-课时2-方向角、仰角、俯角的定义角的比较角的和差名师教学设计

初中数学名校资源9/11《方向角、仰角、俯角的定义，角的比较，角的和差》教学设计一、教学内容分析角的比较、角的和与差是本章重要的基础知识，也是后续学习几何图形必备的基础知识.角的大小比较方法有两种：度量法和叠合法.其中，叠合法是本课重点讲解的一种方法，叠合时使两个角的顶点及一边重合，另一边落在第一条边的同旁，保证了可比性；度量法中量角器起到了移角作用，其实质是将两个角移动后叠合在一起.比较两角的大小是本节知识产生、发展的起点，不论是图形还是数量，除角的大小外，自然会产生角的和与角的差的问题，再将角的和与差特殊化，自然又会产生等分问题.与线段的比较、线段的和与差、线段的中点一样，角的比较、角的和与差、角平分线也是从数和形两方面来研究的.研究方法：一是数与形结合，角的度数通过测量或计算得到，再比较数量大小，通过数量大小关系得到图形的关系；二是仅从形出发，利用几何元素的位置来比较或推理.从知识内容上看，角的比较、角的和与差是类比线段的比较、线段的和与差；从叙述方式上看，它们都是采用图形语言、文字语言和符号语言综合描述所研究的对象；从学习过程看，二者都注意从具体到抽象（模型→图形→文字→符号），同时也重视逆向思维的训练.基于以上分析，确定本节课的教学重点：角的大小、角的和与差的意义及数量关系；感受类比的思想.数学初始阶段，离不开实际生活，这里我们仍然会考虑实际生活中的角的研究，引入实际生活中方位角、仰角、俯角的定义，培养学生的几何抽象能力.角是由两条共端点的射线构成，在图形上比较于线段而言略显复杂，学生识图、分析图形会增加一些难度.总之，本节课将类比线段的学习过程，螺旋上升学生的几何抽象能力和推理论述水平.二、学生分析学生在前面知识的学习中已经积累了一些几何学习方法，对于几何抽象、几何作图、几何三种语言的转化有了一定的基础，但是学生的接受能力是有差异的，这一点在初学者身上会有明显地体现，特别是分类讨论的时候，有些同学往往不知道如何画图、如何表述，没有推理，只有计算的现象仍然会出现，对于这种正常的现象，教师要保持耐心，搭台阶，不要急于求成.三、目标确定1.掌握仰角、俯角、方向角的定义，并会画图，测量、计算.2.会利用测量法、叠合法进行两个角的大小比较.3.会根据图形用符号语言表示角的和与差，会简单的推理计算.4.会根据已知条件，分类画图、推理、计算.5.培养几何抽象能力，建立类比的学习方法，培养分类讨论思想和推理能力.四、重点难点重点：会根据图形用符号语言表示角的和差，并会简单的推理计算；难点：会根据已知条件，分类画图、推理、计算.五、评价设计“方向角、仰角、俯角的定义，角的比较，角的和差”学习评价量表标准等级掌握仰角、俯角、方向角的定义和画法.A掌握测量法、叠合法比较角的大小.A会用符号语言表示角的和差.A会用符号语言对角进行简单的推理和计算.B会根据条件，画出位置不同的图形并对其进行分类解答问题.C六、活动设计教学环节教学活动设计意图教师活动学生活动情境导入问题1：小明同学站在三楼教室里向窗外平视时，发现树上有一只鸟，向上看时，看见树接近顶端有一个鸟窝，向下看时，发现树根处有一块石头，请问这个情境里面有什么几何图形？你能将它们抽象出来吗？教师定义：仰角：当观察者抬头望一物时，其视线与水平线的夹角称为仰角.俯角：当观察者低头望一物时，其视线与水平线的夹角称为俯角.小明同学用自制测角仪，测得看鸟窝时，仰角为30°，看石头时俯角为40°，那么小明看鸟窝的视线与看石头的视线夹角是多少？请画图后说明理由.教师巡视，订正.问题2：小明在灯塔O上观察，发现货轮A在它北偏东60°的方向上，货轮B在它南偏东45°的方向上，货轮C在它北偏东45°的方向上，请你面出图形，并计算∠AOB，∠AOC，∠BOC的度数.教师巡视，指导.教师定义：方向角：从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角.规定：北偏东45°的方向，简称为东北方向；南偏东45的方向为东南方向.巩固练习：利用直尺和量角器画出表示下列方向的射线：（1）在铅垂线同侧，仰角为68°，俯角为42°.（2）在同一地点观测，北偏西30°，南偏东60°，北偏东15°，西南方向.（3）根据（1）或（2）的图形，自拟一道角的计算题并完成解答.学生尝试画图.学生在刚才画图基础上，标上字母或数字表示角，并进行简单推理.学生尝试根据实际情境作图，讨论，并进行简单推理.根据教师指导完善画图和推理.学生根据实际情境作图，命题，进行简单推理，根据教师指导完善画图和推理.仰角、俯角概念出现在“锐角三角函数”中，方向角没有作为一个严格的概念出现过，但是从角的概念来看，它们是结合实际生活抽象出来的数学问题，这也是教材的一根主线.相比角的计算和比较，这些内容让学生觉得有些枯燥，因此适当将这两个易懂的概念迁移，插入角的计算，激发学生的兴趣，也使知识螺旋上升.思考探究1.下发小条.提出问题：你可以比较图中三个角的大小吗？说说你的办法.类似线段比较大小的方法，比较角的大小也有如下两种方法：度量法——先用测量工具（如量角器）测量出每个角的度数，再通过测量结果的数据比较它们的大小；叠合法——将要比较的角的顶点和一条边重合，并使另一边落在同旁，看另一条边的相互位置来比较它们的大小.2.角的和差.（下发题目小条）（1）根据图1填空：∠AOC=______+______；∠BOD=______+______；∠AOC∠BOC=______；∠AOD∠BOC=______+______.（2）如图2，∠AOC=∠BOD=78°，∠BOC=35°，求∠AOD的度数.分析：可以根据等量减等量差相等，先求出∠AOB，∠COD的度数，再求∠AOD.解：方法一：∵∠AOC=∠BOD=78°，∠BOC=35°，∴∠AOB=∠AOC∠BOC=78°35°=43°，∠COD=∠BOD∠BOC=78°35°=43°.∴∠AOB=∠COD.∴AOD=∠AOC+∠COD=78°+43°=121°.方法二：∵∠AOC=∠BOD=78°，∠BOC=35°，∴∠AOD=∠AOC+∠BOD∠BOC=2∠AOC∠BOC=78°×243°=121°.（3）如图3，∠AOB=90°，∠AOC：∠COD：∠BOD=1：3：5，求∠COD的度数.解：∵AOC：∠COD：∠BOD=1：3：5，∴设∠AOC=，则∠COD=3，∠BOD=5.∴∠AOC+∠COD+∠BOD=9.∵∠AOC+∠COD+∠BOD=∠AOB，∠AOB=90°，∴=10°.∴∠COD=3=30°.（4）若∠AOB：∠BOC=2：3，∠AOB=30°，求∠AOC的度数.分析：当射线OC在射线OB上方时，如图4.当射线OC在射线OB下方时，如图5.教师总结：在直线、射线、线段的时候我们也遇到了分类讨论的问题，学生说，如果不给图就应该考虑到分类讨论，这个意识是对的，但是几何图形产生分类的根本原因是几何元素位置的不确定性造成的，其实这种不确定的背后也有一定的确定性，也就是对称性.此题中，射线OC关于射线OB对称.注意“点在直线上”的条件往往存在着关于某点中心对称.学生思考，利用测量法，或者是裁剪下来使用叠合法比较三个角的大小.学生思考，识图，填空.学生思考，分析图形，设参数，进行推理，完善解题过程.学生思考，分类画出图形，设参数，进行推理，完善解题过程.这个环节会使学生类比线段的和差倍分的研究方法来分析解决问题，学生可以在此处复习巩固几何基本量的计算方法以及分类绘图等思想方法，在温故中进一步提高，虽然几何元素不确定，但是不确定的后面却又有一定的确定性，这是将来学生把握几何分类的思考突破口，虽然对称性还没有严格定义过，但是在小学中，学生已经感受过各种对称，此时教师应点明这种性质，为将来复杂的分类做好铺垫.练习巩固发诊断小条.1.根据下图填空：AOC=_______+_______；∠AOD∠DOC=______；若∠AOB=30°，∠COD=40°，∠AOB=∠COB，则∠AOD=________.2.如图，∠AOC=90°，∠COD比∠DOA大22°，∠COB=∠DOA，求∠BOD的度数.3.如图，将一副三角尺的两个直角顶点重合于点O.（1）若∠AOD=127°，求∠BOC的度数；（2）若∠AOD=2∠BOC，求∠BOC的度数.（请画出抽象的几何图形解答，留下必要的线和角即可.）教师巡视指导.抽象图形如下：追问：若去掉上图条件，其他条件不变，请你画出抽象图形.（提示分类讨论）学生做练习.课堂的复习巩固是对所学知识方法的重新温习，这个环节通过设计活动再次激发学生兴趣，并提高课堂效率.课堂小结教师点评，确定本节课的教学重点，演示测量法，叠合法比较两个角的大小.小结仰角、俯角、方向角概念，角的和差计算注意事项.本课知识点比较琐碎，通过“课堂小结”帮助学生梳理相关知识，加深他们对概念的理解.七、板书设计仰角、俯角定义例1（3）分类讨论方向角定义八、练习诊断1.（A）小明在博物馆看油画上沿仰角为55°，看油画下沿俯角为15°，请画出以小明眼睛为顶点，两种不同视线为边的角的图形，并计算该角的度数.小明的眼睛2.（A）货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北（北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.画出表示灯塔A，客轮B，货轮C和海岛D方向的射线.3.（A）A，B两点表示两个不同的海上观测点，从A地发现在它北偏东60°的方向上有一艘轮船C，同时在B地发现这艘船C在它北偏东30°的方向，试通过作图确定该船C的位置，并测量∠ABC，∠ACB，∠BAC的大小，计算∠ABC+∠ACB+∠BAC的值.4.（A）如下图所示，点D，E分别在AC，BC边上，则∠ABC=________+_________；∠ADC∠BDC=_______；∠DEC+________=180°；∠BDE+______=∠BDC.5.（B）已知∠A+∠B+∠C=180°，∠A：∠B：∠C=2：3：7，求∠A，∠B，∠C的度数.6.（B）如图，∠AOB=∠COD=90°，∠BOD=3∠AOC，求∠AOC的度数.7.（B）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O点，请抽象画出有关计算的角的图形并求∠AOC+∠DOB的值.8.（C）若∠AOB：∠BOC=3：2，∠AOB=30°，求∠AOC的度数.九、反思与改进本节课类比线段的大小、线段的和与差，学习角的比较、角的和与差，体会类比学习方法.能从图形和数量关系两个角度认识角的大小，会用度量法和叠合法比较两个角的大小；能从几何图形和数量关系两方面认识角的和与差，知道两个角和差仍然是一个角，知道角的和差或等分的度数的计算；能结合角的大小、和与差的立体图形，用文字语言和符号语言描述它们，反之，给出符号语言或文字语言，能够画出图形及关系，用图形直观表示出来，为分类讨论的题目做准备.在学习过程中，能在回忆线段的大小、线段的和与差内容的基础上想象本节课所要学习的内容，做到对学习进程心中有数；能将对线段的大小、线段的和与差、线段的中点的研究方法和棊本思路迁移到角的相关问题研究中，不断提出问题、分析问题、解决问题.学