高考数学一轮复习精练必备 第21练 空间几何体（教师版）

第21练空间几何体

学校姓名班级____________

一、单选题

1.已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图是一个圆心角为120。的扇形，则该圆锥的表

面积为（）

A.2兀B.34C.47rD.5万

【答案】c

【详解】

设圆锥的母线长为/，则/•日=2%,解得/=3,则该圆锥的表面积为万*3X1+7X12=4%.

故选：C.

2.一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为2（比，则该四棱

柱的高为（）

A.GB.2C.3亚D.V19

【答案】C

【详解】

设球的半径为R，则4兀戸=20兀，解得紹=5

设四棱柱的高为厶，则庁+1+[=4戸，解得力=3立

故选：C

3.如图，△49C是水平放置的的斜二测直观图，其中0'C'=0'A'=208',则以下说

法正确的是（）

A.△力阿是钝角三角形B.△/回是等边三角形

C.△/!充是等腰直角三角形D.比是等腰三角形，但不是直角三角形

【答案】C

【详解】

解：将其还原成原图，如图,

设AC'=2,则可得O8=2(7B'=1,AC=AC'=2,

从而AB=BC=e，

所以A庁+3C2=AC?，即AB丄3C,

故,ABC是等腰直角三角形.

故选：C.

4.已知圆柱的底面半径和高都是2,那么圆柱的侧面积是（)

A.4万B.8%C.12TD.16%

【答案】B

【详解】

因为圆柱的底面半径和高都是2,所以圆柱的侧面积S=2x乃x2x2=8".

故选：B.

5.圆柱内有一个球。，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为16兀,

则球0的体积为（)

A32几n64兀

A.——B.——C.16KD.12兀

33

【答案】A

【详解】

设球。的半径为此则圆柱的底面圆的半径为R,高为2R,

所以兀/?2.2/?=16兀，解得：R=2,

则球。的体枳为A:成3=争X）

故选：A

6.通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到

的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm和4cm）制作该容器的侧面，则该圆台

形容器的高为（)

A-乎cmD.也cm

B.1cmC.6cm

2

【答案】D

【详解】

由已知圆台的侧面展开图为半圆环，不妨设上、下底面圆的半径分别为r，R(r<R),

则2w=兀x1,2K/?=兀x4,解得r=一,R=2.

2

所以圆台轴截面为等腰梯形，其上、卜底边的长分别为1cm和4cm,腰长为3cm,

即AD-\,BC=4,AB=3,过点A作AH丄BC,H为垂足，

所以=AH=^-

22

该圆台形容器的高为逑cm,

2

故选：D.

7.在矩形ABC。中，45=24)=12,点E,E分别是A8,C。的中点，沿EF将四边形

AEED折起，使厶£3=60。，若折起后点A,B,C,D,E，F都在球。的表面上，则

球。的表面积为()

A.64nB.72KC.84兀D.96兀

【答案】C

【详解】

因为矩形ABCO中，/1B=2A£>=12,点E，/分别是AB,C。的中点，

所以四边形AEF£>和四边形EFCB是正方形，

又沿EF■将四边形折起，使/4EB=60。，

所以几何体A班-短PC是正三棱柱，A£>=6,

设球。的球心。在底面DFC的射影为G,因此GO=丄AO=丄x6=3,

22

显然G是等边三角形DFC的中心，

FG=-FH=-^DF2-DH2=2、"(丄X6)2=^x3上=2上,

333V23

在直角三角形OFG中，OF貝OG?+FH。=+(2冏=后，

所以球。的表面积为4兀。尸=84兀,

故选：C

8.在,43。中，AB=BC=4,ZABC=150°,若将ABC绕直线回旋转一周，则所形成

的旋转体的体积是()

A.37rB.—7iC.9兀D.—冗

33

【答案】B

【详解】

旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，

作出简图：

所以。4=2,OB=2jL

所以旋转体的体积：gxix22x(OC-O8)=早.

故选：B.

9.已知SA,B,。是球。表面上的点，SA丄平面ABLBC,SA=AB=0,

8C=火，则球0的表面积等于()

A.94B.87C.12乃D.10/r

【答案】A

【详解】

因为S、A、B、C是球。表面上的点，

所以。4=O8=OC=QS

又SA丄平面ABC,AB,BC,ACcABC,

所以SA丄A3,SALAC,SA1BC,

因为AB丄BC,SAABu平面SAfi,SAr>AB=A,

所以8c丄平面SAB,而BSu平面SAB,

所以3c丄BS,

所以可得。为SC的中点，SA=AB=®，BC=y[5,

R

所以AC=77,SC=3,

所以球。的半径径为R=¥=3，

22

所以球。表面积为4%内=9万.

故选：A.

10.已知正四棱锥的侧棱长为/364，且3W/W36,则该正四棱锥体积的取值范围是

()

\81]「2781]「2764]

A.1o8,—B.-C.-D.[18,27]

_4」144」[43_

【答案】C

【详解】

•••球的体积为36%，所以球的半径R=3,

设正四棱锥的底面边长为2“，高为厶，

则『=2/+庁，32=2a2+(3-A)2,

所以6/i=广，2a2=I2-h2

Ii2/4I2\(/6

所以正四棱锥的体枳V=wS/i=wx4巒x〃=£X(/2一正)X"=N/'-正

3333669136

所以丿

当34”2指时，V'>0，当2拓<”3石时，丿<0,

所以当/=2指时，正四棱锥的体积V取最大值，最大值为

27Q1

又/=3时，V=—,/=36时，V=—,

44

所以正四棱锥的体积V的最小值为2多7,

4

所以该正四棱锥体积的取值范围是

故选：C.

二、多选题

TT

11.在边长为2的菱形ABC。中，ZBAD=~,DELAB,垂足为点6,以施所在的直线

为轴，其余四边旋转半周形成的面围成一个几何体，则()

A.该几何体为圆台B.该几何体的高为G

C.该几何体的表面积为7万+26D.该几何体的体积生坛

3

【答案】BCD

【详解】

解：由题意可知，该几何体的结构为半个圆锥和半个圆台，

该几何体的高为£>E=G，

该儿何体的表面积为

S=1^-l-2+^-l2+^(l+2)-2+1^(l2+22)+2xlx2x^=7^+2>/3.

=—x—x^-x-V3+—x—x^-x>/3x(l+4+2)=土刼.

2323''3

故选：BCD

12.”阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi-regularsolid),是由边数不全相同的

正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的

三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为

正方形的一种半正多面体，已知=则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的

有（）

B.该半正多面体过小B,。三点的截面面积为3百

C.该半正多面体外接球的表面积为12万

D.该半正多面体的顶点数K面数尺棱数£满足关系式V+k-E=2

【答案】ABD

【详解】

如图，

该半正多面体，是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的.

对于A,因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为：

V=2x2x2-8xlxlxlxl=—,故正确；

323

对于B,过4B,C三点的截面为正六边形4?第皿所以5=6、¥*（&）2=36，故正确.

对于C,根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为侧棱长为2

的正四棱柱的外接球，所以该半正多面体外接球的表面积5=4%戸=41x（应『=8*故

错误；

对于D,几何体顶点数为12,有14个面，24条棱，满足12+14-24=2,故正确.

故选：ABD

13.己知正方体ABCD-A8CR的棱长为。，则（）

A.正方体的外接球体积为3/兀B.正方体的内切球表面积为4/兀

2

C.与AA异面的棱共有4条D.三棱锥A-A8Z）与三棱锥A-BQQ体积

相等

【答案】ACD

【详解】

V正方体外接球的半径R=®a，内切球的半径，=

22

正方体的外接球体积为V=—it/?3=—a3n＜内切球表面积为S-4;cr2-a2it

32

A正确，B不正确；

与AA异面的棱有8C,CDBG，GR，共有4条，C正确；

•••%-弘。=%-4鹤，则三棱锥与三棱锥。一4円。的高AA=DA，底面积

SAB"=SA44，故体积相等,D正确；

故选：ACD.

三、填空题

14.将一个棱长为友的正四面体放入一个正方体的玻璃容器，若要求该正四面体能在正

3

方体容器中自由旋转，则该正方体容器的棱长的最小值为.

【答案】2

【详解】

由题若正四面体能在正方体容器中自由旋转，

则当正方体最小时，其内切球是该正四面体的外接球，

又由棱长为也的正四面体的外接球半径西x逅=1,

334

此时正方体的棱长为2.

故答案为：2.

15.已知圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为等的球面上，圆柱底面半径为4,则该

圆柱的表面积为.

【答案】80%

【详解】

设圆柱外接球半径为：R,圆柱的母线长为：h,

由圆柱的性质得，外接球球心在上下底面圆心连线的中点处，

h

所以外接球球心到底面的距离为圆柱母线的一半：P

所以/?2=不+⑶:又”眩=迎£,解得R=5,〃=6,

（2丿33

所以圆柱的表面积为：万x4?x2+2x万x4x6=80万.

故答案为：80%.

四、解答题

16.已知正四棱柱48C。—ABIGR，其中A5=3,A4）=2y/3.

（1）若点尸是棱AA上的动点，求三棱锥片-演。的体积.

⑵求点2到平面A0的距离

【答案】⑴3A2卓vn

【解析】（1）

实际上需求三棱锥P-B/C的体积.

由正四棱柱，8耳=A4]=2百,3C=AB=3,4B=AB=3

角形亠BC的面积为S△及耽=；・BC・8耳=gx3x28=36

因为〃是棱AA上的动点且AA与平面BCG四平行，则只需写出AA9平面BCC円间的距

离即可.

由于AB丄平面BCC4,不妨记三棱锥的高为AB

则三棱锥P-B.BC的体积VP_B1SC=1.S△母BC-AB=；x3百x3=36

(2)

以。为原点，如图建立空间直角坐标系.

则A(3,0,0),耳(3,3,2^),C(0,3,0),〃(0,0,26)

可知DR=(3,3,0),C4=(3,-3,0),Cfi,=(3,0,26)

设平面ACBI的法向量为〃=(x,y,z)

n-CA=03x-3y=0'-'

则〈cr73

n-CB.=03x+2\!3z=0z=-x

2

不妨设”=(2,2,-6)，同时设点R到平面4CB,的距离为d

耳

则d=

I"I

故点R到平面ACB1的距离为?而

17.如图，在棱长为1的正方体中，截去三棱锥4-A8。，求:

(1)截去的三棱锥A-A8D的体积;

(2)剩余的几何体的表面积.

【答案】(1)2(2)巴电

62

【解析】(D

•.•正方体的棱长为1,

三棱锥A-A8D的体积%^>=9一協=<S..AA=!x：xlxlxl=:

332o

(2)

是边长为血的等边三角形，SABD=%必眉吟=与,

・q_q_q—J.

••0CBD一心A,DtD.uAiB{B~?，

=

SBC%C1=SCDD1clSA岛CG