【数学】棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件-2023-2024学年高一下人教A版（2019）必修第二册

8.3简单几何体的表面积和体积

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积回顾与引入

前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和平面表示，本节课进一步学习简单几何体的表面积和体积．表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小．

在小学和初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？

在本节中我们会涉及到常用平面多边形面积，你能熟练地计算它们的面积吗?矩形正方形三角形┐┐┐平行四边形正六边形知识探究(一)

思考1:

由以上你能得出对于于一个多面体,它的表面积应如何计算吗?从而进一步得出棱柱、棱锥、棱台表面积的计算方法吗?

由于多面体是由若干个平面多边形的面围成的几何体，因此，它的表面积应该是各个多边形的面积之和.棱柱、棱锥、棱台表面积的计算方法棱柱、棱锥、棱台的表面积等于围成它们的各个面的面积之和

思考2:具体地讲，棱柱、棱锥、棱台的各个面是怎样的，它的表面积应如何计算？棱柱多边形平行四边形侧面积等于侧面的各个平行四边形的面积和.表面积等于底面积与侧面积的和.返回棱锥多边形梯形侧面积等于侧面的各个三角形的面积和.表面积等于底面积与侧面积的和.多边形侧面积等于侧面的各个梯形的面积和.表面积等于底面积与侧面积的和.三角形返回例析

例1.已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积．BCAP∴其面积为∵△PBC是边长为a的正三角形∴四面体P-ABC的表面积为思考1:围成这个四面体的各个面是什么样的图形？4个全等的正三角形思考2:边长为a

正三角形的面积等于多少？解：知识探究(二)

思考1：我们以前已经学习了正方体、长方体的体积公式，它们分别是怎样的?

思考2：正方体、长方体都是一种特殊的棱柱，从棱柱的底和高的角度来看，以上体积公式可以怎样写，由此你能猜想出一般棱柱的体积公式吗?棱柱的体积公式

一般地，如果棱柱的底面面积为S，高为h，那么这个棱柱的体积

说明：

(1)棱柱的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离.

(2)对直棱柱而言，由于侧棱垂直于底面，因此直棱柱的侧棱长即为直棱柱的高.棱锥、棱台的体积公式

如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．

一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么这个棱锥的体积为

由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式.

棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.

棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.

一般地，如果棱台的上底面面积为S′，下底面面积为S，高为h，那么这个棱台的体积为返回

思考3：棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？棱柱、棱锥、棱台的体积公式间的关系返回例析

例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米？(精确到0.01m3)

思考:你能画出这个几何体的直观图吗？其容体该如何求呢？

由于这个几何体由一个长方体和一个四棱锥组合而成，因此其容积为长方体和四棱锥的体积之和.解：由题意得即这个漏斗的容积约为0.67m3.

例3.如图，正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面边长为10，下底面边长为20，侧面的高(斜高)为13.求：(1)四棱台表面积;(2)四棱台的体积.

思考1:一般地，正棱锥、正棱台侧面的高称为它们斜高(一般用h′表示)，你能作出此正四棱台的一条斜高吗？

∵侧面BCC1B1是等腰梯形

∴

取BC中点E，B1C1是中点E1，则EE1为梯形BCC1B1的高，即棱台的斜高.解：

注:

空间几何体中的辅助线，看得见的画成实线，被遮住的画成虚线。

例3.如图，正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面边长为10，下底面边长为20，侧面的高(斜高)为13.求：(1)四棱台表面积;(2)四棱台的体积.

思考2:你能作出此正四棱台的一条高吗？如何计算？

∴

取分别上底和下底的中心O1和O，则OO1此棱台

的高解：在直角梯形OEE1O1中练习

1.正六棱台的上，下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积.解：

如图，棱台ABCDEF-A′B′B′C′D′E′F′为正六棱台，且AB=6cm，A′B′=2cm，AA′=5cm.过A′作A′H⟂AB于H，则∴此棱台的表面积为

2.如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其适当

分割成棱长为1cm的小立方体.(1)共得到多少个棱长为1cm的小立方体？(2)三面是红色的小立方体有多少个?它们的表面积之和是多少?

(3)两面是红色的小立方体有多少个?它们的表面积之和是多少?(4)一面是红色的小立方体有多少个?它们的表面积之和是多少?(5)六面均没有颜色的小立方体有多少个?它们的表面积之和是多

少?它们占有多少立方厘米的空间?解：(1)共有64个(2)有8个,

它们的表面积之和是48cm2.(3)有24个,

它们的表面积之和是144cm2.(4)有24个,

它们的表面积之和是144cm2.(5)六面均没有颜色的小立方体有8个,

它们的表面积之和是32cm2，

它们占有的空间是8cm3.

3.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截

去八个一样的四面体得到的.如果被截正方体的棱长是50cm，

那么石凳的体积是多少m3？解：

如图所示，正方体ABCD-A′B′B′C′D′的棱长AB=50cm=0.5m,则

AE=AF=AG=0.25m∴

这个石凳的体积为4.求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面

的面积.解：

如图示，直三棱柱ABC-A′B′C′中，设底面ABC的三边分别为a,b,c，棱柱的高为h，则有ACBA′C′B′ahcb∴直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.课堂小结

1．多面体的表面积如何计算，棱柱、棱锥、棱台的表面积呢？2．棱柱、棱锥、棱台的体积公式是怎样的？它们之间的体积公式有何关系？3．对于组合体，我们在计算它的表面积和体积要注意什么问题？(1)首要弄清组合体是则哪几种基本