a=。.

法二：因为4丄J所以44+与吗=0,

2

即a+2(q—1)=0,得a=g.

5

(1)两直线平行、垂直的判断方法

若已知两直线的斜率存在.

①两直线平行台两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等.

②两直线垂直台两直线的斜率之积等于一1.

［提醒］判断两条直线位置关系应注意：

(1)注意斜率不存在的特殊情况.

〈2〉注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.

(2)由两条直线平行与垂直求参数的值的解题策略

在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能

性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或

漏解.

1.(2020•天津碧海区联考)"a=l"是"直线av+2y—8=0与直线x+(“+l)y+4=0

6

平行”的()

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析：选A.设直线/|：依+2)，-8=0,直线*x+(a+l)y+4=0.若(与“平行，则

〃3+1)—2=0,即a2+a-2=0,解得a=1或〃=-2.当。=-2时，直线乙的方程为一2x

+2y—8=0,即x—y+4=0,直线/2的方程为x—y+4=0,此时两直线重合，则—2.

当a=l时，直线4的方程为x+2y-8=0,直线/，的方程为x+2y+4=0,此时两直线平行.故

"〃=1”是“直线ax+2y—8=0与直线x+(a+l)y+4=0平行”的充要条件.故选A.

2.求满足下列条件的直线方程.

(1)过点尸(一1,3)且平行于直线x—2y+3=0；

(2)已知A(l,2),B(3,1),线段AB的垂直平分线.

解：(1)设直线方程为x-2y+c=0,把P(-l,3)代入直线方程得c=7,

所以直线方程为x-2y+7=0.

(2)A8中点为得°,岑)，即(2,D，

直线AB斜率歸=泊=一!

故线段AB垂直平分线斜率％=2,

3

所以其方程为y-^=2(x-2),即4x-2)，—5=0.

考点二两直线的交点与距离问题(基础型)

复习指导।1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.

2.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离.

核心素养：数学运算

角度一两直线的交点与直线过定点

7

(1)对于任给的实数相，直线(加-1)无十

(2m—l)y=机一5都通过一定点，则该定点的坐标为()

A.(9,-4)B.(-9,-4)

C.(9,4)D.(-9,4)

(2)经过两直线攵%—2y+4=0和gx+y—2=0的交点尸，且与直线仁3x-4y+5=

0垂直的直线/的方程为.

【解析】(1){m—1)x+(2w—1)y=AT?-5即为fn(x+2y—1)+(—x—y+5)=0,故此直线

[x+2y—1=0,

过直线x+2y—1=0和一x—y+5=0的交点.由{得定点的坐标为(9,-4).故

[-五一)'+5=0

选A.

%—2y+4=0,fx=0,4

(2)由方程组.得即P(0,2).因为/丄&所以直线/的斜率女=一个

x+y-2=0,[y=2,33

4

所以直线/的方程为y—2=一7G即4x+3y—6=0.

【答案】(1)A(2)4x+3y—6=0

角度二三种距离问题

8

⑴已知点P(-L-1),A(l,0),B(0,

1),则△A8P的面积为.

(2)若两平行直线(：x—2y+/n=0(m>0)与夕2%+犯一6=0之间的距离是帀，则加十

n=・

【解析】(1)因为4(1,0),8(0,1),所以381=皿，直线A8的方程为x+y-l=0,

3133

则点尸(-1,一1)到直线45的距离〃=下，所以△A8P的面积为'X6X方=,.

(2)因为乙，4平行，所以1义〃=2义(-2),1X(—6)/2义加，解得〃=一4,加左一3,

所以直线小工一2)，-3=0.又//勺之间的距离是帀，所以市三=帀，得机=2或机=一

8(舍去),所以加+〃=—2.

3

【答案】(1)2(2)-2

两种距离的求解思路

9

（1）点到直线的距离的求法

可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式.

（2）两平行直线间的距离的求法

①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的

距离；

②利用两平行线间的距离公式（利用公式前需把两平行线方程中x,y的系数化为相同的

形式）.

1.与直线//3x+2y—6=0和直线96x+4y—3=0等距离的直线方程是.

3

解析：6x+4y—"3=0化为3x+2y—/=0,

所以《与“平行，设与乙，4等距离的直线/的方程为3x+2y+c=0,

3

则lc+6l=lc+1,

解得c=一

所以/的方程为12x+8y—15=0.

答案：12x+8y-15=0

2.乙，4是分别经过41，1），8（0,-1）两点的两条平行直线，当44间的距离最大

时，直线乙的方程是.

解析：当两条平行直线与A,8两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大.又hAbR

—1—111

=-0_]=2,所以两条平行直线的斜率为攵=—5，所以直线/1的方程是y—1=一2（工一1）,

即x+2y—3=0.

答案：元+2厂3=0

考点三对称问题（综合型）

10

复习指导।对称问题的核心是点关于直线的对称问题，要把握两点，点例与点N关于

直线/对称，则线段的中点在直线/上，且直线/与直线MN垂直.

已知直线/:2x-3y+l=0,点4(一1,

-2).求：

(1)点A关于直线/的对称点4的坐标；

(2)直线m:3x-2y-6=0关于直线/的对称直线加的方程.

C+13丄'

【解】(1)设4(无，y),由已知得］

X—1y-2,

12X---3X1y-+l=0,

f.=_33

13

解得］4所以4(一||，訳

0=诃

(2)在直线"?上取一点，如M(2,0),

则M(2,0)关于直线/的对称点必在直线”上.

设M\a,b),则

解得M'

设直线机与直线/的交点为N,

2x—3y+l=0,

则由

又因为加经过点N(4,3),

所以由两点式得直线M的方程为9x-46)'+102=0.

II

【迁移探究】(变问法)在本例条件下，求直线/关于点4(-1,-2)对称的直线1的

方程.

解：设尸(x,y)为上任意一点，则P(x,y)关于点4(一1,一2)的对称点为尸(一2一X,

-4-y)>

因为P在直线/上，

所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,

即2x-3y-9=0.

12

1.与直线3x—4y+5=0关于x轴对称的直线方程为.

解析：设4(x,)，)为所求直线上的任意一点，

则4(x,-y)在直线版一4)，+5=0上，即31~4(一)，)+5=0,故所求直线方程为3x+4y

+5=0.

答案：3x+4y+5=O

2.已知点4(1,3)关于直线＞=自+6对称的点是8(—2,1),则直线在x轴

上的截距是.

解析：由题意得线段的中点(一3,2)在直线产履十。上，故『।解得k

〔一；k+b=2,

3535355

=—2，匕=不所以直线方程为y=—那+［令y=O,即一尹+^=0，解得X=彳，故直线y

=kx+b在x轴上的截距为焉.

答案：1

13

［基础题组练］

I.已知直线以+2y+2=0与3x—>—2=0平行，则系数。=()

A.13B.—6

「3一2

C.—2D.

解析：选B.由直线ox+2y+2=0与直线3x—y—2=0平行知，一?=3,a=—6.

2.已知直线4x+my—6=0与直线5x—2y+〃=0垂直，垂足为(，，1),则〃的值为()

A.7B.9

C.11D.-7

解析：选A.由直线4x+my—6=0与直线5x—2y+〃=0垂直得，20—2m=0,ni=10.

直线4%+10),—6=0过点(31),所以4，+10—6=0,/=—1.点(一1,1)又在直线5x-2y+〃

=0上，所以-5—2+几=0,n=7.

3.若点P在直线版+)，-5=0上，且P到直线x—y—1=0的距离为，L则点尸的坐

标为()

A.(1,2)B.(2,1)

C.(1,2)或(2,-1)D.(2,1)或(一1,2)

解析：选C.设尸(心5-3x),则［=应等答匚"=也，化简得14工一61=2,

-2+(-1)2V

即4x—6=±2,解得x=1或x=2,

故P(L2)或(2,-1).

4.直线収+y+3o—1=0恒过定点则直线2x+3y—6=0关于M点对称的直线方

程为()

A.2x+3y—12=0B.2x—3y—12=0

14

C.c-3y+12=oD.2r+3y+12=0

x+3=0,

解析：选D.由ur+y+3a—1=0,可得a(x+3)+(y—1)=0,令可得x=—

厂1=0,

3,y=\,所以M(—3,1),M不在直线2x+3y-6=0上，设直线2x+3y—6=0关于M点

|-6+3-61I-6+3+cl

对称的直线方程为2x+3y+c=0(cW—6),则尸三一=；==—,解得c=12或c=

y]4+9

一6(舍去)，所以所求方程为2y+3y+12=0,故选D.

5.直线2x—)，+3=0关于直线x—y+2=0对称的直线方程是()

A.x-2y+3=0B.x—2y—3=0

C.x+2y+l=0D.x+2y-1=0

解析：选A.设所求直线上任意一点P(x,y),则尸关于x-y+2=0的对称点为Pg),

%)，

x+xy+y.

wAr+2n=。,x°=y_2,

由‘得

%=x+2,

lx-x0=-(y-.y0)

由点P\x0,%)在直线2x-y+3=0上，

所以2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.

6.过两直线厶：x—3y+4=0和/,：2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为.

解析：过两直线交点的直线系方程为x-3)，+4+42r+)，+5)=0,代入原点坐标，求得

44

k—故所求直线方程为x-3y+4-^(2x+y+5)=0,即3x+19y=0.

5'

答案：3x+19y=0

7.已知直线*ar+y+3a—4=0和4：2x+(“一l)y+a=0,则原点到乙的距离的最大

值是;若则4=_

解析：直线/Jax+y+3a—4=0等价于a(x+3)+y—4=0,则直线过定点4(-3,4),

当原点到/|的距离最大时，满足OA丄/1,此时原点到厶的距离的最大值为1。41=玳-3)2+42

=5.

若〃=0,则两直线方程为)，-4=0和2x-y=0,不满足直线平行；

若。=1,则两直线方程为x+y—l=0和2x+l=0,不满足直线平行；

(I13a-4

当且时，若两直线平行，则5=--------，

2a—1a

由K士得“2一。-2=0'解得『2或a=T

,,a3。—4.,

当〃=2时，2=一-一，舍去，

a3a-4

当〃=-1时，---,成立，即4=—1.

15

答案：5-1

8.己知点1,2),8(3,4).尸是x轴上一点，S.\PA\=\PB\,则的面积为.

解析：设4B的中点坐标为M(l,3),

4-21

所以A3的中垂线方程为y-3=-2(x-l).

即2x+y—5=0.令y=0,则x=|,

即尸点的坐标为(|,0),

1481r(-1-3)2+(2—4)2=2巾.

点P到AB的距离为

所以$八阴尸34'"尸必=；*2帀乂3，=呈

gq15

答案：~

9.已知两直线ax—/>y+4=0和小(“一l)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的

值.

(1)/,±/2，且直线/1过点(一3,-1)；

(2)/]〃小且坐标原点到这两条直线的距离相等.

解:⑴因为/|丄3

所以a(a~~1)—b=0.

又因为直线4过点(一点-1),

所以一3。+。+4=0.

故a=2,b=2.

(2)因为直线(的斜率存在，/4J

所以直线4的斜率存在.

所以蓝=1—a.①

又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，

4

所以/,在y轴上的栈距互为相反数，即万=/?.②

2

联立①②可得4=2,/?=-2或a=g,b=2.

10.已知△ABC的顶点A(5,1),A8边上的中线CM所在直线方程为2x-y—5=0,AC

边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0,求直线BC的方程.

16

解：依题意知：kAC--2,A(5,1),

所以/”的方程为2x+y-ll=0,

[2x+y-ll=0,

联立'得C(4,3).

[2x-y-5=0,

设8(%,凡)，则AB的中点唁9,

代入2r—y—5=0,得27—%—1=0,

&0_丸一]=°，

联立得B(一L-3),

%-2%一5=0,

所以&&、=%所以直线BC的方程为y—3=5(工一4),即6庁-5y—9=0.

［综合题组练］

1.已知直线y=2x是△ABC中NC的平分线所在的直线，若点A,3的坐标分别是(-4,

2),(3,1),则点。的坐标为()

A.(-2,4)B.(-2,-4)

C.(2,4)D.(2,-4)

j*X2=-l,

<冗+4

解析：选C.设4-4,2)关于直线)，=2x的对称点为(x,y),则］解

y+2-4+x

x~~4>—2—1

得｛所以BC所在直线方程为y—1=一^~瓮一3),即3x+y-10=0.同理可得点8(3,

y=—2,4—3

3—2

I)关于直线)，=2r的对称点为(-1,3),所以AC所在直线方程为丫一2=三二p*(x+4),

［3x+y—10=0,［x=2,

即x-3y+10=0.联立得j_r+i0_0解得j_4则C(2,4).故选C.

2.(创新型)(多选淀义点「(%,%)到直线&ax+by+c=03+枕W0)的有向距离为(1

="啓在已知点卩到直线［的有向距离分别是dd,.则以下命题不正确的是()

■\Ja2-\-b2।/1/

A.若4=42=1，则直线尸］匕与直线/平行

B.若4=1,&=一1，则直线々22与直线/垂直

C.若4+4=0，则直线尸］々与直线/垂直

D.若4•4・()，则直线冃々与直线/相交

解析：选BCD.对于A,若4=”2=1，则ax［+如+c=%+如+c=62+=2,直线

?P2与直线/平行，正确；

对于B,点4，P,在直线/的两侧且到直线/的距离相等，尸F未必与/垂直，错误：

对于c,若4=4=0,即4%+力1+。=办2+力2+c=°，则点尸1，匕都在直线/上，

17

所以此时直线/p,与直线/重合，错误；

对于D,若即(,%+切|+。)(以2+勿2+。)<°，所以点P1，22分别位于直线

/的两侧或在直线/上，所以直线P1P,与直线/相交或重合，错误.

3.设mWR,过定点A的动直线x+my=O和过定点8的动直线g—y—机+3=0交于

点P(x,y),贝IJIE4HP8I的最大值是.

解析：易知定点4(0,0),8(1,3),且无论〃?取何值，两直线垂直.

所以无论P与A,8重合与否，均有iaW+lPBl2=L48l2=10(P在以AB为直径的圆上).

所以四•炉8层(四2+IP82)=5.

当且仅当LB4I=PBI=小时等号成立.

答案：5

4.如图，已知厶(一2,0),8(2,0),C(0,2),£(-1,0),尸(1,0),一束光线从尸点出

发射到8C上的。点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段A